Beweisarchiv: Mengenlehre: Mengenoperation: Distributivgesetz

Beweisarchiv: Mengenlehre

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Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
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Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn


Durchschnitt über Vereinigung Bearbeiten

Voraussetzung Bearbeiten

  seien beliebige Mengen.

Behauptung Bearbeiten

 

Beweis Bearbeiten

  •   : x sei ein Element der linken Seite, also  . Dann gilt   und  . Da x in der Vereinigung von B und C liegt, ist (Fall 1)   oder (Fall 2)  . Im Fall 1 ist  , im Fall 2 ist  . Damit liegt x in der Vereinigung  , ist also Element der rechten Seite.
  •   : x sei ein Element der rechten Seite, also  . Damit gilt (Fall 1)   oder (Fall 2)  . In beiden Fällen haben wir  . Außerdem ist   oder  , zusammengefasst also  . Nach Definition des Durchschnitts liegt x in  , ist also Element der linken Seite.

Alternativ: Es gilt

 

und

 

Die Behauptung folgt daher aus der Distributivität von   über  , d.h. der allgemeinen Äquivalenz von   und  .

Durchschnitt über beliebige Vereinigung Bearbeiten

Voraussetzung Bearbeiten

Sei   eine Menge,   eine (Index-)Menge und zu jedem   sei   eine Menge.

Behauptung Bearbeiten

 

Beweis Bearbeiten

Element der linken Menge zu sein ist für jedes   äquivalent zu  , für die rechte dagegen zu  . Aber auf prädikatenlogischer Ebene gilt bereits die allgemeine Äquivalenz von   mit   - hier mit   für   und   für  :

  • Aus   folgt sowohl   als auch  , aus letzterem   für ein geeignetes  . Zusammen mit   folgt für dieses   dann  , insbesondere  .
  • Aus   folgt - für geeignetes   - die Gültigkeit von  , also sowohl   als auch  . Folglich gilt   für dieses  , d.h.  , zusammen mit   also  .

Bemerkung Bearbeiten

Der vorhergehende Satz kann auch als Spezialfall dieses Satzes für den Fall einer zweielementigen Indexmenge angesehen werden.

Vereinigung über Durchschnitt Bearbeiten

Voraussetzung Bearbeiten

  seien beliebige Mengen.

Behauptung Bearbeiten

     

Beweis Bearbeiten

Hier folgt die Gleichheit aus der allgemeinen Äquivalenz von   und  

Vereinigung über beliebigen Durchschnitt Bearbeiten

Voraussetzung Bearbeiten

Sei   eine Menge,   eine (Index-)Menge und zu jedem   sei   eine Menge.

Behauptung Bearbeiten

 

Beweis Bearbeiten

Hier folgt die Aussage aus der allgemeinen Äquivalenz von   und   - hier mit   für   sowie  : für q

  • Angenommen,   ist wahr. Dann ist sowohl   wahr als auch   für jedes  , also  .
  • Angenommen,   ist falsch.
    • Gilt  , so folgt  . Sei   beliebig. Dann folgt hieraus   und erst recht  . Da   beliebig war, folgt  .
    • Gilt   und ist   beliebig, so folgt  , nach Voraussetzung sogar  . Da   beliebig war, folgt   und erst recht  .

Bemerkung Bearbeiten

Der vorhergehende Satz läßt sich wieder als Spezialfall hiervon mit zweielementiger Indexmenge auffassen.

Durchschnitt über Symmetrische Differenz Bearbeiten

Voraussetzung Bearbeiten

  seien beliebige Mengen.

Behauptung Bearbeiten

 

Beweis Bearbeiten

Die Behauptung folgt aus der aussagenlogischen Äquivalenz von   und  .

Wikipedia-Verweise Bearbeiten

charakteristische Funktion - De Morgansche Gesetze - Distributivgesetz - Restklassenring - Schnittmenge - symmetrische Differenz - Teilmenge - Vereinigungsmenge


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