Beweisarchiv: Mengenlehre: Mengenoperation: Distributivgesetz
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- Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung · Kardinalität und Bijektionen · Potenzmenge
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- Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn
Durchschnitt über Vereinigung Bearbeiten
Voraussetzung Bearbeiten
seien beliebige Mengen.
Behauptung Bearbeiten
Beweis Bearbeiten
- : x sei ein Element der linken Seite, also . Dann gilt und . Da x in der Vereinigung von B und C liegt, ist (Fall 1) oder (Fall 2) . Im Fall 1 ist , im Fall 2 ist . Damit liegt x in der Vereinigung , ist also Element der rechten Seite.
- : x sei ein Element der rechten Seite, also . Damit gilt (Fall 1) oder (Fall 2) . In beiden Fällen haben wir . Außerdem ist oder , zusammengefasst also . Nach Definition des Durchschnitts liegt x in , ist also Element der linken Seite.
Alternativ: Es gilt
und
Die Behauptung folgt daher aus der Distributivität von über , d.h. der allgemeinen Äquivalenz von und .
Durchschnitt über beliebige Vereinigung Bearbeiten
Voraussetzung Bearbeiten
Sei eine Menge, eine (Index-)Menge und zu jedem sei eine Menge.
Behauptung Bearbeiten
Beweis Bearbeiten
Element der linken Menge zu sein ist für jedes äquivalent zu , für die rechte dagegen zu . Aber auf prädikatenlogischer Ebene gilt bereits die allgemeine Äquivalenz von mit - hier mit für und für :
- Aus folgt sowohl als auch , aus letzterem für ein geeignetes . Zusammen mit folgt für dieses dann , insbesondere .
- Aus folgt - für geeignetes - die Gültigkeit von , also sowohl als auch . Folglich gilt für dieses , d.h. , zusammen mit also .
Bemerkung Bearbeiten
Der vorhergehende Satz kann auch als Spezialfall dieses Satzes für den Fall einer zweielementigen Indexmenge angesehen werden.
Vereinigung über Durchschnitt Bearbeiten
Voraussetzung Bearbeiten
seien beliebige Mengen.
Behauptung Bearbeiten
Beweis Bearbeiten
Hier folgt die Gleichheit aus der allgemeinen Äquivalenz von und
Vereinigung über beliebigen Durchschnitt Bearbeiten
Voraussetzung Bearbeiten
Sei eine Menge, eine (Index-)Menge und zu jedem sei eine Menge.
Behauptung Bearbeiten
Beweis Bearbeiten
Hier folgt die Aussage aus der allgemeinen Äquivalenz von und - hier mit für sowie : für q
- Angenommen, ist wahr. Dann ist sowohl wahr als auch für jedes , also .
- Angenommen, ist falsch.
- Gilt , so folgt . Sei beliebig. Dann folgt hieraus und erst recht . Da beliebig war, folgt .
- Gilt und ist beliebig, so folgt , nach Voraussetzung sogar . Da beliebig war, folgt und erst recht .
Bemerkung Bearbeiten
Der vorhergehende Satz läßt sich wieder als Spezialfall hiervon mit zweielementiger Indexmenge auffassen.
Durchschnitt über Symmetrische Differenz Bearbeiten
Voraussetzung Bearbeiten
seien beliebige Mengen.
Behauptung Bearbeiten
Beweis Bearbeiten
Die Behauptung folgt aus der aussagenlogischen Äquivalenz von und .
Wikipedia-Verweise Bearbeiten
charakteristische Funktion - De Morgansche Gesetze - Distributivgesetz - Restklassenring - Schnittmenge - symmetrische Differenz - Teilmenge - Vereinigungsmenge
- Charakteristikum unendlicher Mengen
- Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren · Komposition · Linksinverse · Linkskürzbarkeit · Rechtsinverse · Rechtskürzbarkeit
- Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung
- Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung · Kardinalität und Bijektionen · Potenzmenge
- Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
- Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze · Distributivgesetze · Differenzgesetze · Grundeigenschaften der Inklusion · De Morgansche Regeln für Mengen · Bild und Urbild
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