Beweisarchiv: Mengenlehre: Mengenoperation: Bild und Urbild

Beweisarchiv: Mengenlehre

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Wir zeigen grundlegende Rechenregeln für Bild und Urbild von Teilmengen einer Menge.

Durchschnitt

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Voraussetzung

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  sei eine Familie von Teilmengen einer Menge  .

  sei eine beliebige weitere Menge.

  sei eine Abbildung.

Behauptung

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Ist  , so existiert ein   mit  . Es gilt   für alle  . Insbesondere ist   für alle  . Somit ist  .

 

Gegenbeispiel für die umgekehrte Inklusion

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 ,  ,  .

 ,  ,  .

Es gilt   und folglich  .

Andererseits ist   und   und folglich  .

Durchschnitt für injektive Abbildungen

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Voraussetzung

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  sei eine Familie von Teilmengen einer Menge   mit  .

  sei eine beliebige weitere Menge.

  sei eine injektive Abbildung.

Behauptung

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Die Inklusion " " gilt im Allgemeinen, es genügt also, die Inklusion " " zu zeigen.

Sei also  . Dann ist   für alle  .

Es gibt für alle   ein   mit  .

Weil   injektiv ist, folgt   für je zwei  .

Da  , gibt es folglich ein   mit   für alle   und  .

Es folgt  . Also ist  , wie behauptet.

 

Leere Indexmenge

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Ist  , so ist nach Konvention   und  . Die behauptete Gleichheit reduziert sich in diesem Fall auf  . Das aber ist äquivalent zu Surjektivität von  . Insbesondere gilt die Gleichheit in diesem Fall im Allgemeinen nicht.

Vereinigung

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Voraussetzung

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  sei eine Familie von Teilmengen einer Menge  .

  sei eine beliebige weitere Menge.

  sei eine Abbildung.

Behauptung

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  Es gibt ein   mit  
  Es gibt ein   und ein   mit  
  Es gibt ein   mit  
   
 

Durchschnitt

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Voraussetzung

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  sei eine Familie von Teilmengen einer Menge  .

  sei eine weitere beliebige Menge.

  sei eine Abbildung.

Behauptung

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    für alle  
    für alle  
   
 

Vereinigung

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Voraussetzung

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  sei eine Familie von Teilmengen einer Menge  .

  sei eine weitere beliebige Menge.

  sei eine Abbildung.

Behauptung

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    für mindestens ein  
    für mindestens ein  
   
 

Differenz

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Voraussetzung

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Seien   und   beliebige Mengen und   beliebige Teilmengen.

  sei eine Abbildung.

Behauptung

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    und  
    und