Beweisarchiv: Mengenlehre: Ordinalzahlen: Limes- und Nachfolgerzahlen

Beweisarchiv: Mengenlehre

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Satz Bearbeiten

Für jede Ordinalzahl   gilt genau eine der folgenden Aussagen:

  • Es gibt eine Ordinalzahl   mit  
  •  .

Bemerkung: Zahlen der ersten Art heißen Nachfolgerzahlen, Zahlen der zweiten Art (außer  ) heißen Limeszahlen.

Beweis Bearbeiten

Verwendet werden:

(1) Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element
(2) Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen
(3) Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen
(4) Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl
(5) Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen

Sei   eine Ordinalzahl.

Setze   und  . Mit   ist laut (2) und (5) auch   eine Ordinalzahl und dann wegen (4) auch  . Gemäß (3) gilt   oder   oder  . Angenommen  . Dann folgt entweder   (und wir sind fertig,   ist von der zweiten Art) oder  , hieraus dann   für ein   und per Transitivität   im Widerspruch zu (1). Angenommen  . Dann folgt  , also   im Widerspruch zu (1). Somit bleibt nur als dritte Möglichkeit  , d. h.   ist Nachfolgerzahl.

Zu zeigen ist noch: Falls   für eine Ordinalzahl  , kann nicht zugleich   gelten. Es genügt zu zeigen, dass  . Angenommen,  . Dann   für ein  . Wegen   folgt   oder  . Es ergibt sich also sofort oder per Transitivität von  , dass   im Widerspruch zu (1). Folglich in der Tat  .