Beweisarchiv: Mengenlehre: Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): Potenzmenge

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Mächtigkeit der Potenzmenge

Voraussetzung

$A\$ sei eine beliebige Menge.

Behauptung

$|A|<|{\mathcal {P}}(A)|$

Beweis

Es sind die folgenden beiden Aussagen zu zeigen:

Es gibt eine Injektion $i:A\to {\mathcal {P}}(A)$
Es gibt keine Bijektion zwischen $A\$ und ${\mathcal {P}}(A)$

Zu 1. Die Zuordnung $i:a\mapsto \{a\}$ leistet das Verlangte.

Zu 2. Angenommen, irgendeine Abbildung $f:A\to {\mathcal {P}}(A)$ wäre surjektiv. Dies wird nun zum Widerspruch geführt, womit auch gezeigt ist, dass es keine Bijektion zwischen den beiden Mengen gibt.

Die Teilmenge $M\$ von $A\$ wird definiert als $M:=\{a\in A\mid a\ \not \in \ f(a)\}$ . Da $f\$ als surjektiv angenommen wurde, hat $M\$ ein Urbild unter $f\$ , also ein Element $a\in A$ mit $f(a)=M\$ . Nun gilt: