Beweisarchiv: Lie-Algebren: Wurzelsysteme: Klassifikation von Wurzelsystemen

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Wurzelsysteme: Klassifikation von Wurzelsystemen


Inhaltsverzeichnis

Definitionen und Aussage des KlassifikationssatzesBearbeiten

Definitionen: Eine Teilmenge eines Vektorraums über einem Körper der Charakteristik 0 heißt Wurzelsystem, falls sie die folgenden Bedingungen erfüllt:

  1. ist endlich.
  2. ist ein lineares Erzeugendensystem von .
  3. Zu jedem aus gibt es eine Linearform mit den Eigenschaften:
    • Für ist .
    • Die lineare Abbildung mit bildet auf ab.

Ein reduziertes Wurzelsystem liegt vor, falls zusätzlich gilt

4. Sind zwei Wurzeln linear abhängig, so gilt .

Die Dimension von heißt der Rang des Wurzelsystems.


Sind zwei Wurzelsysteme vom Rang , so ist ein Wurzelsystem vom Rang und heißt die direkte Summe von und . Läßt sich als direkte Summe nicht-leerer Wurzelsysteme schreiben, so heißt reduzibel. Ist weder leer und noch reduzibel, so heißt irreduzibel


Satz (Klassifikation von reduzierten Wurzelsystemen): Jedes Wurzelsystem ist die direkte Summe endlich vieler irreduzibler Wurzelsysteme. Jedes irreduzible reduzierte Wurzelsystem ist (auf weiter unten beschriebene Weise) vom Typ , , , , , , , oder .


Die Zerlegbarkeit in irreduzible Wurzelsysteme ist hierbei klar. Die Arbeit liegt in der Klassifikation der irreduziblen Komponenten.

HilfssätzeBearbeiten

Eindeutigkeit der Reflexionen und KowurzelnBearbeiten

Hilfssatz/Definition: Zu jedem sind die Abbildungen und aus der Definition eindeutig bestimmt. ist eine Involution. Man bezeichnet als die Kowurzel zu und als die zu gehörige Reflexion.

Beweis: Sei zu neben auch eine Abbildung mit den geforderten Eigenschaften. Für die entsprechend definierte Abbildung gilt insbesondere ebenfalls . Dann gilt und speziell . Ist jetzt so folgt und daher , d.h. auf der affinen Gerade ist eine Translation um . Da diese die nicht-leere endliche Menge invariant lassen muss, ist diese Translation die Identität, wegen folgt daher . Aus der Übereinstimmung auf dem Erzeugendensystem folgt dann insgesamt und ebenso .

Da sowohl auf dem 1-codimensionalen Unterraum als auch auf dem nicht darin liegenden die Identität ist, ist insgesamt die Identität, also eine Involution.

Korollar: Für alle ist und . Für alle ist und .

Beweis: Die Abbildung stimmt auf dem 1-kodimensionalen Raum mit überein und bildet auf ab.

Zu beliebigem setze . Dann ist

Aus der Ganzzahligkeit von und der Eindeutigkeit der zu gehörenden Kowurzel und Reflexion folgt und .

Die weiteren Aussagen erhält man im Spezialfall .

Duales WurzelsystemBearbeiten

Satz: Ist ein Wurzelsystem, so ist auch ein Wurzelsystem.

Beweis: Zunächst ist eine endliche Teilmenge von .

Zu definieren wir die lineare Abbildung und die zugehörige Reflexion .

Ist jetzt , so ist zunächst stets ganzzahlig, speziell ist .

Weiter gilt für stets , also .

Somit ist zumindest in einem möglicherweise niederdimensionalen Unterraum von ein Wurzelsystem. Da aber ganz klar über die kanonische Isomorphie wieder ergibt, muß dieser Unterraum ganz sein.

Weyl-GruppeBearbeiten

Da die Involutionen, also Automorphismen von sind, ist es sinnvoll, die Weyl-Gruppe, d.i. die von erzeugte Untergruppe , zu betrachten.

Hilfssatz: Die Weyl-Gruppe operiert treu auf und ist endlich.

Beweis: Da für die Erzeugenden bereits und wegen der Invertierbarkeit sogar gilt, erhalten wir einen Gruppenhomomorphismus , also eine Operation von auf . Da ein Erzeugendensystem von ist, operiert hierbei nur die Identität von trivial auf , d.h. die Operation ist treu. Dann ist aber eine injektive Abbildung in eine endliche Gruppe, also ist endlich.

Beziehung zwischen zwei WurzelnBearbeiten

Hilfssatz: Sind zwei Wurzeln eines reduzierten Wurzelsystems, so gilt

  • oder
  • oder
  • einer der Werte ist 1 und der andere ist 2 oder 3 oder
  • einer der Werte ist -1 und der andere ist -2 oder -3

Falls das Wurzelsystem nicht reduziert ist, gibt es noch die Möglichkeit

  • oder umgekehrt.

Beweis: Seien zunächst linear abhängig, etwa . Dann folgt , also gilt. Ebenso folgt aus , dass . Dass beide Werte ganzzahlig sind, ist nur für möglich. Bei einem reduzierten Fall folgt sogar direkt aus der Definition, dass nur möglich ist.

Falls dagegen linear unabhängig sind, werden die zugehörigen Reflexionen auf bezüglich der Basis durch

als Matrizen beschrieben. Das Produkt

muß wegen der Endlichkeit von endliche Ordnung haben, d.h. alle Eigenwerte in sind Einheitswurzeln. Insbesondere kann die Spur nur Werte in annehmen. Ist die Spur 2 oder -2, muß sogar konjugiert zu (und damit sogar gleich) Einheitsmatrix sein. Dies bedeutet für die Einträge außerhalb der Diagonalen und wird vom zweiten Fall erfaßt. Ansonsten gilt also . Da und ganzzahlig sind, kommen nur Produktzerlegungen in Betracht, die von den Fällen 2 bis 4 abgedeckt werden.

Korollar: Sind zwei verschiedene Wurzeln mit , so ist oder .

Beweis: In den meisten Fällen des Hilfssatzes ist die Aussage bereits unmittelbar angegeben. Ist , so ist von den Voraussetzungen ausgeschlossen und wegen der Fall ebenfalls. Gilt , so folgt , also .

Korollar: Sind zwei verschiedene Wurzeln und ist , so ist . Ist und , so ist .

Beweis: Seien verschiedene Wurzeln mit. Entweder ist und es folgt . Oder es gilt und folglich . Die zweite Aussage erhält man, indem man durch ersetzt.


SkalarproduktBearbeiten

Satz: Es gibt auf ein positiv definites -invariantes Skalarprodukt . Für jedes solche Skalarprodukt gilt für alle . Ferner gilt für stets .


Beweis: Setze . Dann haben wir eine lineare Abbildung . Ist das Standardskalarprodukt auf , so definieren wir durch für alle ein Skalarprodukt auf :

  • Die Bilinearität (bzw. Sesquilinearität) überträgt sich direkt von .
  • Zu jedem gibt es ein mit . Da ein Erzeugendensystem ist, gibt es dann auch ein mit . Somit ist und . Somit ist positiv definit.
  • Die Operation der Weylgruppe permutiert die . Dem entspricht im eine Permutation der Koordinaten. Hierunter ist das Standardskalarprodukt invariant, so dass folglich -invariant ist.

Sei jetzt ein positiv definites -invariantes Skalarprodukt auf . Falls und , so folgt , also . Wegen ist , also und wir können die lineare Abbildung definieren. Diese stimmt auf mit überein. Da außerdem gilt, folgt für alle

Die letzte Aussage folgt schließlich aus und .

Es wurde im Beweis des Satzes zwar explizit ein Skalarprodukt konstruiert, es gibt aber durchaus mehrere positiv definite -invariante Skalarprodukte auf . Allgemein ist das Skalarprodukt allenfalls bis auf einen positiven Faktor je irreduzibler Komponente festgelegt.

Positive Wurzeln und FundamentalsystemeBearbeiten

Definition: Eine Linearform heißt Höhenfunktion, falls für stets gilt.

Definition: Eine Teilmenge heißt System positiver Wurzeln, falls die disjunkte Vereinigung von und ist und aus und stets folgt.

Definition: Eine Teilmenge heißt Basis des Wurzelsystems oder auch (um Verwechselungen mit Vektorraumbasen von zu vermeiden) Fundamentalsystem von Wurzeln, falls gilt:

  • ist eine Vektorraum-Basis von
  • Ist und so sind die ganz und entweder alle nicht-negativ oder alle nicht-positiv.

Hat man ein Fundmentalsystem , so definiert offenbar eine Höhenfunktion. Wir werden jedoch umgekehrt von den Höhenfunktionen ausgehen und daraus ein Fundamentalsystem konstruieren.


Hilfssatz: Es gibt Höhenfunktionen.

Beweis: Wir werden sogar eine Höhenfunktion mit Werten in finden.

Die Menge aller Linearformen mit ist nicht leer (enthält beispielsweise die Nullabbildung). Unter diesen sei so gewählt, dass die natürliche Zahl minimal ist.

Sei beliebig und die natürliche Zahl so gewählt, dass für alle . Dann ist eine Linearform. Ist jetzt , so folgt . Falls hierbei gilt, folgt , also . Es ist also und wegen der Minimalität von sogar . Wegen ist kein Vielfaches von , also insbesondere und somit . Da beliebig war, ist leer und eine Höhenfunktion.


Wir wählen jetzt eine feste Höhenfunktion und setzen . Dies ist dann ein System positiver Wurzeln. Wegen ist auch ein Erzeugendensystem. Unter den in enthaltenen Vektorraum-Basen von sei so gewählt, dass minimal wird. Wir werden zeigen, dass diese Basis ein Fundamentalsystem von Wurzeln ist.

Hilfssatz: Ist so tritt höchstens einer der folgenden Fälle ein:

  • Es gibt mit


Beweis: Wegen können die letzten beiden Fälle nicht zugleich auftreten. Ist mit so ist insbesondere und . Auf jeden Fall ist . Wäre so erhielte man, wenn man durch bzw. ersetzt, in mindestens einem der beiden Fälle wieder eine Basis von . Diese hätte jedoch eine kleinere Gesamthöhe als im Widerspruch zur Minimalität. Somit tritt also höchstens einer der drei Fälle ein.


Korollar: Sind verschiedene Elemente von , so gilt .

Beweis: Ansonsten wäre nämlich und , also entweder oder , d.h. ein Element von wäre die Summe zweier positiver Wurzeln.


Hilfssatz: Ist eine Teilmenge der positiven Wurzeln mit für alle mit , so ist linear unabhängig.

Beweis: Seien zunächst zwei linear abhängige positive Wurzeln, also . Wegen folgt und somit . Somit gilt der Hilfssatz gewiß für .

Von hier ausgehend führen wir den Beweis per Induktion nach :

Seien Koeffizienten mit

Es ist zu zeigen, dass alle sind.

Falls für stets gilt, so folgt durch Skalarmultiplikation mit sofort also .

Ansonsten gibt es zwei positive Wurzeln mit . Dann ist aber auch . Wegen für alle ist nach Induktionsvoraussetzung linear unabhängig. Somit folgt und für . Insbesondere folgt und hieraus wiederum auch (Fall ).


Hilfssatz: Ist so tritt genau einer der folgenden Fälle ein:

  • Es gibt mit

Es gilt also insbesondere .

Beweis: Wir haben „höchstens einer“, also auch , bereits gezeigt.

Um „mindestens einer“ zu zeigen, nehmen wir an, dass nicht leer ist, und es sei ein Element hiervon mit minimaler Höhe.

Sei . Da weder noch Summe positiver Wurzeln ist, kann weder noch gelten, somit folgt . Dies bedeutet, dass nicht positiv sein kann.

Folglich gilt für alle . Aber dann ist linear unabhängig, was wegen im Widerspruch zur Basiseigenschaft von steht.

Es folgt und die Behauptung des Hilfssatzes.


Satz: ist ein System von Fundamentalwurzeln.

Beweis: Dass eine Vektorraumbasis ist, ist klar. Dass jede positive Wurzel als nicht-negative ganze Linearkombination darstellbar ist, zeigen wir durch Induktion über die Höhe (die zwar reelle Werte annimmt, aber nur endlich viele verschiedene).

Sei also und für alle positiven Wurzeln geringerer Höhe sei die Darstellbarkeit schon bekannt. Ist , so liegt trivialerweise eine nicht-negative ganze Linearkombination vor. Ansonsten gilt mit . Wegen und ebenso werden und durch nicht-negative ganze Linearkombinationen dargestellt. Durch Addition ergibt sich eine ebensolche für

Durch Induktion folgt somit die Darstellbarkeit aller positiven Wurzeln als nicht-negative ganze Linearkombination und entsprechend aller negativen Wurzeln als nicht-positive ganze Linearkombination.

RationalitätBearbeiten

Der -Vektorraum ist auch ein (i.a. unendlich-dimensionaler) -Vektorraum. Sei der von erzeugte -Unterraum hiervon. Da es ein Fundamentalsystem gibt, sind alle Relationen zwischen den Wurzeln schon über definiert, insbesondere ist und daher ein Wurzelsystem vom selben Rang und in weitem Sinne derselben inneren Struktur wie das ursprüngliche. (Formal gewinnt man die ursprüngliche Situation durch Tensorieren mit zurück, ). Für die strukturelle Untersuchung von Wurzelsystemen darf daher oder wahlweise auch vorausgesetzt werden.


Weyl-Kammern und Operation der Weyl-Gruppe auf der Menge der FundamentalsystemeBearbeiten

Wir nehmen an, dass gilt.

Dann wird für durch die Hyperebene jeweils in zwei Halbräume zerlegt, insgesamt also in endlich viele konvexe Teilmengen, die sogenannten Weylkammern.

Weylkammern stehen mit Fundamentalsystemen auf folgende Weise in Beziehung:

Ist ein Fundamentalsystem, so ist eine Weylkammer. Wäre nämlich ein Vektor mit für ein , so folgt aus auch . Hierbei sind aber alle Summanden nicht-negativ oder alle nicht-positiv und mindestens ein Summand nicht 0. Dies ist ein Widerspruch, also wird nicht weiter durch Hyperebenen unterteilt.

Ist eine Weylkammer und , so definiert eine Höhenfunktion und somit auch ein Fundamentalsystem . Ist ein anderer Punkt der Weylkammer, so ergibt sich zwar eine andere Höhenfunktion, aber wenigstens dasselbe System positiver Wurzeln. Da hieraus rekonstruierbar ist, ergibt sich auch dasselbe Fundamentalsystem, und wir können also jeder Weylkammer ein Fundamentalsystem zuordnen.

Offensichtlich sind diese beiden Zuordnungen invers zueinander, so dass hierüber die Menge der Weylkammern und die Menge der Fundamentalsysteme in Bijektion stehen.


Satz: Die Weylgruppe operiert transitiv auf der Menge der Weylkammern sowei auf der Menge de Fundamentalsysteme. Ist ein Fundamentalsystem, so wird durch die mit erzeugt.

Beweis: Ist eine Weylkammer und , so wird gewiß durch keine Hyperebene zerteilt, denn dann würde durch zerteilt. Durch die Bijektivität folgt, dass Weylkammern in Weylkammern abbildet.

Seien zwei Weylkammern und sei . Falls linear unabhängig sind, stimmen die Orthogonalräume nicht überein, also ist ein 2-kodimensionaler Unterraum und in einem 1-kodimensionalen Unterraum enthalten. Da offen ist, gibt es ein so dass in keinem dieser endlich vielen 1-kodimensionalen Unterräume enthalten ist. Dann gibt es endlich viele reelle Zahlen derart, dass in einem enthalten ist. Sei . Zu gibt es bis auf skalar Vielfache nur ein mit .

Wir zeigen die Behauptung durch Induktion über , dass für ein Hierbei ist der Fall, wenn leer ist, trivial. Ansonsten sei das kleinste Element von . Dann liegt in für ein . Für hinreichend kleines ist leer. Für liegt in . Mit enthält ein Element weniger als . Nach Induktionsvoraussetzung gibt es daher ein mit . Wegen folgt die Behauptung.

Insbesondere operiert daher auf der Menge der Weylkammern und ebenso auch auf der Menge der Fundamentalsysteme. Es zeigt sich aber auch, da jede Hyperebene mit einen Teil der Begrenzung mindestens einer Weylkammer bildet, dass ein Element von ist, wobei ein beliebiges Fundamentalsystem ist.

Die Bilder eines Fundamentalsystems unter der Weyl-Gruppe überdecken das gesamte reduzierte WurzelsystemBearbeiten

Satz: Ist ein reduziertes Wurzelsystem und eine beliebige Wurzel, so gibt es ein Fundamentalsystem mit .

Beweis: ObdA. gilt . Sind zwei Wurzeln, so stimmen die Orthogonalräume genau dann überein, wenn linear abhängig sind. Somit gibt es ein mit und für alle . Für hinreichend großes ist dann eine Höhenfunktion und es gilt für alle . Für das zu der Höhenfunktion gehörige Fundamentalsystem muß gelten, dass es mindestens ein gibt mit . Es folgt .


Korollar: Ist ein reduziertes Wurzelsystem und ein Fundamentalsystem, so gilt .

Beweis: Ist , so gibt es ein Fundamentalsystem mit und ein mit .

Analyse der Dynkin-DiagrammeBearbeiten

Im Folgenden sei ein irreduzibles reduziertes Wurzelsystem. Wir setzen voraus. Sei ein Fundamentalsystem und ein -invariantes Skalarprodukt fest gewählt. Das Skalarprodukt wird bezüglich der Basis durch eine symmetrische positiv definite Matrix mit beschrieben, die sogenannte Cartan-Marix. Dies und die Kenntnis der möglichen Beziehungen zwischen zwei Wurzeln sind die einzigen Eigenschaften, die für die Klassifikation benutzt werden. Als Hilfsmittel werden Dynkin-Diagramme eingesetzt, die diese Beziehungen grafisch codieren, indem jeder Basisvektor einem Knoten entspricht und zwischen den Knoten verschiedene Linien gezeichnet werden.

Da transitiv auf der Menge der Fundamentalsysteme operiert, hängt das Dynkin-Diagramm nicht von der getroffenen Wahl ab. Da außerdem aus einem Fundamentalsystem und dem zugehörigen Dynkin-Diagramm das komplette Wurzelsystem rekonstruierbar ist (die Operation der auf wird durch das Diagramm determiniert, die hiervon erzeugte Gruppe bildet auf ganz ab), ist das Dynkin-Diagramm ein geeignetes Klassifizierungsmerkmal für reduzierte Wurzelsysteme.

Wir erinnern uns, dass bei zwei Wurzeln mit nur folgende Fälle möglich sind:

  1. ; Cartan-Matrix mit positiven reellen Zahlen ; symbolisiert durch keine Verbindung DynkinA1xA1.svg
  2. ; Cartan-Matrix positiv skalares Vielfaches von ; symbolisiert durch eine einfache Linie DynkinA2.svg
  3. ; Cartan-Matrix positiv skalares Vielfaches von ; symbolisiert durch einen Doppelpfeil von nach DynkinF2.svg
  4. ; Cartan-Matrix positiv skalares Vielfaches von ; symbolisiert durch einen Dreifachpfeil von nach DynkinG2.svg
  5. die vorhergehenden beiden Fälle mit vertauschten Rollen von und

Ist das Dynkin-Diagramm nicht zusammenhängend, so sind alle zu einer Zusammenhangskomponente gehörenden Basisvektoren zu allen übrigen orthogonal und das Wurzelsystem ist reduzibel. Wir setzen daher das Dynkin-Diagramm als zusammenhängend voraus.

Von diversen Konfigurationen wird nachgewiesen, dass sie nicht auftreten können:

Dreifachpfeil mit weiterer KanteBearbeiten

Verbotene Konfigurationen mit einem Dreifachpfeil

Kombiniert man eine Matrix mit einem Vielfachen von (), so ergibt sich je nach Anordnung eine der folgenden Matrizen:

Hierbei sind die Leerstellen jeweils unbekannt, aber gewiß nicht-positiv. Indem man jeweils einen von 0 verschiedenen Zeilenvektor findet, für den ist, folgt, dass die betreffende Konstellation nicht zulässig ist. Sofern komponentenweise nicht-negativ ist, genügt es, den Fall zu betrachten, dass alle Leerstellen in den Matrzen 0 sind. Man ist sogar bereits fertig, falls komponentenweise nicht-negativ und komponentenweise nicht-positiv ist.

Auf diese Weise findet man für die erste Matrix

für die zweite

für die dritte

für die vierte

Wegen ist das Ergebnis in der Tat jeweils nicht-positiv.

Da ein Dreifachpfeil somit in keinem größeren (zusammenhängenden) Dynkin-Diagramm auftreten kann, brauchen wir im Folgenden Dreifachpfeile nicht mehr berücksichtigt zu werden.

Doppelpfeil mit Pfad zu einer weiteren DoppelkanteBearbeiten

Verbotene Konstellationen mit zwei Doppelpfeilen

Kombiniert man zwei Matrizen bzw. skalare Vielfache hiervon und überbrückt gegebenenfalls durch Vielfache von , so ergibt sich je nach Anordnung einer der folgenden Fälle:

Für die erste Matrix ist

für die zweite

für die dritte

Folglich können diese Konstellationen sämtlich nicht auftreten, das Dynkin-Diagramm eines irrduziblen Wurzelsystems enthält höchstens einen Doppelpfeil.


Doppelpfeil mit Pfad zu einer VerzweigungBearbeiten

Verbotene Konstellationen mit Doppelpfeil und Verzweigung

Die Kombination aus einem Doppelpfeil und einer Verzweigung von zwei Einfachkanten, gegebenenfalls verbunden über einige Einfachkanten entspricht, je nach Anordnung, den folgenden Matrizen:

Man verifiziert in diesen Fällen

bzw.

Auch diese Konstellationen sind also unzulässig.

Ergänzung eines Doppelpfeils zu einem KreisBearbeiten

Kreis mit einem Doppelpfeil

Ein graphentheoretischer Kreis aus einer oder mehreren Einfachkanten sowie einem Doppelpfeil ist schon deshalb unmöglich, weil durch Einfachkanten verbundene Wurzeln gleiche Länge haben, während die durch einen Doppelpfeil verbundenen verschieden lang sein müßten.

Doppelpfeil mit drei auf beide Enden verteilten KantenBearbeiten

Unzulässige Erweiterungen von F4 durch Einfachkanten

Ein linearer Graph mit einem Doppelpfeil und drei EInfachkanten, die nicht alle auf derselben Seite des Doppelpfeils liegen, liefert eine der beiden folgenden Matrizen:

Man verifiziert

bzw.

Auch diese Konstellationen sind also unzulässig. Hiermit sind alle für den Doppelpfeil auszuschließenden Fälle abgearbeitet, so dass in den weiteren Fällen nur noch einfache Kanten berücksichtigt zu werden brauchen.

Kreis aus einfachen KantenBearbeiten

Unzulässiger Kreis aus Einfachkanten

In einem Kreis aus Einfachkanten ist jeder Punkt mit genau zwei anderen Punkten verbunden. Dadurch steht in jeder Spalte (oder Zeile) der Matrix in zwei Stellen das -fache des Wertes auf der Diagonalen. Es folgt daher sofort, dass der Vektor geeignet ist, um die Unzulässigkeit dieser Konstellation zu zeigen.

Die einzigen erlaubten Diagramme aus Einfachkanten sind also Bäume im graphentheoretischen Sinne.

Knoten mit vier oder mehr einfachen KantenBearbeiten

Knoten vom Grad vier

Ist ein Knoten mit vier anderen jeweils durch eine einfache Kante verbunden, so führt dies auf die Matrix

Hier gilt .

Der maximale erlaubte Grad eines Knotens ist folglich drei.

Zwei VerzweigungenBearbeiten

Zwei verbundene VErzweigungen

Gibt es im Dynkin-Diagramm zwei Knoten vom Grad drei, die über einen Pfad aus Einfachkanten verbunden sind, so führt dies auf folgende Matrix:

Dann ist jedoch .

Somit gibt es höchstens einen Verzweigungsknoten im Dynkin-Diagramm.

Verzweigung mit kürzestem Zweig länger als eine KanteBearbeiten

Verzweigung, bei der alle Zweige mindestens Länge 2 haben

Liegt ein Knoten vom Grad drei vor und ist jeder der drei Zweige mindestens zwei Kanten lang, so ergibt sich die Matrix

Es folgt . Ist ein Verzweigungspunkt vorhanden, muß also der kürzeste Zweig die Länge eins haben.

Verzweigung mit zweitkürzestem Zweig länger als zwei KantenBearbeiten

Der zweitkürzeste Zweig ist länger als zwei Kanten

Liegt ein Verzweigungspunkt vor, bei dem zwei Zweige mindestens drei Kanten umfassen, so ergibt sich die Matrix

Es folgt . Der zweitkürzeste Zweig darf also allenfalls eine oder zwei Kanten umfassen.

E9 und höherBearbeiten

Das Diagramm E9

Die Reihe der En-Diagramme endet bereits bei . In der Tat liefert das Diagramm E9, das aus einer Verzweigung mit einem Zweig der Länge eins, einem der Länge zwei und einem der Länge fünf besteht, die Matrix

Es ergibt sich .

Zusammenfassung der KlassifikationBearbeiten

Als Ergebnis der vorstehenden Untersuchungen über verbotene Konfigurationen ergibt sich

  • ist der einzige Kandidat für ein Dynkin-Diagramm mit einem Dreifachpfeil.

Weiter sind die einzigen Kandidaten mit einem Doppelpfeil

  • die Serien , , und , (es ist ), mit Kanten an höchstens einer Seite des Doppelpfeils,
  • der Ausnahmefall mit Kanten an beiden Enden des Doppelpfeils.

Diagramme aus Einfachkanten sind grundsätzlich einfach aufgebaute Bäume. Die einzigen Kandidaten mit einer Verzweigung sind

  • die Serie , , bei der der zweitkürzeste Zweig die Länge 1 hat,
  • die Ausnahmefälle , , , bei denen der zweitkürzeste Zweig die Länge 2 hat.

Ansonsten bleiben nur unverzweigte Diagramme mit einfachen Kanten, also

  • die Serie , .

Konstruktion von Beispielen zu jedem TypBearbeiten

AnBearbeiten

Betrachte den -dimensionalen Unterraum des derjenigen Vektoren, deren Summe aller Komponenten 0 ist, d.i. der Orthogonalraum zu . Die Vektoren der Form mit bilden ein Wurzelsystem vom Typ mit insgesamt Wurzeln. Ein Fundamentalsystem ist . Zu ist gerade die Abbildung, die und vertauscht, woraus sich ergibt: Die Weylgruppe ist die Gruppe der Permutationen der Standardbasis von und hat Elemente.

BnBearbeiten

Betrachte im alle Vektoren mit ganzzahligen Koordinaten, deren Länge oder ist, das sind alle Vektoren der Form mit oder mit . Dies ist ein Wurzelsystem vom Typ mit Wurzeln, kurze und lange. Ein Fundamentalsystem besteht aus . Die Weylgruppe operiert durch Permutation der Standardbasis und komponentenweisen Vorzeichenwechsel, d.h. sie ist ein semidirektes Produkt mit Elementen.

CnBearbeiten

Betrachte im alle Vektoren der Form mit oder mit . Dies ist ein Wurzelsystem vom Typ mit Wurzeln, kurze und lange. Ein Fundamentalsystem besteht aus . Die Weylgruppe ist isomorph zu der von , d.h. und hat Elemente.

DnBearbeiten

Betrachte im alle Vektoren mit ganzzahligen Koordinaten und Länge , das sind die Vektoren der Form mit . Dies ist ein Wurzelsystem vom Typ mit Wurzeln. Ein Fundamentalsystem bilden die Wurzeln . Die Weylgruppe ist ein Normalteiler der Weylgruppe zu bzw. , es ist , die Gruppe hat Elemente und operiert durch Permutation der Standardbasis und gerade Vorzeichenwechsel.

E6, E7, E8Bearbeiten

Betrachte im die ganzzahligen Vektoren der Länge sowie die Vektoren, deren sämtliche Komponenten sind, hierunter je gerade viele und . Dies ist ein Wurzelsystem vom Typ mit 240 Elementen. Ein Fundamentalsystem ist .

Ein Wurzelsystem vom Typ bzw. erhält man, indem man auf den von den ersten 7 bzw. 6 Fundamentalwurzeln aufgespannten Unterraum einschränkt. Die entstehenden Systeme haben 126 bzw. 72 Wurzeln.

F4Bearbeiten

Berachte im die ganzzahligen Vektoren der Länge 1 oder sowie die halb-ganzzahligen Vektoren der Länge 1, das sind alle , , alle , sowie . Dies ist ein Wurzelsystem vom Typ und hat 48 Elemente. Ein Fundamentalsystem ist .

G2Bearbeiten

Wurzelsystem G2

Zur Konstruktion des Wurzelsystems im vergleiche nebenstehende Abbildung. Mit und als Fundamentalsystem besteht es aus den 12 Wurzeln . Die Weylgruppe ist die Symmetriegruppe des Hexagons, und hat 12 Elemente.

Nicht reduzierte WurzelsystemeBearbeiten

Ist ein Wurzelsystem, so ist ein reduziertes Wurzelsystem und fällt daher unter obige Klassifikation. Da die Weylgruppe ein Fundamentalsystem von nach ganz transportiert, ist vollständig charakterisiert, wenn man weiß, für welche auch gilt.

Sei mit . Ist eine weitere Fundamentalwurzel, so folgt und . Sofern und im Dynkin-Diagramm direkt verbunden sind, so ist dies nur möglich, falls und gilt. Dann muss der Endknoten eines -Diagramms sein (inklusive dem Fall ).

Es ergibt sich also gegenüber den reduzierten Wurzelsystemen nur ein Zusatzfall:

Bn∪CnBearbeiten

Betrachte im alle Vektoren der Form oder mit oder mit . Dies ist ein Wurzelsystem vom Typ mit Wurzeln, je der Länge 1 bzw. 2 und der Länge . Ein Fundamentalsystem besteht aus , also einem Fundamentalsystem des enthaltenen .

Die Weylgruppe ist die des enthaltenen bzw. , d.h. und hat Elemente.

Wikipedia-VerweisBearbeiten