Definitionen: Eine Teilmenge eines Vektorraums über einem Körper der Charakteristik 0 heißt Wurzelsystem, falls sie die folgenden Bedingungen erfüllt:
ist endlich.
ist ein lineares Erzeugendensystem von .
Zu jedem aus gibt es eine Linearform mit den Eigenschaften:
Für ist .
Die lineare Abbildung mit bildet auf ab.
Ein reduziertes Wurzelsystem liegt vor, falls zusätzlich gilt
4. Sind zwei Wurzeln linear abhängig, so gilt .
Die Dimension von heißt der Rang des Wurzelsystems.
Sind zwei Wurzelsysteme vom Rang , so ist ein Wurzelsystem vom Rang und heißt die direkte Summe von und .
Läßt sich als direkte Summe nicht-leerer Wurzelsysteme schreiben, so heißt reduzibel.
Ist weder leer und noch reduzibel, so heißt irreduzibel
Satz (Klassifikation von reduzierten Wurzelsystemen): Jedes Wurzelsystem ist die direkte Summe endlich vieler irreduzibler Wurzelsysteme. Jedes irreduzible reduzierte Wurzelsystem ist (auf weiter unten beschriebene Weise) vom Typ , , , , , , , oder .
Die Zerlegbarkeit in irreduzible Wurzelsysteme ist hierbei klar. Die Arbeit liegt in der Klassifikation der irreduziblen Komponenten.
Hilfssatz/Definition: Zu jedem sind die Abbildungen und aus der Definition eindeutig bestimmt. ist eine Involution. Man bezeichnet als die Kowurzel zu und als die zu gehörige Reflexion.
Beweis: Sei zu neben auch eine Abbildung mit den geforderten Eigenschaften. Für die entsprechend definierte Abbildung gilt insbesondere ebenfalls .
Dann gilt und speziell .
Ist jetzt so folgt und daher , d.h. auf der affinen Gerade ist eine Translation um .
Da diese die nicht-leere endliche Menge invariant lassen muss, ist diese Translation die Identität, wegen folgt daher . Aus der Übereinstimmung auf dem Erzeugendensystem folgt dann insgesamt und ebenso .
Da sowohl auf dem 1-codimensionalen Unterraum als auch auf dem nicht darin liegenden die Identität ist, ist insgesamt die Identität, also eine Involution.
Korollar: Für alle ist und .
Für alle ist und .
Beweis: Die Abbildung stimmt auf dem 1-kodimensionalen Raum mit überein und bildet auf ab.
Zu beliebigem setze .
Dann ist
Aus der Ganzzahligkeit von und der Eindeutigkeit der zu gehörenden Kowurzel und Reflexion folgt und .
Satz: Ist ein Wurzelsystem, so ist auch ein Wurzelsystem.
Beweis: Zunächst ist eine endliche Teilmenge von .
Zu definieren wir die lineare Abbildung und die zugehörige Reflexion .
Ist jetzt , so ist zunächst stets ganzzahlig, speziell ist .
Weiter gilt für stets
,
also .
Somit ist zumindest in einem möglicherweise niederdimensionalen Unterraum von ein Wurzelsystem. Da aber ganz klar über die kanonische Isomorphie wieder ergibt, muß dieser Unterraum ganz sein.
Da die Involutionen, also Automorphismen von sind, ist es sinnvoll, die Weyl-Gruppe, d.i. die von erzeugte Untergruppe , zu betrachten.
Hilfssatz: Die Weyl-Gruppe operiert treu auf und ist endlich.
Beweis: Da für die Erzeugenden bereits und wegen der Invertierbarkeit sogar gilt, erhalten wir einen Gruppenhomomorphismus , also eine Operation von auf . Da ein Erzeugendensystem von ist, operiert hierbei nur die Identität von trivial auf , d.h. die Operation ist treu. Dann ist aber eine injektive Abbildung in eine endliche Gruppe, also ist endlich.
Hilfssatz: Sind zwei Wurzeln eines reduzierten Wurzelsystems, so gilt
oder
oder
einer der Werte ist 1 und der andere ist 2 oder 3 oder
einer der Werte ist -1 und der andere ist -2 oder -3
Falls das Wurzelsystem nicht reduziert ist, gibt es noch die Möglichkeit
oder umgekehrt.
Beweis: Seien zunächst linear abhängig, etwa . Dann folgt , also gilt. Ebenso folgt aus , dass . Dass beide Werte ganzzahlig sind, ist nur für möglich.
Bei einem reduzierten Fall folgt sogar direkt aus der Definition, dass nur möglich ist.
Falls dagegen linear unabhängig sind, werden die zugehörigen Reflexionen auf bezüglich der Basis durch
als Matrizen beschrieben.
Das Produkt
muß wegen der Endlichkeit von endliche Ordnung haben, d.h. alle Eigenwerte in sind Einheitswurzeln.
Insbesondere kann die Spur nur Werte in annehmen.
Ist die Spur 2 oder -2, muß sogar konjugiert zu (und damit sogar gleich) Einheitsmatrix sein.
Dies bedeutet für die Einträge außerhalb der Diagonalen und wird vom zweiten Fall erfaßt.
Ansonsten gilt also .
Da und ganzzahlig sind, kommen nur Produktzerlegungen in Betracht, die von den Fällen 2 bis 4 abgedeckt werden.
Korollar: Sind zwei verschiedene Wurzeln mit , so ist oder .
Beweis: In den meisten Fällen des Hilfssatzes ist die Aussage bereits unmittelbar angegeben.
Ist , so ist von den Voraussetzungen ausgeschlossen und wegen der Fall ebenfalls.
Gilt , so folgt , also .
Korollar: Sind zwei verschiedene Wurzeln und ist , so ist . Ist und , so ist .
Beweis: Seien verschiedene Wurzeln mit.
Entweder ist und es folgt .
Oder es gilt und folglich .
Die zweite Aussage erhält man, indem man durch ersetzt.
Satz: Es gibt auf ein positiv definites -invariantes Skalarprodukt . Für jedes solche Skalarprodukt gilt für alle .
Ferner gilt für stets .
Beweis: Setze . Dann haben wir eine lineare Abbildung .
Ist das Standardskalarprodukt auf , so definieren wir durch für alle ein Skalarprodukt auf :
Die Bilinearität (bzw. Sesquilinearität) überträgt sich direkt von .
Zu jedem gibt es ein mit . Da ein Erzeugendensystem ist, gibt es dann auch ein mit . Somit ist und . Somit ist positiv definit.
Die Operation der Weylgruppe permutiert die . Dem entspricht im eine Permutation der Koordinaten. Hierunter ist das Standardskalarprodukt invariant, so dass folglich -invariant ist.
Sei jetzt ein positiv definites -invariantes Skalarprodukt auf .
Falls und , so folgt , also .
Wegen ist , also und wir können die lineare Abbildung definieren.
Diese stimmt auf mit überein. Da außerdem gilt, folgt für alle
Die letzte Aussage folgt schließlich aus und .
Es wurde im Beweis des Satzes zwar explizit ein Skalarprodukt konstruiert, es gibt aber durchaus mehrere positiv definite -invariante Skalarprodukte auf . Allgemein ist das Skalarprodukt allenfalls bis auf einen positiven Faktor je irreduzibler Komponente festgelegt.
Definition: Eine Linearform heißt Höhenfunktion, falls für stets gilt.
Definition: Eine Teilmenge heißt System positiver Wurzeln, falls die disjunkte Vereinigung von und ist und aus und stets folgt.
Definition: Eine Teilmenge heißt Basis des Wurzelsystems oder auch (um Verwechselungen mit Vektorraumbasen von zu vermeiden) Fundamentalsystem von Wurzeln, falls gilt:
ist eine Vektorraum-Basis von
Ist und so sind die ganz und entweder alle nicht-negativ oder alle nicht-positiv.
Hat man ein Fundmentalsystem , so definiert offenbar eine Höhenfunktion.
Wir werden jedoch umgekehrt von den Höhenfunktionen ausgehen und daraus ein Fundamentalsystem konstruieren.
Hilfssatz: Es gibt Höhenfunktionen.
Beweis: Wir werden sogar eine Höhenfunktion mit Werten in finden.
Die Menge aller Linearformen mit ist nicht leer (enthält beispielsweise die Nullabbildung).
Unter diesen sei so gewählt, dass die natürliche Zahl minimal ist.
Sei beliebig und die natürliche Zahl so gewählt, dass für alle .
Dann ist eine Linearform.
Ist jetzt , so folgt .
Falls hierbei gilt, folgt , also .
Es ist also und wegen der Minimalität von sogar .
Wegen ist kein Vielfaches von , also insbesondere und somit .
Da beliebig war, ist leer und eine Höhenfunktion.
Wir wählen jetzt eine feste Höhenfunktion und setzen . Dies ist dann ein System positiver Wurzeln.
Wegen ist auch ein Erzeugendensystem.
Unter den in enthaltenen Vektorraum-Basen von sei so gewählt, dass minimal wird. Wir werden zeigen, dass diese Basis ein Fundamentalsystem von Wurzeln ist.
Hilfssatz: Ist so tritt höchstens einer der folgenden Fälle ein:
Es gibt mit
Beweis: Wegen können die letzten beiden Fälle nicht zugleich auftreten. Ist mit so ist insbesondere und . Auf jeden Fall ist . Wäre so erhielte man, wenn man durch bzw. ersetzt, in mindestens einem der beiden Fälle wieder eine Basis von . Diese hätte jedoch eine kleinere Gesamthöhe als im Widerspruch zur Minimalität. Somit tritt also höchstens einer der drei Fälle ein.
Korollar: Sind verschiedene Elemente von , so gilt .
Beweis: Ansonsten wäre nämlich und , also entweder oder , d.h. ein Element von wäre die Summe zweier positiver Wurzeln.
Hilfssatz: Ist eine Teilmenge der positiven Wurzeln mit für alle mit , so ist linear unabhängig.
Beweis: Seien zunächst zwei linear abhängige positive Wurzeln, also . Wegen folgt und somit . Somit gilt der Hilfssatz gewiß für .
Von hier ausgehend führen wir den Beweis per Induktion nach :
Seien Koeffizienten mit
Es ist zu zeigen, dass alle sind.
Falls für stets gilt, so folgt durch Skalarmultiplikation mit sofort also .
Ansonsten gibt es zwei positive Wurzeln mit . Dann ist aber auch . Wegen für alle ist nach Induktionsvoraussetzung linear unabhängig.
Somit folgt und für . Insbesondere folgt und hieraus wiederum auch (Fall ).
Hilfssatz: Ist so tritt genau einer der folgenden Fälle ein:
Es gibt mit
Es gilt also insbesondere .
Beweis: Wir haben „höchstens einer“, also auch , bereits gezeigt.
Um „mindestens einer“ zu zeigen, nehmen wir an, dass nicht leer ist, und es sei ein Element hiervon mit minimaler Höhe.
Sei .
Da weder noch Summe positiver Wurzeln ist, kann weder noch gelten, somit folgt .
Dies bedeutet, dass nicht positiv sein kann.
Folglich gilt für alle .
Aber dann ist linear unabhängig, was wegen im Widerspruch zur Basiseigenschaft von steht.
Es folgt und die Behauptung des Hilfssatzes.
Satz: ist ein System von Fundamentalwurzeln.
Beweis: Dass eine Vektorraumbasis ist, ist klar.
Dass jede positive Wurzel als nicht-negative ganze Linearkombination darstellbar ist, zeigen wir durch Induktion über die Höhe (die zwar reelle Werte annimmt, aber nur endlich viele verschiedene).
Sei also und für alle positiven Wurzeln geringerer Höhe sei die Darstellbarkeit schon bekannt.
Ist , so liegt trivialerweise eine nicht-negative ganze Linearkombination vor.
Ansonsten gilt mit .
Wegen und ebenso werden und durch nicht-negative ganze Linearkombinationen dargestellt.
Durch Addition ergibt sich eine ebensolche für
Durch Induktion folgt somit die Darstellbarkeit aller positiven Wurzeln als nicht-negative ganze Linearkombination und entsprechend aller negativen Wurzeln als nicht-positive ganze Linearkombination.
Der -Vektorraum ist auch ein (i.a. unendlich-dimensionaler) -Vektorraum.
Sei der von erzeugte -Unterraum hiervon.
Da es ein Fundamentalsystem gibt, sind alle Relationen zwischen den Wurzeln schon über definiert, insbesondere ist und daher ein Wurzelsystem vom selben Rang und in weitem Sinne derselben inneren Struktur wie das ursprüngliche. (Formal gewinnt man die ursprüngliche Situation durch Tensorieren mit zurück, ).
Für die strukturelle Untersuchung von Wurzelsystemen darf daher oder wahlweise auch vorausgesetzt werden.
Weyl-Kammern und Operation der Weyl-Gruppe auf der Menge der Fundamentalsysteme
Dann wird für durch die Hyperebene jeweils in zwei Halbräume zerlegt, insgesamt also in endlich viele konvexe Teilmengen, die sogenannten Weylkammern.
Weylkammern stehen mit Fundamentalsystemen auf folgende Weise in Beziehung:
Ist ein Fundamentalsystem, so ist eine Weylkammer.
Wäre nämlich ein Vektor mit für ein , so folgt aus auch . Hierbei sind aber alle Summanden nicht-negativ oder alle nicht-positiv und mindestens ein Summand nicht 0. Dies ist ein Widerspruch, also wird nicht weiter durch Hyperebenen unterteilt.
Ist eine Weylkammer und , so definiert eine Höhenfunktion und somit auch ein Fundamentalsystem .
Ist ein anderer Punkt der Weylkammer, so ergibt sich zwar eine andere Höhenfunktion, aber wenigstens dasselbe System positiver Wurzeln. Da hieraus rekonstruierbar ist, ergibt sich auch dasselbe Fundamentalsystem, und wir können also jeder Weylkammer ein Fundamentalsystem zuordnen.
Offensichtlich sind diese beiden Zuordnungen invers zueinander, so dass hierüber die Menge der Weylkammern und die Menge der Fundamentalsysteme in Bijektion stehen.
Satz: Die Weylgruppe operiert transitiv auf der Menge der Weylkammern sowie auf der Menge de Fundamentalsysteme. Ist ein Fundamentalsystem, so wird durch die mit erzeugt.
Beweis: Ist eine Weylkammer und , so wird gewiß durch keine Hyperebene zerteilt, denn dann würde durch
zerteilt. Durch die Bijektivität folgt, dass Weylkammern in Weylkammern abbildet.
Seien zwei Weylkammern und sei .
Falls linear unabhängig sind, stimmen die Orthogonalräume nicht überein, also ist ein 2-kodimensionaler Unterraum und in einem 1-kodimensionalen Unterraum enthalten.
Da offen ist, gibt es ein so dass in keinem dieser endlich vielen 1-kodimensionalen Unterräume enthalten ist.
Dann gibt es endlich viele reelle Zahlen derart, dass in einem enthalten ist. Sei .
Zu gibt es bis auf skalar Vielfache nur ein mit .
Wir zeigen die Behauptung durch Induktion über , dass für ein
Hierbei ist der Fall, wenn leer ist, trivial.
Ansonsten sei das kleinste Element von . Dann liegt in für ein .
Für hinreichend kleines ist leer.
Für liegt in .
Mit enthält
ein Element weniger als .
Nach Induktionsvoraussetzung gibt es daher ein mit . Wegen folgt die Behauptung.
Insbesondere operiert daher auf der Menge der Weylkammern und ebenso auf der Menge der Fundamentalsysteme.
Es zeigt sich aber auch, da jede Hyperebene mit einen Teil der Begrenzung mindestens einer Weylkammer bildet, dass ein Element von ist, wobei ein beliebiges Fundamentalsystem ist.
Die Bilder eines Fundamentalsystems unter der Weyl-Gruppe überdecken das gesamte reduzierte Wurzelsystem
Satz: Ist ein reduziertes Wurzelsystem und eine beliebige Wurzel, so gibt es ein Fundamentalsystem mit .
Beweis: ObdA. gilt .
Sind zwei Wurzeln, so stimmen die Orthogonalräume genau dann überein, wenn linear abhängig sind.
Somit gibt es ein mit und für alle .
Für hinreichend großes ist dann eine Höhenfunktion und es gilt für alle .
Für das zu der Höhenfunktion gehörige Fundamentalsystem muß gelten, dass es mindestens ein gibt mit . Es folgt .
Korollar: Ist ein reduziertes Wurzelsystem und ein Fundamentalsystem, so gilt .
Beweis: Ist , so gibt es ein Fundamentalsystem mit und ein mit .
Im Folgenden sei ein irreduzibles reduziertes Wurzelsystem.
Wir setzen voraus.
Sei ein Fundamentalsystem und ein -invariantes Skalarprodukt fest gewählt.
Das Skalarprodukt wird bezüglich der Basis durch eine symmetrische positiv definite Matrix mit beschrieben, die sogenannte Cartan-Matrix. Dies und die Kenntnis der möglichen Beziehungen zwischen zwei Wurzeln sind die einzigen Eigenschaften, die für die Klassifikation benutzt werden.
Als Hilfsmittel werden Dynkin-Diagramme eingesetzt, die diese Beziehungen grafisch codieren, indem jeder Basisvektor einem Knoten entspricht und zwischen den Knoten verschiedene Linien gezeichnet werden.
Da transitiv auf der Menge der Fundamentalsysteme operiert, hängt das Dynkin-Diagramm nicht von der getroffenen Wahl ab. Da außerdem aus einem Fundamentalsystem und dem zugehörigen Dynkin-Diagramm das komplette Wurzelsystem rekonstruierbar ist (die Operation der auf wird durch das Diagramm determiniert, die hiervon erzeugte Gruppe bildet auf ganz ab), ist das Dynkin-Diagramm ein geeignetes Klassifizierungsmerkmal für reduzierte Wurzelsysteme.
Wir erinnern uns, dass bei zwei Wurzeln mit nur folgende Fälle möglich sind:
; Cartan-Matrix mit positiven reellen Zahlen ; symbolisiert durch keine Verbindung
; Cartan-Matrix positiv skalares Vielfaches von ; symbolisiert durch eine einfache Linie
; Cartan-Matrix positiv skalares Vielfaches von ; symbolisiert durch einen Doppelpfeil von nach
; Cartan-Matrix positiv skalares Vielfaches von ; symbolisiert durch einen Dreifachpfeil von nach
die vorhergehenden beiden Fälle mit vertauschten Rollen von und
Ist das Dynkin-Diagramm nicht zusammenhängend, so sind alle zu einer Zusammenhangskomponente gehörenden Basisvektoren zu allen übrigen orthogonal und das Wurzelsystem ist reduzibel.
Wir setzen daher das Dynkin-Diagramm als zusammenhängend voraus.
Von diversen Konfigurationen wird nachgewiesen, dass sie nicht auftreten können:
Kombiniert man eine Matrix mit einem Vielfachen von (), so ergibt sich je nach Anordnung eine der folgenden Matrizen:
Hierbei sind die Leerstellen jeweils unbekannt, aber gewiß nicht-positiv.
Indem man jeweils einen von 0 verschiedenen Zeilenvektor findet, für den ist, folgt, dass die betreffende Konstellation nicht zulässig ist.
Sofern komponentenweise nicht-negativ ist, genügt es, den Fall zu betrachten, dass alle Leerstellen in den Matrzen 0 sind. Man ist sogar bereits fertig, falls komponentenweise nicht-negativ und komponentenweise nicht-positiv ist.
Auf diese Weise findet man für die erste Matrix
für die zweite
für die dritte
für die vierte
Wegen ist das Ergebnis in der Tat jeweils nicht-positiv.
Da ein Dreifachpfeil somit in keinem größeren (zusammenhängenden) Dynkin-Diagramm auftreten kann,
brauchen wir im Folgenden Dreifachpfeile nicht mehr berücksichtigt zu werden.
Doppelpfeil mit Pfad zu einer weiteren Doppelkante
Kombiniert man zwei Matrizen bzw. skalare Vielfache hiervon und überbrückt gegebenenfalls durch Vielfache von , so ergibt sich je nach Anordnung einer der folgenden Fälle:
Für die erste Matrix ist
für die zweite
für die dritte
Folglich können diese Konstellationen sämtlich nicht auftreten, das Dynkin-Diagramm eines irrduziblen Wurzelsystems enthält höchstens einen Doppelpfeil.
Die Kombination aus einem Doppelpfeil und einer Verzweigung von zwei Einfachkanten, gegebenenfalls verbunden über einige Einfachkanten entspricht, je nach Anordnung, den folgenden Matrizen:
Ein graphentheoretischer Kreis aus einer oder mehreren Einfachkanten sowie einem Doppelpfeil ist schon deshalb unmöglich, weil durch Einfachkanten verbundene Wurzeln gleiche Länge haben, während die durch einen Doppelpfeil verbundenen verschieden lang sein müßten.
Doppelpfeil mit drei auf beide Enden verteilten Kanten
Ein linearer Graph mit einem Doppelpfeil und drei EInfachkanten, die nicht alle auf derselben Seite des Doppelpfeils liegen, liefert eine der beiden folgenden Matrizen:
Man verifiziert
bzw.
Auch diese Konstellationen sind also unzulässig.
Hiermit sind alle für den Doppelpfeil auszuschließenden Fälle abgearbeitet,
so dass in den weiteren Fällen nur noch einfache Kanten berücksichtigt zu werden brauchen.
In einem Kreis aus Einfachkanten ist jeder Punkt mit genau zwei anderen Punkten verbunden.
Dadurch steht in jeder Spalte (oder Zeile) der Matrix in zwei Stellen das -fache des Wertes auf der Diagonalen.
Es folgt daher sofort, dass der Vektor geeignet ist, um die Unzulässigkeit dieser Konstellation zu zeigen.
Die einzigen erlaubten Diagramme aus Einfachkanten sind also Bäume im graphentheoretischen Sinne.
Die Reihe der En-Diagramme endet bereits bei .
In der Tat liefert das Diagramm E9, das aus einer Verzweigung mit einem Zweig der Länge eins, einem der Länge zwei und einem der Länge fünf besteht, die Matrix
Betrachte den -dimensionalen Unterraum des derjenigen Vektoren, deren Summe aller Komponenten 0 ist, d.i. der Orthogonalraum zu . Die Vektoren der Form mit bilden ein Wurzelsystem vom Typ mit insgesamt Wurzeln.
Ein Fundamentalsystem ist .
Zu ist gerade die Abbildung, die und vertauscht, woraus sich ergibt: Die Weylgruppe ist die Gruppe der Permutationen der Standardbasis von und hat Elemente.
Betrachte im alle Vektoren mit ganzzahligen Koordinaten, deren Länge oder ist, das sind alle Vektoren der Form mit oder mit .
Dies ist ein Wurzelsystem vom Typ mit Wurzeln, kurze und lange.
Ein Fundamentalsystem besteht aus .
Die Weylgruppe operiert durch Permutation der Standardbasis und komponentenweisen Vorzeichenwechsel, d.h. sie ist ein semidirektes Produkt mit Elementen.
Betrachte im alle Vektoren der Form mit oder mit .
Dies ist ein Wurzelsystem vom Typ mit Wurzeln, kurze und lange.
Ein Fundamentalsystem besteht aus .
Die Weylgruppe ist isomorph zu der von , d.h. und hat Elemente.
Betrachte im alle Vektoren mit ganzzahligen Koordinaten und Länge , das sind die Vektoren der Form mit . Dies ist ein Wurzelsystem vom Typ mit Wurzeln.
Ein Fundamentalsystem bilden die Wurzeln .
Die Weylgruppe ist ein Normalteiler der Weylgruppe zu bzw. , es ist , die Gruppe hat Elemente und operiert durch Permutation der Standardbasis und gerade Vorzeichenwechsel.
Betrachte im die ganzzahligen Vektoren der Länge sowie die Vektoren, deren sämtliche Komponenten sind, hierunter je gerade viele und .
Dies ist ein Wurzelsystem vom Typ mit 240 Elementen.
Ein Fundamentalsystem ist .
Ein Wurzelsystem vom Typ bzw. erhält man, indem man auf den von den ersten 7 bzw. 6 Fundamentalwurzeln aufgespannten Unterraum einschränkt. Die entstehenden Systeme haben 126 bzw. 72 Wurzeln.