Beweisarchiv: Mengenlehre: Injektivität Surjektivität Bijektivität: Komposition

Beweisarchiv: Mengenlehre

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Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young

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Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn

Komposition von injektiven, surjektiven oder bijektiven Abbildungen

Voraussetzung

$f\colon A\to B$ und $g\colon B\to C$ seien Abbildungen.

Behauptung

1. Sind $f\$ und $g\$ injektiv, dann auch $g\circ f$.
2. Sind $f\$ und $g\$ surjektiv, dann auch $g\circ f$.
3. Sind $f\$ und $g\$ bijektiv, dann auch $g\circ f$.

Beweis

1. Seien $f\$ und $g\$ als injektiv vorausgesetzt und $h:=g\circ f$. Weiter seien $x,y\in A$ mit $h(x)=h(y)\$. Wir müssen $x=y\$ zeigen.
   Nach Definition von $h\$ gilt $g(f(x))=g(f(y))\$. Da $g\$ injektiv ist, folgt $f(x)=f(y)\$. Da $f\$ injektiv ist, folgt $x=y\$.
2. Seien $f\$ und $g\$ als surjektiv vorausgesetzt und $h:=g\circ f$. Weiter sei ein Element $c\in C$ vorgegeben. Wir müssen ein $a\in A$ mit $h(a)=c\$ finden.
   Da $g\$ surjektiv ist, gibt es ein Element $b\in B$ mit $g(b)=c\$. Da $f\$ surjektiv ist, gibt es ein Element $a\in A$ mit $f(a)=b\$. Zusammen haben wir $h(a)=g(f(a))=g(b)=c\$ wie verlangt.
3. Dies folgt aus 1 und 2, da ja bijektiv $:\Leftrightarrow$ injektiv $\land$ surjektiv.

Wikipedia-Verweise

Bijektivität - Injektivität - Komposition - Surjektivität

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