Beweisarchiv: Zahlentheorie: Algebraische Zahlentheorie: Pythagoraszahl nicht-reeller Körper

Beweisarchiv: Zahlentheorie

Elementare Zahlentheorie: Kleiner Satz von Fermat · Satz von Euklid · Satz von Wilson · Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung
Algebraische Zahlentheorie: Pythagoraszahl nicht-reeller Körper · Korrespondenzsatz der algebraischen Zahlentheorie · Zerlegungsgesetz
Analytische Zahlentheorie: Irrationalität von · Primzahlsatz



Einige Beweise zum Begriff der Pythagoraszahl.

Satz (Pythagoraszahl nicht-reeller Körper)Bearbeiten

Sei   ein nicht-reeller Körper (d.h. -1 lässt sich in   als Summe von Quadraten darstellen). Dann lässt sich die Pythagoraszahl von   abschätzen durch die Stufe   von  :

 


Beweis: Falls  , (vgl. Körper- und Ringtheorie) dann ist  , denn es gilt

 

Sei also  , sei   und   für gewisse  . Sei   eine Quadratsumme beliebiger Länge, dann gilt

 

Falls   wäre, dann existierte insbesondere auch eine Darstellung der -1 als Quadratsumme der Länge  , was im Widerspruch zur Definition der Stufe von F stünde.

Demnach ist  .

 

Satz (Pythagoraszahl von Körpern mit Charakteristik einer Primpotenz)Bearbeiten

 

für alle   wo   prim und   ist.

Beweis: Wir zeigen, dass für   gilt:  , wobei mit   die mulitplikative Untergruppe   von   gemeint ist und   selbst kein Quadrat, sondern genau die Summe zweier Quadrate ist.

Betrachte den Gruppenhomomorphismus in  , der   auf   abbildet. Der Kern dieser Abbildung ist  . Es gilt also   und  . Damit ist   für   und folglich  .

Betrachte nun die Mengen   und  . Beide Mengen haben Kardinalität  , also ist ihre Schnittmenge nicht leer, und folglich existieren  , so dass  . Da   beliebig war, folgt  .

 

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