Beweisarchiv: Mengenlehre: Mengenoperation: Bild und Urbild
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Wir zeigen grundlegende Rechenregeln für Bild und Urbild von Teilmengen einer Menge.
Bild
BearbeitenDurchschnitt
BearbeitenVoraussetzung
Bearbeitensei eine Familie von Teilmengen einer Menge .
sei eine beliebige weitere Menge.
sei eine Abbildung.
Behauptung
BearbeitenBeweis
BearbeitenIst , so existiert ein mit . Es gilt für alle . Insbesondere ist für alle . Somit ist .
Gegenbeispiel für die umgekehrte Inklusion
Bearbeiten, , .
, , .
Es gilt und folglich .
Andererseits ist und und folglich .
Durchschnitt für injektive Abbildungen
BearbeitenVoraussetzung
Bearbeitensei eine Familie von Teilmengen einer Menge mit .
sei eine beliebige weitere Menge.
sei eine injektive Abbildung.
Behauptung
BearbeitenBeweis
BearbeitenDie Inklusion " " gilt im Allgemeinen, es genügt also, die Inklusion " " zu zeigen.
Sei also . Dann ist für alle .
Es gibt für alle ein mit .
Weil injektiv ist, folgt für je zwei .
Da , gibt es folglich ein mit für alle und .
Es folgt . Also ist , wie behauptet.
Leere Indexmenge
BearbeitenIst , so ist nach Konvention und . Die behauptete Gleichheit reduziert sich in diesem Fall auf . Das aber ist äquivalent zu Surjektivität von . Insbesondere gilt die Gleichheit in diesem Fall im Allgemeinen nicht.
Vereinigung
BearbeitenVoraussetzung
Bearbeitensei eine Familie von Teilmengen einer Menge .
sei eine beliebige weitere Menge.
sei eine Abbildung.
Behauptung
BearbeitenBeweis
Bearbeiten
- Es gibt ein mit
- Es gibt ein und ein mit
- Es gibt ein mit
Urbild
BearbeitenDurchschnitt
BearbeitenVoraussetzung
Bearbeitensei eine Familie von Teilmengen einer Menge .
sei eine weitere beliebige Menge.
sei eine Abbildung.
Behauptung
BearbeitenBeweis
Bearbeiten
- für alle
- für alle
Vereinigung
BearbeitenVoraussetzung
Bearbeitensei eine Familie von Teilmengen einer Menge .
sei eine weitere beliebige Menge.
sei eine Abbildung.
Behauptung
BearbeitenBeweis
Bearbeiten
- für mindestens ein
- für mindestens ein
Differenz
BearbeitenVoraussetzung
BearbeitenSeien und beliebige Mengen und beliebige Teilmengen.
sei eine Abbildung.
Behauptung
BearbeitenBeweis
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- und
- und