Sei
(
a
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
eine Folge komplexer Zahlen,
(
t
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (t_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
eine streng monoton wachsende,
unbeschränkte Folge reeller Zahlen und
A
(
t
)
{\displaystyle A(t)}
die Summe über
diejenigen
a
n
{\displaystyle a_{n}}
, deren Indizes
n
{\displaystyle n}
der Bedingung
t
n
≤
t
{\displaystyle t_{n}\leq t}
genügen. Ist dann
g
:
[
t
1
,
∞
)
→
C
{\displaystyle g:[t_{1},\infty )\rightarrow \mathbb {C} }
stetig
differenzierbar, so gilt für alle reellen
x
≥
t
1
{\displaystyle x\geq t_{1}}
∑
n
∈
N
,
t
n
≤
x
a
n
g
(
t
n
)
=
A
(
x
)
g
(
x
)
−
∫
t
1
x
A
(
t
)
g
′
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} , \atop t_{n}\leq x}a_{n}g(t_{n})=A(x)g(x)-\int _{t_{1}}^{x}A(t)g'(t){\rm {d}}t\ .}
Sei
N
∈
N
{\displaystyle N\in \mathbb {N} }
gewählt, so dass
t
N
≤
x
<
t
N
+
1
{\displaystyle t_{N}\leq x<t_{N+1}}
. Es ist
A
(
t
)
=
A
(
t
n
)
{\displaystyle A(t)=A(t_{n})}
für
t
n
≤
t
<
t
n
+
1
{\displaystyle t_{n}\leq t<t_{n+1}}
und
A
(
t
n
)
−
A
(
t
n
−
1
)
=
a
n
{\displaystyle A(t_{n})-A(t_{n-1})=a_{n}}
für
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
sowie
A
(
t
1
)
=
a
1
{\displaystyle A(t_{1})=a_{1}}
.
Es folgt
∫
t
1
x
A
(
t
)
g
′
(
t
)
d
t
=
∑
n
=
1
N
−
1
∫
t
n
t
n
+
1
A
(
t
)
g
′
(
t
)
d
t
+
∫
t
N
x
A
(
t
)
g
′
(
t
)
d
t
=
∑
n
=
1
N
−
1
A
(
t
n
)
(
g
(
t
n
+
1
)
−
g
(
t
n
)
)
+
A
(
t
N
)
(
g
(
x
)
−
g
(
t
N
)
)
=
∑
n
=
2
N
A
(
t
n
−
1
)
g
(
t
n
)
−
∑
n
=
1
N
A
(
t
n
)
g
(
t
n
)
+
A
(
x
)
g
(
x
)
=
−
∑
n
=
1
N
a
n
g
(
t
n
)
+
A
(
x
)
g
(
x
)
,
{\displaystyle {\begin{array}{lll}\int _{t_{1}}^{x}A(t)g'(t){\rm {d}}t&=&\sum _{n=1}^{N-1}\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}A(t)g'(t){\rm {d}}t+\int _{t_{N}}^{x}A(t)g'(t){\rm {d}}t\\&=&\sum _{n=1}^{N-1}A(t_{n})(g(t_{n+1})-g(t_{n}))+A(t_{N})(g(x)-g(t_{N}))\\&=&\sum _{n=2}^{N}A(t_{n-1})g(t_{n})-\sum _{n=1}^{N}A(t_{n})g(t_{n})+A(x)g(x)\\&=&-\sum _{n=1}^{N}a_{n}g(t_{n})+A(x)g(x)\ ,\\\end{array}}}
wie behauptet.
◻
{\displaystyle \Box }
Sei
f
:
[
0
,
∞
)
→
R
{\displaystyle f:[0,\infty )\rightarrow \mathbb {R} }
beschränkt und messbar.
Weiter sei
g
:
{
z
∈
C
|
Re
z
>
0
}
→
C
,
{\displaystyle g:\{z\in \mathbb {C} \ |\ \operatorname {Re} z>0\}\rightarrow \mathbb {C} ,}
z
↦
∫
0
∞
f
(
t
)
e
−
z
t
d
t
{\displaystyle z\mapsto \int _{0}^{\infty }f(t)e^{-zt}{\rm {d}}t}
holomorph. Zudem gebe es eine holomorphe Fortsetzung
von
g
{\displaystyle g}
auf eine offene Obermenge von
{
z
∈
C
|
R
e
z
≥
0
}
{\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \ |\ {\rm {Re}}\ z\geq 0\}}
.
Dann existiert
lim
T
→
∞
∫
0
T
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle \lim _{T\rightarrow \infty }\int _{0}^{T}f(t){\rm {d}}t}
, und der
Grenzwert hat den Wert
g
(
0
)
{\displaystyle g(0)}
.
Für
T
>
0
{\displaystyle T>0}
setzen wir
g
T
:
C
→
C
{\displaystyle g_{T}:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }
vermöge
g
T
(
z
)
:=
∫
0
T
f
(
t
)
e
−
z
t
d
t
{\displaystyle g_{T}(z):=\int _{0}^{T}f(t)e^{-zt}{\rm {d}}t}
.
Wegen der Beschränktheit und Messbarkeit von
f
{\displaystyle f}
ist
g
T
{\displaystyle g_{T}}
wohldefiniert.
g
T
{\displaystyle g_{T}}
ist eine ganze Funktion, denn man beachte
|
g
T
(
z
+
h
)
−
g
T
(
z
)
h
+
∫
0
T
t
f
(
t
)
e
−
z
t
d
t
|
≤
∫
0
T
|
f
(
t
)
e
−
z
t
|
|
e
−
h
t
−
1
+
h
t
h
|
d
t
.
{\displaystyle {\left|{\frac {g_{T}(z+h)-g_{T}(z)}{h}}+\int _{0}^{T}tf(t)e^{-zt}{\rm {d}}t\right|\leq \int _{0}^{T}|f(t)e^{-zt}|\left|{\frac {e^{-ht}-1+ht}{h}}\right|{\rm {d}}t\ .}}
Mit
F
(
x
)
:=
e
−
x
h
t
{\displaystyle F(x):=e^{-xht}}
haben wir
e
−
h
t
−
1
+
h
t
=
F
(
1
)
−
F
(
0
)
−
F
′
(
0
)
=
∫
0
1
[
F
′
(
x
)
−
F
′
(
0
)
]
d
x
=
∫
0
1
∫
0
x
F
″
(
y
)
d
y
d
x
{\displaystyle {e^{-ht}-1+ht=F(1)-F(0)-F'(0)=\int _{0}^{1}[F'(x)-F'(0)]{\rm {d}}x=\int _{0}^{1}\int _{0}^{x}F''(y){\rm {d}}y{\rm {d}}x}}
, also
|
e
−
h
t
−
1
+
h
t
h
|
≤
∫
0
1
∫
0
x
|
h
t
2
e
−
y
h
t
|
d
y
d
x
≤
|
h
|
T
2
e
|
h
|
T
∫
0
1
x
d
x
=
|
h
|
e
|
h
|
T
T
2
2
{\displaystyle \left|{\frac {e^{-ht}-1+ht}{h}}\right|\leq \int _{0}^{1}\int _{0}^{x}|ht^{2}e^{-yht}|{\rm {d}}y{\rm {d}}x\leq |h|T^{2}e^{|h|T}\int _{0}^{1}x{\rm {d}}x=|h|e^{|h|T}{\frac {T^{2}}{2}}}
. Daraus
folgt die Konvergenz des Differenzenquotienten, also die Holomorphie
von
g
T
{\displaystyle g_{T}}
.
Sei
R
>
0
{\displaystyle R>0}
beliebig. Dann gibt es nach Satz von
Heine-Borel ein
δ
=
δ
(
R
)
>
0
{\displaystyle \delta =\delta (R)>0}
, so dass
g
{\displaystyle g}
auf
{
z
∈
C
|
|
z
|
<
2
R
,
Re
z
>
−
2
δ
}
{\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \ |\ |z|<2R,\ \operatorname {Re} z>-2\delta \}}
holomorph fortsetzbar ist.
Sei
C
{\displaystyle C}
der orientierte Rand des konvexen, also einfach
zusammenhängenden Gebiets
{
z
∈
C
|
|
z
|
≤
R
,
Re
z
≥
−
δ
}
{\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \ |\ |z|\leq R,\ \operatorname {Re} z\geq -\delta \}}
. Dann gilt nach der cauchyschen Integralformel
g
(
0
)
−
g
T
(
0
)
=
1
2
π
i
∫
C
(
g
(
z
)
−
g
T
(
z
)
)
e
z
T
(
1
+
z
2
R
2
)
1
z
d
z
.
{\displaystyle g(0)-g_{T}(0)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}(g(z)-g_{T}(z))e^{zT}\left(1+{\frac {z^{2}}{R^{2}}}\right){\frac {1}{z}}{\rm {d}}z\ .}
Beachte nun für
|
z
|
=
R
{\displaystyle |z|=R}
|
e
z
T
(
1
+
z
2
R
2
)
1
z
|
=
e
(
Re
z
)
T
|
z
¯
R
2
+
z
R
2
|
=
e
(
Re
z
)
T
2
|
Re
z
|
R
2
.
{\displaystyle \left|e^{zT}\left(1+{\frac {z^{2}}{R^{2}}}\right){\frac {1}{z}}\right|=e^{(\operatorname {Re} z)T}\left|{\frac {\overline {z}}{R^{2}}}+{\frac {z}{R^{2}}}\right|=e^{(\operatorname {Re} z)T}{\frac {2|\operatorname {Re} z|}{R^{2}}}\ .}
Wir spalten den Weg
C
{\displaystyle C}
in folgende zwei Teilwege
C
+
:=
C
∩
{
z
∈
C
|
Re
z
>
0
}
{\displaystyle C_{+}:=C\cap \{z\in \mathbb {C} \ |\ \operatorname {Re} z>0\}}
und
C
−
:=
C
∩
{
z
∈
C
|
Re
z
<
0
}
{\displaystyle C_{-}:=C\cap \{z\in \mathbb {C} \ |\ \operatorname {Re} z<0\}}
auf und schätzen separat auf
beiden Wegen ab (die fehlenden zwei Punkte in
C
∖
(
C
+
∪
C
−
)
{\displaystyle C\setminus (C_{+}\cup C_{-})}
spielen bei der Integration keine Rolle). Setze
B
:=
sup
{
|
f
(
t
)
|
|
t
≥
0
}
{\displaystyle B:=\sup\{|f(t)|\ |\ t\geq 0\}}
. Dann gilt für alle
z
∈
C
+
{\displaystyle z\in C_{+}}
|
g
(
z
)
−
g
T
(
z
)
|
=
|
∫
T
∞
f
(
t
)
e
−
z
t
d
t
|
≤
B
∫
T
∞
e
−
(
Re
z
)
t
d
t
=
B
e
−
(
Re
z
)
T
Re
z
,
{\displaystyle |g(z)-g_{T}(z)|=\left|\int _{T}^{\infty }f(t)e^{-zt}{\rm {d}}t\right|\leq B\int _{T}^{\infty }e^{-(\operatorname {Re} z)t}{\rm {d}}t={\frac {Be^{-(\operatorname {Re} z)T}}{\operatorname {Re} z}}\ ,}
und es folgt
|
1
2
π
i
∫
C
+
(
g
(
z
)
−
g
T
(
z
)
)
e
z
T
(
1
+
z
2
R
2
)
1
z
d
z
|
≤
1
2
π
L
(
C
+
)
2
B
R
2
=
B
R
,
{\displaystyle \left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C_{+}}(g(z)-g_{T}(z))e^{zT}\left(1+{\frac {z^{2}}{R^{2}}}\right){\frac {1}{z}}{\rm {d}}z\right|\leq {\frac {1}{2\pi }}L(C_{+}){\frac {2B}{R^{2}}}={\frac {B}{R}}\ ,}
welches für
R
→
∞
{\displaystyle R\rightarrow \infty }
gegen null konvergiert. Nun müssen wir noch die
Integrale
1
2
π
i
∫
C
−
g
(
z
)
e
z
T
(
1
+
z
2
R
2
)
1
z
d
z
−
1
2
π
i
∫
C
−
g
T
(
z
)
e
z
T
(
1
+
z
2
R
2
)
1
z
d
z
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{C_{-}}g(z)e^{zT}\left(1+{\frac {z^{2}}{R^{2}}}\right){\frac {1}{z}}{\rm {d}}z-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C_{-}}g_{T}(z)e^{zT}\left(1+{\frac {z^{2}}{R^{2}}}\right){\frac {1}{z}}{\rm {d}}z}
abschätzen. Fangen wir mit dem rechten Integral an. Da
g
T
{\displaystyle g_{T}}
ganz ist, dürfen wir alternativ über
C
−
′
:=
{
z
∈
C
|
|
z
|
=
R
,
Re
z
<
0
}
{\displaystyle C_{-}':=\{z\in \mathbb {C} \ |\ |z|=R,\ \operatorname {Re} z<0\}}
integrieren, denn nach dem cauchyschen Integralsatz ändert
sich das Integral nicht. Dann erhalten wir mit
|
g
T
(
z
)
|
=
|
∫
0
T
f
(
t
)
e
−
z
t
d
t
|
≤
B
∫
−
∞
T
|
e
−
z
t
|
=
B
∫
−
∞
T
e
−
(
Re
z
)
t
=
B
e
−
(
Re
z
)
T
|
Re
z
|
{\displaystyle |g_{T}(z)|=\left|\int _{0}^{T}f(t)e^{-zt}{\rm {d}}t\right|\leq B\int _{-\infty }^{T}|e^{-zt}|=B\int _{-\infty }^{T}e^{-(\operatorname {Re} z)t}={\frac {Be^{-(\operatorname {Re} z)T}}{|\operatorname {Re} z|}}}
und zusammen mit
|
1
2
π
i
∫
C
−
′
g
T
(
z
)
e
z
T
(
1
+
z
2
R
2
)
1
z
d
z
|
≤
1
2
π
L
(
C
−
′
)
2
B
R
2
=
B
R
,
{\displaystyle \left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C_{-}'}g_{T}(z)e^{zT}\left(1+{\frac {z^{2}}{R^{2}}}\right){\frac {1}{z}}{\rm {d}}z\right|\leq {\frac {1}{2\pi }}L(C_{-}'){\frac {2B}{R^{2}}}={\frac {B}{R}}\ ,}
welches für
R
→
∞
{\displaystyle R\rightarrow \infty }
gegen null konvergiert. Wir erhalten somit
insgesamt
g
(
0
)
−
g
T
(
0
)
=
lim
R
→
∞
(
g
(
0
)
−
g
T
(
0
)
)
=
lim
R
→
∞
1
2
π
i
∫
C
−
g
(
z
)
e
z
T
(
1
+
z
2
R
2
)
1
z
d
z
.
{\displaystyle g(0)-g_{T}(0)=\lim _{R\rightarrow \infty }(g(0)-g_{T}(0))=\lim _{R\rightarrow \infty }{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C_{-}}g(z)e^{zT}\left(1+{\frac {z^{2}}{R^{2}}}\right){\frac {1}{z}}{\rm {d}}z\ .}
Sei nun
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
beliebig. Dann gibt es ein
R
=
R
(
ε
)
>
0
{\displaystyle R=R(\varepsilon )>0}
mit
|
g
(
0
)
−
g
T
(
0
)
−
1
2
π
i
∫
C
−
g
(
z
)
e
z
T
(
1
+
z
2
R
2
)
1
z
d
z
|
<
ε
2
.
{\displaystyle \left|g(0)-g_{T}(0)-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C_{-}}g(z)e^{zT}\left(1+{\frac {z^{2}}{R^{2}}}\right){\frac {1}{z}}{\rm {d}}z\right|<{\frac {\varepsilon }{2}}\ .}
Setze
S
=
S
(
R
,
ε
)
:=
sup
{
|
g
(
z
)
|
|
1
+
z
2
R
2
|
1
|
z
|
|
z
∈
C
−
}
<
∞
{\displaystyle S=S(R,\varepsilon ):=\sup \left\{|g(z)||1+{\frac {z^{2}}{R^{2}}}\left|{\frac {1}{|z|}}\right|\ z\in C_{-}\right\}<\infty }
. Dazu gibt es ein geeignetes
T
0
=
T
0
(
R
,
ε
)
>
0
{\displaystyle T_{0}=T_{0}(R,\varepsilon )>0}
mit
∫
C
−
|
e
z
T
|
|
d
z
|
=
∫
C
−
e
(
Re
z
)
T
|
d
z
|
<
ε
π
S
{\displaystyle \int _{C_{-}}|e^{zT}||{\rm {d}}z|=\int _{C_{-}}e^{(\operatorname {Re} z)T}|{\rm {d}}z|<{\frac {\varepsilon \pi }{S}}}
für alle
T
≥
T
0
{\displaystyle T\geq T_{0}}
. Aus der
Dreiecksungleichung folgt daher
|
g
(
0
)
−
g
T
(
0
)
|
<
ε
{\displaystyle |g(0)-g_{T}(0)|<\varepsilon }
,
also
lim
T
→
∞
g
T
(
0
)
=
g
(
0
)
{\displaystyle \lim _{T\rightarrow \infty }g_{T}(0)=g(0)}
.
◻
{\displaystyle \Box }
Es bezeichne
P
{\displaystyle \mathbb {P} }
die Menge aller Primzahlen und
π
(
x
)
:=
|
{
p
∈
P
|
p
≤
x
}
|
{\displaystyle \pi (x):=|\{p\in \mathbb {P} \ |\ p\leq x\}|}
. Für den Primzahlsatz
untersuchen wir die Funktionen
ζ
(
s
)
:=
∑
n
=
1
∞
1
n
s
,
Φ
(
s
)
:=
∑
p
∈
P
ln
p
p
s
{\displaystyle \zeta (s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},\ \Phi (s):=\sum _{p\in \mathbb {P} }{\frac {\ln p}{p^{s}}}}
für
Re
s
>
1
{\displaystyle \operatorname {Re} s>1}
,
ϑ
(
x
)
:=
∑
p
∈
P
,
p
≤
x
ln
p
{\displaystyle \vartheta (x):=\sum _{p\in \mathbb {P} , \atop p\leq x}\ln p}
für
x
∈
R
.
{\displaystyle x\in \mathbb {R} \ .}
Für
Re
s
≥
1
+
δ
{\displaystyle \operatorname {Re} s\geq 1+\delta }
ist nämlich
|
1
n
s
|
=
1
|
e
s
ln
n
|
=
1
n
Re
s
≤
1
n
1
+
δ
{\displaystyle \left|{\frac {1}{n^{s}}}\right|={\frac {1}{|e^{s\ln n}|}}={\frac {1}{n^{\operatorname {Re} s}}}\leq {\frac {1}{n^{1+\delta }}}}
und
∑
n
=
1
∞
1
n
1
+
δ
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{1+\delta }}}}
konvergent. Daher ist die
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s)}
definierende Reihe normal konvergent und somit
ζ
{\displaystyle \zeta }
eine auf
Re
s
>
1
{\displaystyle \operatorname {Re} s>1}
holomorphe Funktion. Beachtet man
|
ln
x
|
≤
C
x
δ
2
{\displaystyle |\ln x|\leq Cx^{\frac {\delta }{2}}}
für
x
≥
1
{\displaystyle x\geq 1}
, so bekommt man
auf dieselbe Weise die normale Konvergenz und Holomorphie von
Φ
{\displaystyle \Phi }
auf
Re
s
>
1
{\displaystyle \operatorname {Re} s>1}
.
Es gelten die folgenden Aussagen:
Es gilt
1
1
−
p
−
s
∈
C
∖
(
−
∞
,
0
]
{\displaystyle {\frac {1}{1-p^{-s}}}\in \mathbb {C} \setminus (-\infty ,0]}
für jede Primzahl
p
∈
P
{\displaystyle p\in \mathbb {P} }
und
Re
s
>
1
{\displaystyle \operatorname {Re} s>1}
, und die Reihe
∑
p
∈
P
ln
(
1
1
−
p
−
s
)
{\displaystyle \sum _{p\in \mathbb {P} }\ln \left({\frac {1}{1-p^{-s}}}\right)}
ist auf
Re
s
>
1
{\displaystyle \operatorname {Re} s>1}
normal konvergent.
Es gilt die eulersche Produktformel
ζ
(
s
)
=
∏
p
∈
P
1
1
−
p
−
s
≠
0
{\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{1-p^{-s}}}\neq 0}
für
Re
s
>
1
.
{\displaystyle \operatorname {Re} s>1\ .}
ζ
(
s
)
−
1
s
−
1
{\displaystyle \zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}}
lässt sich holomorph auf
Re
s
>
0
{\displaystyle \operatorname {Re} s>0}
fortsetzen.
Es gibt ein
C
>
0
{\displaystyle C>0}
mit
ϑ
(
x
)
≤
C
x
{\displaystyle \vartheta (x)\leq Cx}
für alle
x
≥
0
{\displaystyle x\geq 0}
.
ζ
(
s
)
≠
0
{\displaystyle \zeta (s)\neq 0}
für
Re
s
≥
1
,
s
≠
1
{\displaystyle \operatorname {Re} s\geq 1,\ s\neq 1}
, und
Φ
(
s
)
−
1
s
−
1
{\displaystyle \Phi (s)-{\frac {1}{s-1}}}
ist holomorph fortsetzbar auf eine offene Obermenge von
Re
s
≥
1
{\displaystyle \operatorname {Re} s\geq 1}
.
Es existiert
lim
T
→
∞
∫
1
T
ϑ
(
x
)
−
x
x
2
d
x
{\displaystyle \lim _{T\rightarrow \infty }\int _{1}^{T}{\frac {\vartheta (x)-x}{x^{2}}}{\rm {d}}x}
.
Beachte zunächst
|
p
−
s
|
=
p
−
Re
s
<
1
{\displaystyle |p^{-s}|=p^{-\operatorname {Re} s}<1}
für
p
∈
P
{\displaystyle p\in \mathbb {P} }
und
Re
s
>
1
{\displaystyle \operatorname {Re} s>1}
. Also ist
1
1
−
p
−
s
∈
C
∖
(
−
∞
,
0
]
{\displaystyle {\frac {1}{1-p^{-s}}}\in \mathbb {C} \setminus (-\infty ,0]}
und die Summanden der Reihe
∑
p
∈
P
ln
(
1
1
−
p
−
s
)
{\displaystyle \sum _{p\in \mathbb {P} }\ln \left({\frac {1}{1-p^{-s}}}\right)}
wohldefiniert. Für alle
z
∈
C
{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
mit
|
z
|
≥
2
{\displaystyle |z|\geq 2}
gilt
|
z
−
1
|
≥
|
z
|
−
1
≥
|
z
|
−
1
2
|
z
|
=
1
2
|
z
|
{\displaystyle |z-1|\geq |z|-1\geq |z|-{\frac {1}{2}}|z|={\frac {1}{2}}|z|}
. Für
Re
s
≥
1
+
δ
{\displaystyle \operatorname {Re} s\geq 1+\delta }
ist
|
p
s
|
=
p
Re
s
≥
p
1
+
δ
≥
2
{\displaystyle |p^{s}|=p^{\operatorname {Re} s}\geq p^{1+\delta }\geq 2}
für alle
p
≥
P
0
=
P
0
(
δ
)
{\displaystyle p\geq P_{0}=P_{0}(\delta )}
. Es folgt somit
|
1
1
−
p
−
s
−
1
|
=
1
|
p
s
−
1
|
≤
2
|
p
s
|
≤
1
2
{\displaystyle \left|{\frac {1}{1-p^{-s}}}-1\right|={\frac {1}{|p^{s}-1|}}\leq {\frac {2}{|p^{s}|}}\leq {\frac {1}{2}}}
, falls
p
≥
P
0
{\displaystyle p\geq P_{0}}
. Nun ist
ln
z
z
−
1
{\displaystyle {\frac {\ln z}{z-1}}}
wegen
ln
1
=
0
{\displaystyle \ln 1=0}
holomorph auf
B
1
(
1
)
{\displaystyle B_{1}(1)}
. Also ist
C
:=
sup
{
|
ln
z
z
−
1
|
|
z
∈
B
¯
1
2
(
1
)
∖
{
1
}
}
{\displaystyle C:=\sup \left\{\left.\left|{\frac {\ln z}{z-1}}\right|\ \right|\ z\in {\overline {B}}_{\frac {1}{2}}(1)\setminus \{1\}\right\}}
endlich und somit
|
ln
z
|
≤
C
|
z
−
1
|
{\displaystyle |\ln z|\leq C|z-1|}
für alle
z
∈
B
¯
1
2
(
1
)
{\displaystyle z\in {\overline {B}}_{\frac {1}{2}}(1)}
. Für alle
p
≥
P
0
{\displaystyle p\geq P_{0}}
haben wir damit
|
ln
(
1
1
−
p
−
s
)
|
≤
C
|
1
1
−
p
−
s
−
1
|
=
C
1
|
p
s
−
1
|
≤
2
C
p
1
+
δ
{\displaystyle \left|\ln \left({\frac {1}{1-p^{-s}}}\right)\right|\leq C\left|{\frac {1}{1-p^{-s}}}-1\right|=C{\frac {1}{|p^{s}-1|}}\leq {\frac {2C}{p^{1+\delta }}}}
. Wegen der Konvergenz von
∑
p
∈
P
1
p
1
+
δ
{\displaystyle \sum _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{p^{1+\delta }}}}
folgt daraus die behauptete normale Konvergenz von
∑
p
∈
P
ln
(
1
1
−
p
−
s
)
{\displaystyle \sum _{p\in \mathbb {P} }\ln \left({\frac {1}{1-p^{-s}}}\right)}
.
Wir zeigen erst die Konvergenz des unendlichen Produkts. Es ist
lim
n
→
∞
1
1
−
n
−
s
=
1
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{1-n^{-s}}}=1}
. Wegen 1. und der Charakterisierung der Konvergenz unendlicher Produkte ist das unendliche Produkt
∏
p
∈
P
1
1
−
p
−
s
{\displaystyle \prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{1-p^{-s}}}}
konvergent. Da seine Faktoren sämtlich
≠
0
{\displaystyle \neq 0}
sind, muss daher auch der Wert des unendlichen Produkts
≠
0
{\displaystyle \neq 0}
sein.
Nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik lässt sich jede natürliche Zahl auf eindeutige Weise als Produkt von Primzahlen schreiben. Es folgt somit für alle
x
≥
2
{\displaystyle x\geq 2}
∏
p
∈
P
,
p
≤
x
1
1
−
p
−
s
=
∏
p
∈
P
,
p
≤
x
∑
k
=
0
∞
(
p
k
)
−
s
=
∑
n
∈
N
,
p
∣
n
⇒
p
≤
x
n
−
s
=
∑
n
∈
N
,
n
≤
x
n
−
s
+
∑
n
∈
N
,
n
>
x
,
p
∣
n
⇒
p
≤
x
n
−
s
.
{\displaystyle \prod _{p\in \mathbb {P} , \atop p\leq x}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=\prod _{p\in \mathbb {P} , \atop p\leq x}\sum _{k=0}^{\infty }\left(p^{k}\right)^{-s}=\sum _{n\in \mathbb {N} , \atop p\mid n\Rightarrow p\leq x}n^{-s}=\sum _{n\in \mathbb {N} , \atop n\leq x}n^{-s}+\sum _{n\in \mathbb {N} ,\ n>x, \atop p\mid n\Rightarrow p\leq x}n^{-s}\ .}
Für
x
→
∞
{\displaystyle x\rightarrow \infty }
konvergiert der erste Summand gegen
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s)}
, während der zweite Summand gegen null konvergiert. Also muss
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s)}
der Wert des konvergenten unendlichen Produkts
∏
p
∈
P
1
1
−
p
−
s
{\displaystyle \prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{1-p^{-s}}}}
sein.
Für
Re
s
>
1
{\displaystyle \operatorname {Re} s>1}
gilt nämlich
ζ
(
s
)
−
1
s
−
1
=
∑
n
=
1
∞
1
n
s
−
∫
1
∞
1
x
s
=
∑
n
=
1
∞
∫
n
n
+
1
(
1
n
s
−
1
x
s
)
d
x
.
{\displaystyle \zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}-\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{n}^{n+1}\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{x^{s}}}\right){\rm {d}}x\ .}
Da jedes Integral auf
Re
s
>
0
{\displaystyle \operatorname {Re} s>0}
holomorph ist, müssen wir lediglich zeigen, dass die Reihe rechts normal auf
Re
s
>
0
{\displaystyle \operatorname {Re} s>0}
konvergiert. Sei hierzu
Re
s
≥
δ
{\displaystyle \operatorname {Re} s\geq \delta }
und
|
s
|
≤
1
δ
{\displaystyle |s|\leq {\frac {1}{\delta }}}
, dann gilt nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
|
∫
n
n
+
1
(
1
n
s
−
1
x
s
)
d
x
|
=
|
s
∫
n
n
+
1
∫
n
x
d
u
u
s
+
1
d
x
|
≤
max
n
≤
u
≤
n
+
1
|
s
u
s
+
1
|
=
|
s
|
n
(
Re
s
)
+
1
≤
1
δ
n
1
+
δ
,
{\displaystyle \left|\int _{n}^{n+1}\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{x^{s}}}\right){\rm {d}}x\right|=\left|s\int _{n}^{n+1}\int _{n}^{x}{\frac {{\rm {d}}u}{u^{s+1}}}{\rm {d}}x\right|\leq \max _{n\leq u\leq n+1}\left|{\frac {s}{u^{s+1}}}\right|={\frac {|s|}{n^{(\operatorname {Re} s)+1}}}\leq {\frac {1}{\delta n^{1+\delta }}}\ ,}
womit wir die gewünschte holomorphe Fortsetzung konstruiert haben.
Beachte hierfür gemäß dem binomischen Lehrsatz für alle
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
2
2
n
=
(
1
+
1
)
2
n
=
∑
k
=
0
2
n
(
2
n
k
)
≥
(
2
n
n
)
≥
∏
p
∈
P
,
n
<
p
≤
2
n
p
=
e
ϑ
(
2
n
)
−
ϑ
(
n
)
,
{\displaystyle 2^{2n}=(1+1)^{2n}=\sum _{k=0}^{2n}{2n \choose k}\geq {2n \choose n}\geq \prod _{p\in \mathbb {P} , \atop n<p\leq 2n}p=e^{\vartheta (2n)-\vartheta (n)}\ ,}
also
ϑ
(
2
n
)
−
ϑ
(
n
)
≤
2
(
ln
2
)
n
{\displaystyle \vartheta (2n)-\vartheta (n)\leq 2(\ln 2)n}
. Es folgt für alle
x
>
0
{\displaystyle x>0}
ϑ
(
2
x
)
−
ϑ
(
x
)
≤
ϑ
(
2
x
)
−
ϑ
(
⌈
x
⌉
)
+
ln
⌈
x
⌉
≤
ϑ
(
2
⌈
x
⌉
)
−
ϑ
(
⌈
x
⌉
)
+
⌈
x
⌉
≤
2
(
ln
2
)
⌈
x
⌉
+
⌈
x
⌉
{\displaystyle {\begin{array}{lll}\vartheta (2x)-\vartheta (x)&\leq &\vartheta (2x)-\vartheta (\lceil x\rceil )+\ln \lceil x\rceil \leq \vartheta (2\lceil x\rceil )-\vartheta (\lceil x\rceil )+\lceil x\rceil \\&\leq &2(\ln 2)\lceil x\rceil +\lceil x\rceil \\\end{array}}}
und somit
ϑ
(
x
)
−
ϑ
(
x
2
)
≤
c
x
{\displaystyle \vartheta (x)-\vartheta \left({\frac {x}{2}}\right)\leq cx}
für ein geeignetes
c
>
0
{\displaystyle c>0}
. Sei nun
x
>
0
{\displaystyle x>0}
beliebig und
r
∈
N
{\displaystyle r\in \mathbb {N} }
mit
ϑ
(
x
2
r
)
=
0
{\displaystyle \vartheta \left({\frac {x}{2^{r}}}\right)=0}
. Dann folgt
ϑ
(
x
)
=
ϑ
(
x
)
−
ϑ
(
x
2
r
)
=
∑
k
=
0
r
−
1
[
ϑ
(
x
2
k
)
−
ϑ
(
x
2
k
+
1
)
]
≤
c
∑
k
=
0
r
−
1
x
2
k
≤
2
c
x
.
{\displaystyle \vartheta (x)=\vartheta (x)-\vartheta \left({\frac {x}{2^{r}}}\right)=\sum _{k=0}^{r-1}\left[\vartheta \left({\frac {x}{2^{k}}}\right)-\vartheta \left({\frac {x}{2^{k+1}}}\right)\right]\leq c\sum _{k=0}^{r-1}{\frac {x}{2^{k}}}\leq 2cx\ .}
Für
s
>
1
{\displaystyle s>1}
ist
ζ
(
s
)
≥
1
{\displaystyle \zeta (s)\geq 1}
. Also dürfen wir
ln
(
ζ
(
s
)
)
{\displaystyle \ln(\zeta (s))}
bilden, und es gilt
ln
(
ζ
(
s
)
)
=
ln
(
lim
x
→
∞
∏
p
∈
P
,
p
≤
x
1
1
−
p
−
s
)
=
lim
x
→
∞
ln
(
∏
p
∈
P
,
p
≤
x
1
1
−
p
−
s
)
=
∑
p
∈
P
ln
(
1
1
−
p
−
s
)
.
{\displaystyle \ln(\zeta (s))=\ln \left(\lim _{x\rightarrow \infty }\prod _{p\in \mathbb {P} , \atop p\leq x}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\right)=\lim _{x\rightarrow \infty }\ln \left(\prod _{p\in \mathbb {P} , \atop p\leq x}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\right)=\sum _{p\in \mathbb {P} }\ln \left({\frac {1}{1-p^{-s}}}\right)\ .}
Wir dürfen die Reihe wegen der normalen Konvergenz nach 1. gliedweise differenzieren und erhalten zunächst nur für
s
>
1
{\displaystyle s>1}
−
ζ
′
(
s
)
ζ
(
s
)
=
−
∑
p
∈
P
d
d
s
ln
(
1
1
−
p
−
s
)
=
∑
p
∈
P
ln
p
p
s
−
1
=
Φ
(
s
)
+
∑
p
∈
P
ln
p
p
s
(
p
s
−
1
)
.
{\displaystyle -{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{p\in \mathbb {P} }{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}s}}\ln \left({\frac {1}{1-p^{-s}}}\right)=\sum _{p\in \mathbb {P} }{\frac {\ln p}{p^{s}-1}}=\Phi (s)+\sum _{p\in \mathbb {P} }{\frac {\ln p}{p^{s}(p^{s}-1)}}\ .}
Die Reihe rechts ist auf
Re
s
>
1
2
{\displaystyle \operatorname {Re} s>{\frac {1}{2}}}
normal konvergent. Sei hierfür
Re
s
≥
1
2
+
δ
{\displaystyle \operatorname {Re} s\geq {\frac {1}{2}}+\delta }
und
ln
x
≤
C
x
δ
{\displaystyle \ln x\leq Cx^{\delta }}
. Es ist
|
n
s
|
=
n
Re
s
≥
n
1
2
+
δ
→
∞
{\displaystyle |n^{s}|=n^{\operatorname {Re} s}\geq n^{{\frac {1}{2}}+\delta }\rightarrow \infty }
für
n
→
∞
{\displaystyle n\rightarrow \infty }
. Nun haben wir
|
p
s
−
1
|
≥
1
2
|
p
s
|
≥
1
2
p
1
2
+
δ
{\displaystyle |p^{s}-1|\geq {\frac {1}{2}}|p^{s}|\geq {\frac {1}{2}}p^{{\frac {1}{2}}+\delta }}
für hinreichend große Primzahlen
p
≥
P
0
=
P
0
(
δ
)
{\displaystyle p\geq P_{0}=P_{0}(\delta )}
. Damit ist
|
ln
p
p
s
(
p
s
−
1
)
|
≤
C
p
δ
p
1
2
+
δ
1
2
p
1
2
+
δ
=
2
C
1
p
1
+
δ
{\displaystyle \left|{\frac {\ln p}{p^{s}(p^{s}-1)}}\right|\leq C{\frac {p^{\delta }}{p^{{\frac {1}{2}}+\delta }{\frac {1}{2}}p^{{\frac {1}{2}}+\delta }}}=2C{\frac {1}{p^{1+\delta }}}}
für alle
p
≥
P
0
(
δ
)
{\displaystyle p\geq P_{0}(\delta )}
und die Reihe normal konvergent. Somit ist
∑
p
∈
P
ln
p
p
s
(
p
s
−
1
)
{\displaystyle \sum _{p\in \mathbb {P} }{\frac {\ln p}{p^{s}(p^{s}-1)}}}
holomorph auf
Re
s
>
1
2
{\displaystyle \operatorname {Re} s>{\frac {1}{2}}}
. Insbesondere gilt
−
ζ
′
(
s
)
ζ
(
s
)
=
Φ
(
s
)
+
∑
p
∈
P
ln
p
p
s
(
p
s
−
1
)
{\displaystyle -{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\Phi (s)+\sum _{p\in \mathbb {P} }{\frac {\ln p}{p^{s}(p^{s}-1)}}}
nach dem Identitätssatz auf
Re
s
>
1
{\displaystyle \operatorname {Re} s>1}
. Weil
−
ζ
′
(
s
)
ζ
(
s
)
{\displaystyle -{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}}
nach 3. sogar auf
Re
s
>
0
{\displaystyle \operatorname {Re} s>0}
meromorph fortsetzbar ist, ist
Φ
{\displaystyle \Phi }
auf
Re
s
>
1
2
{\displaystyle \operatorname {Re} s>{\frac {1}{2}}}
meromorph fortsetzbar.
Wir zeigen nun die Holomorphie von
Φ
(
s
)
−
1
s
−
1
{\displaystyle \Phi (s)-{\frac {1}{s-1}}}
im Punkt
s
=
1
{\displaystyle s=1}
. Es ist
Φ
(
s
)
−
1
s
−
1
=
H
(
s
)
−
[
ζ
′
(
s
)
ζ
(
s
)
+
1
s
−
1
]
{\displaystyle \Phi (s)-{\frac {1}{s-1}}=H(s)-\left[{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}+{\frac {1}{s-1}}\right]}
mit einer holomorphen Funktion
H
{\displaystyle H}
. Nach 3. gibt es holomorphe Funktionen
H
1
,
H
2
{\displaystyle H_{1},H_{2}}
mit
ζ
(
s
)
=
1
s
−
1
+
H
1
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+H_{1}(s)}
und
ζ
′
(
s
)
=
−
1
(
s
−
1
)
2
+
H
2
(
s
)
{\displaystyle \zeta '(s)=-{\frac {1}{(s-1)^{2}}}+H_{2}(s)}
auf
Re
s
>
1
2
{\displaystyle \operatorname {Re} s>{\frac {1}{2}}}
. Es folgt
ζ
′
(
s
)
ζ
(
s
)
+
1
s
−
1
=
(
s
−
1
)
ζ
′
(
s
)
+
ζ
(
s
)
(
s
−
1
)
ζ
(
s
)
=
H
1
(
s
)
+
(
s
−
1
)
H
2
(
s
)
1
+
(
s
−
1
)
H
1
(
s
)
.
{\displaystyle {\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}+{\frac {1}{s-1}}={\frac {(s-1)\zeta '(s)+\zeta (s)}{(s-1)\zeta (s)}}={\frac {H_{1}(s)+(s-1)H_{2}(s)}{1+(s-1)H_{1}(s)}}\ .}
Dieser Ausdruck ist in
s
=
1
{\displaystyle s=1}
stetig ergänzbar. Also ist
Φ
(
s
)
−
1
s
−
1
{\displaystyle \Phi (s)-{\frac {1}{s-1}}}
holomorph in
s
=
1
{\displaystyle s=1}
.
Wir müssen nur noch nachweisen, dass
ζ
(
s
)
≠
0
{\displaystyle \zeta (s)\neq 0}
für
Re
s
=
1
{\displaystyle \operatorname {Re} s=1}
und
s
≠
1
{\displaystyle s\neq 1}
gilt. Sei hierzu
α
∈
R
∖
{
0
}
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} \setminus \{0\}}
beliebig. Sei
μ
∈
Z
{\displaystyle \mu \in \mathbb {Z} }
die Ordnung der Nullstelle von
ζ
{\displaystyle \zeta }
in
s
=
1
+
i
α
{\displaystyle s=1+i\alpha }
. Es ist also
μ
=
0
{\displaystyle \mu =0}
zu zeigen. Weiter bezeichne
ν
∈
Z
{\displaystyle \nu \in \mathbb {Z} }
die Nullstellenordnung von
ζ
{\displaystyle \zeta }
in
s
=
1
+
2
i
α
{\displaystyle s=1+2i\alpha }
. Nach 3. ist
μ
,
ν
≥
0
{\displaystyle \mu ,\nu \geq 0}
. Es folgt
lim
ε
↘
0
ε
Φ
(
1
+
ε
)
=
lim
ε
↘
0
ε
(
H
~
(
1
+
ε
)
+
1
ε
)
=
1
{\displaystyle \lim _{\varepsilon \searrow 0}\varepsilon \Phi (1+\varepsilon )=\lim _{\varepsilon \searrow 0}\varepsilon \left({\tilde {H}}(1+\varepsilon )+{\frac {1}{\varepsilon }}\right)=1}
mit einer in
s
=
1
{\displaystyle s=1}
holomorphen Funktion
H
~
(
s
)
:=
Φ
(
s
)
−
1
s
−
1
.
{\displaystyle {\tilde {H}}(s):=\Phi (s)-{\frac {1}{s-1}}\ .}
Nach Definition von
μ
{\displaystyle \mu }
gibt es in
s
=
1
+
i
α
{\displaystyle s=1+i\alpha }
holomorphe Funktionen
h
1
,
h
2
{\displaystyle h_{1},\ h_{2}}
mit
ζ
(
s
)
=
c
(
s
−
1
−
i
α
)
μ
+
(
s
−
1
−
i
α
)
μ
+
1
h
1
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s)=c(s-1-i\alpha )^{\mu }+(s-1-i\alpha )^{\mu +1}h_{1}(s)}
und
ζ
′
(
s
)
=
μ
c
(
s
−
1
−
i
α
)
μ
−
1
+
(
s
−
1
−
i
α
)
μ
h
2
(
s
)
{\displaystyle \zeta '(s)=\mu c(s-1-i\alpha )^{\mu -1}+(s-1-i\alpha )^{\mu }h_{2}(s)}
, wobei
c
≠
0
{\displaystyle c\neq 0}
. Es folgt
−
ε
ζ
′
(
1
+
ε
+
i
α
)
ζ
(
1
+
ε
+
i
α
)
=
−
ε
μ
c
ε
μ
−
1
+
ε
μ
h
2
(
1
+
ε
+
i
α
)
c
ε
μ
+
ε
μ
+
1
h
1
(
1
+
ε
+
i
α
)
=
−
μ
c
+
ε
h
2
(
1
+
ε
+
i
α
)
c
+
ε
h
1
(
1
+
ε
+
i
α
)
→
−
μ
{\displaystyle -\varepsilon {\frac {\zeta '(1+\varepsilon +i\alpha )}{\zeta (1+\varepsilon +i\alpha )}}=-\varepsilon {\frac {\mu c\varepsilon ^{\mu -1}+\varepsilon ^{\mu }h_{2}(1+\varepsilon +i\alpha )}{c\varepsilon ^{\mu }+\varepsilon ^{\mu +1}h_{1}(1+\varepsilon +i\alpha )}}=-{\frac {\mu c+\varepsilon h_{2}(1+\varepsilon +i\alpha )}{c+\varepsilon h_{1}(1+\varepsilon +i\alpha )}}\rightarrow -\mu }
für
ε
↘
0
{\displaystyle \varepsilon \searrow 0}
. Also bekommen wir
lim
ε
↘
0
ε
Φ
(
1
+
ε
+
i
α
)
=
−
μ
und
lim
ε
↘
0
ε
Φ
(
1
+
ε
+
2
i
α
)
=
−
ν
,
{\displaystyle \lim _{\varepsilon \searrow 0}\varepsilon \Phi (1+\varepsilon +i\alpha )=-\mu \ {\text{und}}\ \lim _{\varepsilon \searrow 0}\varepsilon \Phi (1+\varepsilon +2i\alpha )=-\nu \ ,}
wobei der zweite Grenzwert natürlich analog zum ersten Grenzwert gezeigt wird. Für
Re
s
>
1
{\displaystyle \operatorname {Re} s>1}
ist
ζ
(
s
¯
)
=
∑
n
=
1
∞
n
−
s
¯
=
∑
n
=
1
∞
n
−
s
¯
=
ζ
(
s
)
¯
{\displaystyle \zeta ({\overline {s}})=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-{\overline {s}}}={\overline {\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}}}={\overline {\zeta (s)}}}
. Weil
ζ
{\displaystyle \zeta }
in
1
+
i
α
{\displaystyle 1+i\alpha }
eine Nullstelle der Ordnung
μ
{\displaystyle \mu }
hat, ist
lim
ε
↘
0
ζ
(
1
+
ε
+
i
α
)
ε
μ
=
c
≠
0
{\displaystyle \lim _{\varepsilon \searrow 0}{\frac {\zeta (1+\varepsilon +i\alpha )}{\varepsilon ^{\mu }}}=c\neq 0}
und somit
lim
ε
↘
0
ζ
(
1
+
ε
−
i
α
)
ε
μ
=
c
¯
≠
0
{\displaystyle \lim _{\varepsilon \searrow 0}{\frac {\zeta (1+\varepsilon -i\alpha )}{\varepsilon ^{\mu }}}={\overline {c}}\neq 0}
. Also hat
ζ
{\displaystyle \zeta }
in
1
−
i
α
{\displaystyle 1-i\alpha }
ebenfalls eine Nullstelle der Ordnung
μ
{\displaystyle \mu }
und in
1
−
2
i
α
{\displaystyle 1-2i\alpha }
eine Nullstelle der Ordnung
ν
{\displaystyle \nu }
, und wir erhalten analog
lim
ε
↘
0
ε
Φ
(
1
+
ε
−
i
α
)
=
−
μ
und
lim
ε
↘
0
ε
Φ
(
1
+
ε
−
2
i
α
)
=
−
ν
.
{\displaystyle \lim _{\varepsilon \searrow 0}\varepsilon \Phi (1+\varepsilon -i\alpha )=-\mu \ {\text{und}}\ \lim _{\varepsilon \searrow 0}\varepsilon \Phi (1+\varepsilon -2i\alpha )=-\nu \ .}
Beachte nun die Ungleichung
∑
r
=
−
2
2
(
4
2
+
r
)
Φ
(
1
+
ε
+
i
r
α
)
=
∑
p
∈
P
ln
p
p
1
+
ε
∑
r
=
−
2
2
(
4
2
+
r
)
1
p
i
r
α
=
∑
p
∈
P
ln
p
p
1
+
ε
[
(
p
i
α
2
)
4
+
4
(
p
i
α
2
)
3
p
−
i
α
2
+
6
(
p
i
α
2
)
2
(
p
−
i
α
2
)
2
+
4
p
i
α
2
(
p
−
i
α
2
)
3
+
(
p
−
i
α
2
)
4
]
=
∑
p
∈
P
ln
p
p
1
+
ε
(
p
i
α
2
+
p
i
α
2
¯
)
4
=
∑
p
∈
P
ln
p
p
1
+
ε
(
2
Re
p
i
α
2
)
4
≥
0
.
{\displaystyle {\begin{array}{lll}\sum _{r=-2}^{2}{4 \choose 2+r}\Phi (1+\varepsilon +ir\alpha )&=&\sum _{p\in \mathbb {P} }{\frac {\ln p}{p^{1+\varepsilon }}}\sum _{r=-2}^{2}{4 \choose 2+r}{\frac {1}{p^{ir\alpha }}}\\&=&\sum _{p\in \mathbb {P} }{\frac {\ln p}{p^{1+\varepsilon }}}[(p^{i{\frac {\alpha }{2}}})^{4}+4(p^{i{\frac {\alpha }{2}}})^{3}p^{-i{\frac {\alpha }{2}}}+6(p^{i{\frac {\alpha }{2}}})^{2}(p^{-i{\frac {\alpha }{2}}})^{2}\\&&\quad \quad \quad \quad +4p^{i{\frac {\alpha }{2}}}(p^{-i{\frac {\alpha }{2}}})^{3}+(p^{-i{\frac {\alpha }{2}}})^{4}]\\&=&\sum _{p\in \mathbb {P} }{\frac {\ln p}{p^{1+\varepsilon }}}(p^{i{\frac {\alpha }{2}}}+{\overline {p^{i{\frac {\alpha }{2}}}}})^{4}=\sum _{p\in \mathbb {P} }{\frac {\ln p}{p^{1+\varepsilon }}}(2\operatorname {Re} p^{i{\frac {\alpha }{2}}})^{4}\geq 0\ .\\\end{array}}}
Multiplikation mit
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
und Grenzübergang
ε
↘
0
{\displaystyle \varepsilon \searrow 0}
impliziert
0
≤
−
ν
−
4
μ
+
6
−
4
μ
−
ν
=
6
−
8
μ
−
2
ν
{\displaystyle 0\leq -\nu -4\mu +6-4\mu -\nu =6-8\mu -2\nu }
, also
μ
=
0
{\displaystyle \mu =0}
, wie behauptet.
Nach 5. ist
g
(
s
)
:=
Φ
(
s
+
1
)
s
+
1
−
1
s
{\displaystyle g(s):={\frac {\Phi (s+1)}{s+1}}-{\frac {1}{s}}}
holomorph auf einer Obermenge von
Re
s
≥
0
{\displaystyle \operatorname {Re} s\geq 0}
. Um
g
{\displaystyle g}
auszurechnen, beachte man für
Re
s
>
1
{\displaystyle \operatorname {Re} s>1}
mit Hilfe der partiellen Summation und 4.
Φ
(
s
)
=
lim
x
→
∞
∑
p
∈
P
,
p
≤
x
ln
p
p
s
=
lim
x
→
∞
[
ϑ
(
x
)
x
s
−
∫
2
x
ϑ
(
t
)
(
t
−
s
)
′
d
t
]
=
s
∫
1
∞
ϑ
(
x
)
x
s
+
1
d
x
,
{\displaystyle \Phi (s)=\lim _{x\rightarrow \infty }\sum _{p\in \mathbb {P} , \atop p\leq x}{\frac {\ln p}{p^{s}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }\left[{\frac {\vartheta (x)}{x^{s}}}-\int _{2}^{x}\vartheta (t)(t^{-s})'{\rm {d}}t\right]=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\vartheta (x)}{x^{s+1}}}{\rm {d}}x\ ,}
also
Φ
(
s
)
=
s
∫
0
∞
e
−
s
t
ϑ
(
e
t
)
d
t
{\displaystyle \Phi (s)=s\int _{0}^{\infty }e^{-st}\vartheta (e^{t}){\rm {d}}t}
mittels der Substitution
x
=
e
t
{\displaystyle x=e^{t}}
. Damit ist
g
(
s
)
=
∫
0
∞
e
−
s
t
ϑ
(
e
t
)
e
−
t
d
t
−
1
s
=
∫
0
∞
e
−
s
t
(
ϑ
(
e
t
)
e
−
t
−
1
)
d
t
{\displaystyle g(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\vartheta (e^{t})e^{-t}{\rm {d}}t-{\frac {1}{s}}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}(\vartheta (e^{t})e^{-t}-1){\rm {d}}t}
für
Re
s
>
0
.
{\displaystyle \operatorname {Re} s>0\ .}
Nach 4. ist
f
(
t
)
:=
ϑ
(
e
t
)
e
−
t
−
1
{\displaystyle f(t):=\vartheta (e^{t})e^{-t}-1}
beschränkt. Aus obigem Satz bekommen wir die Konvergenz von
lim
T
→
∞
∫
0
T
(
ϑ
(
e
t
)
e
−
t
−
1
)
d
t
=
lim
T
→
∞
∫
1
T
ϑ
(
x
)
−
x
x
2
d
x
{\displaystyle \lim _{T\rightarrow \infty }\int _{0}^{T}(\vartheta (e^{t})e^{-t}-1){\rm {d}}t=\lim _{T\rightarrow \infty }\int _{1}^{T}{\frac {\vartheta (x)-x}{x^{2}}}{\rm {d}}x}
.
◻
{\displaystyle \Box }
Es gilt
lim
x
→
∞
[
ϑ
(
x
)
x
]
=
1
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\left[{\frac {\vartheta (x)}{x}}\right]=1}
und
lim
x
→
∞
[
π
(
x
)
⋅
ln
x
x
]
=
1
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\left[\pi (x)\cdot {\frac {\ln x}{x}}\right]=1}
.
Angenommen, es wäre
lim sup
x
→
∞
ϑ
(
x
)
x
>
1
{\displaystyle \limsup _{x\rightarrow \infty }{\frac {\vartheta (x)}{x}}>1}
. Wähle ein
λ
∈
(
1
,
lim sup
x
→
∞
ϑ
(
x
)
x
)
{\displaystyle \lambda \in \left(1,\limsup _{x\rightarrow \infty }{\frac {\vartheta (x)}{x}}\right)}
. Nach Lemma, 6., gibt es ein
R
>
0
{\displaystyle R>0}
mit
|
∫
x
y
ϑ
(
t
)
−
t
t
2
d
t
|
<
∫
1
λ
λ
−
u
u
2
d
u
{\displaystyle |\int _{x}^{y}{\frac {\vartheta (t)-t}{t^{2}}}{\rm {d}}t|<\int _{1}^{\lambda }{\frac {\lambda -u}{u^{2}}}{\rm {d}}u}
für alle
x
,
y
≥
R
{\displaystyle x,y\geq R}
. Nach Wahl von
λ
{\displaystyle \lambda }
gibt es ein
x
≥
R
{\displaystyle x\geq R}
mit
ϑ
(
x
)
≥
λ
x
{\displaystyle \vartheta (x)\geq \lambda x}
. Da
ϑ
{\displaystyle \vartheta }
monoton wachsend ist, folgt
∫
1
λ
λ
−
u
u
2
d
u
>
|
∫
x
λ
x
ϑ
(
t
)
−
t
t
2
d
t
|
≥
∫
x
λ
x
λ
x
−
t
t
2
d
t
=
∫
1
λ
λ
−
u
u
2
d
u
.
{\displaystyle \int _{1}^{\lambda }{\frac {\lambda -u}{u^{2}}}{\rm {d}}u>\left|\int _{x}^{\lambda x}{\frac {\vartheta (t)-t}{t^{2}}}{\rm {d}}t\right|\geq \int _{x}^{\lambda x}{\frac {\lambda x-t}{t^{2}}}{\rm {d}}t=\int _{1}^{\lambda }{\frac {\lambda -u}{u^{2}}}{\rm {d}}u\ .}
Wäre hingegen
lim inf
x
→
∞
ϑ
(
x
)
x
<
1
{\displaystyle \liminf _{x\rightarrow \infty }{\frac {\vartheta (x)}{x}}<1}
, so wähle ein
λ
∈
(
lim inf
x
→
∞
ϑ
(
x
)
x
,
1
)
{\displaystyle \lambda \in \left(\liminf _{x\rightarrow \infty }{\frac {\vartheta (x)}{x}},1\right)}
. Nach Lemma, 6., gibt es ein
R
>
0
{\displaystyle R>0}
mit
|
∫
x
y
ϑ
(
t
)
−
t
t
2
d
t
|
<
|
∫
λ
1
λ
−
u
u
2
d
u
|
{\displaystyle \left|\int _{x}^{y}{\frac {\vartheta (t)-t}{t^{2}}}{\rm {d}}t\right|<\left|\int _{\lambda }^{1}{\frac {\lambda -u}{u^{2}}}{\rm {d}}u\right|}
für alle
x
,
y
≥
R
{\displaystyle x,y\geq R}
. Nach Wahl von
λ
{\displaystyle \lambda }
gibt es ein
x
≥
R
λ
{\displaystyle x\geq {\frac {R}{\lambda }}}
mit
ϑ
(
x
)
≤
λ
x
{\displaystyle \vartheta (x)\leq \lambda x}
. Da
ϑ
{\displaystyle \vartheta }
monoton wachsend ist, folgt
∫
λ
x
x
ϑ
(
t
)
−
t
t
2
d
t
≤
∫
λ
x
x
λ
x
−
t
t
2
d
t
=
∫
λ
1
λ
−
u
u
2
d
u
<
0
,
{\displaystyle \int _{\lambda x}^{x}{\frac {\vartheta (t)-t}{t^{2}}}{\rm {d}}t\leq \int _{\lambda x}^{x}{\frac {\lambda x-t}{t^{2}}}{\rm {d}}t=\int _{\lambda }^{1}{\frac {\lambda -u}{u^{2}}}{\rm {d}}u<0\ ,}
also der gewünschte Widerspruch
|
∫
λ
x
x
ϑ
(
t
)
−
t
t
2
d
t
|
≥
|
∫
λ
1
λ
−
u
u
2
d
u
|
{\displaystyle \left|\int _{\lambda x}^{x}{\frac {\vartheta (t)-t}{t^{2}}}{\rm {d}}t\right|\geq \left|\int _{\lambda }^{1}{\frac {\lambda -u}{u^{2}}}{\rm {d}}u\right|}
.
ϑ
(
x
)
=
∑
p
∈
P
,
p
≤
x
ln
p
≤
∑
p
∈
P
,
p
≤
x
ln
x
=
π
(
x
)
ln
x
,
{\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\in \mathbb {P} , \atop p\leq x}\ln p\leq \sum _{p\in \mathbb {P} , \atop p\leq x}\ln x=\pi (x)\ln x\ ,}
also
lim inf
x
→
∞
π
(
x
)
ln
x
x
≥
1
{\displaystyle \liminf _{x\rightarrow \infty }\pi (x){\frac {\ln x}{x}}\geq 1}
. Andererseits ist für jedes
ε
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle \varepsilon \in (0,1)}
ϑ
(
x
)
≥
∑
p
∈
P
,
x
1
−
ε
<
p
≤
x
ln
p
≥
(
1
−
ε
)
⋅
∑
p
∈
P
,
x
1
−
ε
<
p
≤
x
ln
x
=
(
1
−
ε
)
ln
x
[
π
(
x
)
−
π
(
x
1
−
ε
)
]
.
{\displaystyle \vartheta (x)\geq \sum _{p\in \mathbb {P} , \atop x^{1-\varepsilon }<p\leq x}\ln p\geq (1-\varepsilon )\cdot \sum _{p\in \mathbb {P} , \atop x^{1-\varepsilon }<p\leq x}\ln x=(1-\varepsilon )\ln x[\pi (x)-\pi (x^{1-\varepsilon })]\ .}
Nun ist für hinreichend große
x
{\displaystyle x}
nämlich nach Lemma, 4.,
π
(
x
1
−
ε
)
=
∑
p
∈
P
,
p
≤
x
1
−
ε
1
≤
∑
p
∈
P
,
p
≤
x
1
−
ε
ln
p
=
ϑ
(
x
1
−
ε
)
≤
C
x
1
−
ε
.
{\displaystyle \pi (x^{1-\varepsilon })=\sum _{p\in \mathbb {P} , \atop p\leq x^{1-\varepsilon }}1\leq \sum _{p\in \mathbb {P} , \atop p\leq x^{1-\varepsilon }}\ln p=\vartheta (x^{1-\varepsilon })\leq Cx^{1-\varepsilon }\ .}
Also ist
lim
x
→
∞
ln
x
⋅
π
(
x
1
−
ε
)
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\ln x\cdot \pi (x^{1-\varepsilon })}{x}}=0}
, und wir erhalten
lim sup
x
→
∞
π
(
x
)
ln
x
x
≤
1
1
−
ε
{\displaystyle \limsup _{x\rightarrow \infty }\pi (x){\frac {\ln x}{x}}\leq {\frac {1}{1-\varepsilon }}}
.
◻
{\displaystyle \Box }
Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie . Springer, 5. Auflage, 2002.
Don Zagier: Newman's Short Proof of the Prime Number Theorem . The American Mathematical Monthly, 104 , 705-708, 1997.