Beweisarchiv: Mengenlehre: Injektivität Surjektivität Bijektivität: Linkskürzbarkeit

Beweisarchiv: Mengenlehre

Charakteristikum unendlicher Mengen
Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren · Komposition · Linksinverse · Linkskürzbarkeit · Rechtsinverse · Rechtskürzbarkeit
Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung
Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung · Kardinalität und Bijektionen · Potenzmenge
Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze · Distributivgesetze · Differenzgesetze · Grundeigenschaften der Inklusion · De Morgansche Regeln für Mengen · Bild und Urbild
Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element · Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen · Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse · Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl · Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Limes- und Nachfolgerzahlen · Äquivalenz verschiedener Definitionen
Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn


Injektivität und Linkskürzbarkeit

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Voraussetzung

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  sei eine Abbildung.

Behauptung

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  ist injektiv     ist linkskürzbar.

(Dabei heißt   linkskürzbar, wenn für beliebige Abbildungen   aus   schon   folgt.)

  •   :   werde als injektiv vorausgesetzt und   seien beliebige Abbildungen mit  . Wir müssen   zeigen.
    Dazu sei   beliebig. Wegen   gilt  . Die Injektivität von   liefert  . Damit ist   gezeigt.
  •   :   werde als linkskürzbar vorausgesetzt. Es seien nun zwei Elemente   mit   gegeben. Wir müssen   zeigen.
    Dazu definieren wir zwei konstante Abbildungen  , nämlich   und  . Wegen   gilt für die Kompositionen  . Die Linkskürzbarkeit von   liefert  , was gleichbedeutend mit   ist.

Wikipedia-Verweise

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Injektivität - Komposition


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