Beweisarchiv: Mengenlehre: Ordinalzahlen: Limes- und Nachfolgerzahlen
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Satz
BearbeitenFür jede Ordinalzahl gilt genau eine der folgenden Aussagen:
- Es gibt eine Ordinalzahl mit
- .
Bemerkung: Zahlen der ersten Art heißen Nachfolgerzahlen, Zahlen der zweiten Art (außer ) heißen Limeszahlen.
Beweis
BearbeitenVerwendet werden:
- (1) Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element
- (2) Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen
- (3) Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen
- (4) Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl
- (5) Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen
Sei eine Ordinalzahl.
Setze und . Mit ist laut (2) und (5) auch eine Ordinalzahl und dann wegen (4) auch . Gemäß (3) gilt oder oder . Angenommen . Dann folgt entweder (und wir sind fertig, ist von der zweiten Art) oder , hieraus dann für ein und per Transitivität im Widerspruch zu (1). Angenommen . Dann folgt , also im Widerspruch zu (1). Somit bleibt nur als dritte Möglichkeit , d. h. ist Nachfolgerzahl.
Zu zeigen ist noch: Falls für eine Ordinalzahl , kann nicht zugleich gelten. Es genügt zu zeigen, dass . Angenommen, . Dann für ein . Wegen folgt oder . Es ergibt sich also sofort oder per Transitivität von , dass im Widerspruch zu (1). Folglich in der Tat .