Beweisarchiv: Mengenlehre: Mengenoperation: Bild und Urbild

Beweisarchiv: Mengenlehre

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Wir zeigen grundlegende Rechenregeln für Bild und Urbild von Teilmengen einer Menge.

Bild Bearbeiten

Durchschnitt Bearbeiten

Voraussetzung Bearbeiten

  sei eine Familie von Teilmengen einer Menge  .

  sei eine beliebige weitere Menge.

  sei eine Abbildung.

Behauptung Bearbeiten

 

Beweis Bearbeiten

Ist  , so existiert ein   mit  . Es gilt   für alle  . Insbesondere ist   für alle  . Somit ist  .

 

Gegenbeispiel für die umgekehrte Inklusion Bearbeiten

 ,  ,  .

 ,  ,  .

Es gilt   und folglich  .

Andererseits ist   und   und folglich  .

Durchschnitt für injektive Abbildungen Bearbeiten

Voraussetzung Bearbeiten

  sei eine Familie von Teilmengen einer Menge   mit  .

  sei eine beliebige weitere Menge.

  sei eine injektive Abbildung.

Behauptung Bearbeiten

 

Beweis Bearbeiten

Die Inklusion " " gilt im Allgemeinen, es genügt also, die Inklusion " " zu zeigen.

Sei also  . Dann ist   für alle  .

Es gibt für alle   ein   mit  .

Weil   injektiv ist, folgt   für je zwei  .

Da  , gibt es folglich ein   mit   für alle   und  .

Es folgt  . Also ist  , wie behauptet.

 

Leere Indexmenge Bearbeiten

Ist  , so ist nach Konvention   und  . Die behauptete Gleichheit reduziert sich in diesem Fall auf  . Das aber ist äquivalent zu Surjektivität von  . Insbesondere gilt die Gleichheit in diesem Fall im Allgemeinen nicht.

Vereinigung Bearbeiten

Voraussetzung Bearbeiten

  sei eine Familie von Teilmengen einer Menge  .

  sei eine beliebige weitere Menge.

  sei eine Abbildung.

Behauptung Bearbeiten

 

Beweis Bearbeiten

 

  Es gibt ein   mit  
  Es gibt ein   und ein   mit  
  Es gibt ein   mit  
   
 

Urbild Bearbeiten

Durchschnitt Bearbeiten

Voraussetzung Bearbeiten

  sei eine Familie von Teilmengen einer Menge  .

  sei eine weitere beliebige Menge.

  sei eine Abbildung.

Behauptung Bearbeiten

 

Beweis Bearbeiten

 

   
    für alle  
    für alle  
   
 

Vereinigung Bearbeiten

Voraussetzung Bearbeiten

  sei eine Familie von Teilmengen einer Menge  .

  sei eine weitere beliebige Menge.

  sei eine Abbildung.

Behauptung Bearbeiten

 

Beweis Bearbeiten

 

   
    für mindestens ein  
    für mindestens ein  
   
 

Differenz Bearbeiten

Voraussetzung Bearbeiten

Seien   und   beliebige Mengen und   beliebige Teilmengen.

  sei eine Abbildung.

Behauptung Bearbeiten

 

Beweis Bearbeiten

 

    und  
    und