Beweisarchiv: Mengenlehre: Ordinalzahlen: echte Klasse

Beweisarchiv: Mengenlehre

Charakteristikum unendlicher Mengen

Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren · Komposition · Linksinverse · Linkskürzbarkeit · Rechtsinverse · Rechtskürzbarkeit

Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung

Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung · Kardinalität und Bijektionen · Potenzmenge

Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young

Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze · Distributivgesetze · Differenzgesetze · Grundeigenschaften der Inklusion · De Morgansche Regeln für Mengen · Bild und Urbild

Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element · Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen · Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse · Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl · Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Limes- und Nachfolgerzahlen · Äquivalenz verschiedener Definitionen

Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn

Satz

Die Klasse $\mathrm {On}$ ist eine echte Klasse.

Bemerkung: Wenn man annimmt, dass $\mathrm {On}$ eine Menge ist, ergibt sich ein Widerspruch. Dies ist auch als Burali-Forti-Paradoxon bekannt.

Beweis

Verwendet wird

(1) Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element

(2) Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen

(3) Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen

Wegen (2) ist $\mathrm {On}$ transitiv. Ferner ist $\mathrm {On}$ gemäß (3) durch $\in$ wohlgeordnet. Wäre die Klasse $\mathrm {On}$ eine Menge, so wäre $\mathrm {On}$ eine Ordinalzahl und es würde $\mathrm {On} \in \mathrm {On}$ gelten im Widerspruch zu (1). Folglich ist $\mathrm {On}$ keine Menge.