Beweisarchiv: Mengenlehre: Injektivität Surjektivität Bijektivität: Linkskürzbarkeit
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Injektivität und Linkskürzbarkeit
BearbeitenVoraussetzung
Bearbeitensei eine Abbildung.
Behauptung
Bearbeitenist injektiv ist linkskürzbar.
(Dabei heißt linkskürzbar, wenn für beliebige Abbildungen aus schon folgt.)
Beweis
Bearbeiten- : werde als injektiv vorausgesetzt und seien beliebige Abbildungen mit . Wir müssen zeigen.
Dazu sei beliebig. Wegen gilt . Die Injektivität von liefert . Damit ist gezeigt. - : werde als linkskürzbar vorausgesetzt. Es seien nun zwei Elemente mit gegeben. Wir müssen zeigen.
Dazu definieren wir zwei konstante Abbildungen , nämlich und . Wegen gilt für die Kompositionen . Die Linkskürzbarkeit von liefert , was gleichbedeutend mit ist.
Wikipedia-Verweise
Bearbeiten- Charakteristikum unendlicher Mengen
- Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren · Komposition · Linksinverse · Linkskürzbarkeit · Rechtsinverse · Rechtskürzbarkeit
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