Beweisarchiv: Mengenlehre: Lemma von Zorn

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Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn

Aus dem Auswahlaxiom folgt das Lemma von ZornBearbeiten

VoraussetzungBearbeiten

Die Axiome von ZFC

BehauptungBearbeiten

Jede nichtleere halbgeordnete Menge, in der jede Kette (d.h. jede total geordnete Teilmenge) eine obere Schranke hat, enthält mindestens ein maximales Element.

BeweisBearbeiten

Sei   eine nichtleere durch eine Relation   halbgeordnete Menge, in der jede Kette eine obere Schranke hat. Sei   die Menge aller Ketten in  . Für jedes   ist dann die Menge   nicht leer.

Wir nehmen an, dass   für kein   gilt. Dann ist die Menge   eine Menge nichtleerer Mengen und besitzt daher eine Auswahlfunktion  . Für   ist dann   echt größer als jedes Element von  . Dann haben wir eine Abbildung  , die man sich durch   für   auf ganz   fortgesetzt denken kann.

Durch transfinite Rekursion definiert   eine Abbildung von der Klasse   der Ordinalzahlen nach  .

Behauptung:

Für zwei Ordinalzahlen   gilt  .

Beweis per Induktion: Sei   Ordinalzahl und die Behauptung wahr für alle  . Dann ist   total geordnet, denn aus   mit   folgt ja   oder  , nach Induktionsvoraussetzung also   oder  . Dann folgt aber, dass   echt größer als jedes Element von   ist, das ist die Induktionsbehauptung.

Insbesondere ist die Abbildung   injektiv. Auf der Menge   gibt es daher eine (linksseitige) Umkehrabbildung  , mit der wir die Menge   erhalten. Es folgt dann jedoch   im Widerspruch dazu, dass   eine echte Klasse ist. Daher muss die obige Annahme falsch sein, d.h es gibt ein   mit  .

Behauptung:

Für solch ein   ist jedes Element   der Menge   ein maximales Element von  .

Ist nämlich   mit  , so ist auch   obere Schranke von  , wegen   also  . Aber dann auch  , da   obere Schranke ist. Folglich  , d.h.   ist maximal.

Da   nicht leer ist, sind wir fertig.

Aus dem Lemma von Zorn folgt das AuswahlaxiomBearbeiten

VoraussetzungBearbeiten

Die Axiome von ZF und der Satz:

Jede nichtleere halbgeordnete Menge, in der jede Kette eine obere Schranke hat, enthält mindestens ein maximales Element.

BehauptungBearbeiten

Jede Menge nichtleerer Mengen hat eine Auswahlfunktion

BeweisBearbeiten

Sei   eine Menge nichtleerer Mengen.

Betrachte die Menge   aller partiellen Auswahlfunktionen auf  , d.h. die Menge der Funktionen   mit   und   für alle  . Mit anderen Worten ist

 .

Wegen   ist   nicht leer. Die Menge   ist durch Inklusion halbgeordnet. Ist   eine Kette, so betrachte die Menge  . Ist  ,   und  , so gibt es ein   mit  . Ebenso gibt es ein   mit  . Da   Kette ist, gilt   oder  . Ist  , so  ,  ,  . Folglich   und  . Somit ist  . Da aus   sofort   folgt, ist   obere Schranke von  . Nach dem Lemma von Zorn enthält   also ein maximales Element  .

Ist  ,   und   leer, so ist für jedes Element   der nicht-leeren Menge   die Menge   ein Element von   und es ist  , insb. ist solch ein   nicht maximal. Für   gilt daher umgekehrt   für jedes  , d. h.   ist eine Funktion  . Da ferner stets   gilt, ist   eine Auswahlfunktion für  .