Seien
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
Dann hat die quadratischen Gleichung
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
genau zwei Lösungen (bzw. eine im Fall
b
2
−
4
a
c
=
0
{\displaystyle b^{2}-4ac=0}
x
1
/
2
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x_{1/2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
Bearbeiten
Es gilt
x
1
+
x
2
=
−
b
+
b
2
−
4
a
c
+
(
−
b
−
b
2
−
4
a
)
2
a
=
−
b
a
{\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}+(-b-{\sqrt {b^{2}-4a}})}{2a}}=-{\frac {b}{a}}}
und
x
1
⋅
x
2
{\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}}
=
(
−
b
+
b
2
−
4
a
c
)
⋅
(
−
b
−
b
2
−
4
a
c
)
(
2
a
)
2
{\displaystyle {}={\frac {(-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}})\cdot (-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}})}{(2a)^{2}}}}
=
(
−
b
)
2
−
(
b
2
−
4
a
c
)
2
4
a
2
=
4
a
c
4
a
2
=
c
a
.
{\displaystyle {}={\frac {(-b)^{2}-({\sqrt {b^{2}-4ac}})^{2}}{4a^{2}}}={\frac {4ac}{4a^{2}}}={\frac {c}{a}}.}
(Bei der zweiten Rechnung wurde die dritte binomische Formel verwendet.)
Nun betrachten wir das Polynom
a
⋅
(
x
−
x
1
)
⋅
(
x
−
x
2
)
.
{\displaystyle a\cdot (x-x_{1})\cdot (x-x_{2}).}
Ausmultiplizieren liefert
a
x
2
−
a
(
x
1
+
x
2
)
x
+
a
x
1
x
2
,
{\displaystyle ax^{2}-a(x_{1}+x_{2})x+ax_{1}x_{2},}
und setzt man die oben ausgerechneten Ausdrücke für
x
1
+
x
2
{\displaystyle x_{1}+x_{2}}
x
1
x
2
{\displaystyle x_{1}x_{2}}
a
x
2
−
a
⋅
(
−
b
a
)
⋅
x
+
a
⋅
c
a
=
a
x
2
+
b
x
+
c
,
{\displaystyle ax^{2}-a\cdot {\Big (}{-{\frac {b}{a}}}{\Big )}\cdot x+a\cdot {\frac {c}{a}}=ax^{2}+bx+c,}
also die linke Seite der quadratischen Gleichung.
Zusammengefasst:
a
x
2
+
b
x
+
c
=
a
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
.
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}).}
Soll nun die linke Seite null sein, so muss auch die rechte null sein. Ein Produkt ist aber genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist.
a
{\displaystyle a}
x
{\displaystyle x}
x
−
x
1
=
0
{\displaystyle x-x_{1}=0}
x
−
x
2
=
0
,
{\displaystyle x-x_{2}=0,}
oder umgeformt
x
=
x
1
{\displaystyle x=x_{1}}
x
=
x
2
{\displaystyle x=x_{2}}
gilt.
Also sind
x
1
{\displaystyle x_{1}}
x
2
{\displaystyle x_{2}}
Multipliziert man die quadratische Gleichung mit
4
a
{\displaystyle 4a}
4
a
2
x
2
+
4
a
b
x
+
4
a
c
=
0
,
{\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=0,}
die man zu
(
2
a
x
)
2
+
2
⋅
(
2
a
x
)
⋅
b
+
4
a
c
=
0
{\displaystyle (2ax)^{2}+2\cdot (2ax)\cdot b+4ac=0}
umformen kann. Die ersten beiden Terme sehen aus wie das Ergebnis der binomischen Formel für
(
2
a
x
+
b
)
2
,
{\displaystyle (2ax+b)^{2},}
es fehlt also nur das
b
2
{\displaystyle b^{2}}
(
2
a
x
)
2
+
2
⋅
(
2
a
x
)
⋅
b
+
b
2
−
b
2
+
4
a
c
=
0
{\displaystyle (2ax)^{2}+2\cdot (2ax)\cdot b+b^{2}-b^{2}+4ac=0}
Wendet man nun die binomische Formel an und bringt die letzten beiden Terme der linken auf die rechte Seite, erhält man
(
2
a
x
+
b
)
2
=
b
2
−
4
a
c
,
{\displaystyle (2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac,}
Wurzelziehen liefert
2
a
x
1
/
2
+
b
=
±
b
2
−
4
a
c
,
{\displaystyle 2ax_{1/2}+b=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}},}
und Auflösen nach
x
{\displaystyle x}
b
{\displaystyle b}
2
a
{\displaystyle 2a}
x
1
/
2
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
.
{\displaystyle x_{1/2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}
Bearbeiten
Dividiert man die quadratische Gleichung durch
a
{\displaystyle a}
x
2
+
b
a
x
+
c
a
=
0.
{\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0.}
Nach dem Satz von Vieta gilt für die zwei Lösungen
x
1
+
x
2
=
−
b
a
{\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}}
und
x
1
x
2
=
c
a
.
{\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}.}
Die Idee besteht nun darin, den linearen Ausdruck
x
1
−
x
2
{\displaystyle x_{1}-x_{2}}
x
1
+
x
2
{\displaystyle x_{1}+x_{2}}
x
1
+
x
2
{\displaystyle x_{1}+x_{2}}
x
1
x
2
{\displaystyle x_{1}x_{2}}
x
1
{\displaystyle x_{1}}
x
2
{\displaystyle x_{2}}
x
1
−
x
2
{\displaystyle x_{1}-x_{2}}
(
x
1
−
x
2
)
2
=
x
1
2
−
2
x
1
x
2
+
x
2
2
{\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{2}=x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}
zu erhalten. Die Terme
x
1
2
{\displaystyle x_{1}^{2}}
x
2
2
{\displaystyle x_{2}^{2}}
(
x
1
+
x
2
)
2
=
x
1
2
+
2
x
1
x
2
+
x
2
2
{\displaystyle (x_{1}+x_{2})^{2}=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}}
wiederfinden, es verbleibt als Differenz
−
4
x
1
x
2
{\displaystyle -4x_{1}x_{2}}
(
x
1
−
x
2
)
2
=
(
x
1
+
x
2
)
2
−
4
x
1
x
2
.
{\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}.}
Mit den Vieta-Formeln ergibt sich also
(
x
1
−
x
2
)
2
=
b
2
a
2
−
4
c
a
=
b
2
−
4
a
c
a
2
{\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{2}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4c}{a}}={\frac {b^{2}-4ac}{a^{2}}}}
und folglich
x
1
−
x
2
=
b
2
−
4
a
c
a
{\displaystyle x_{1}-x_{2}={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{a}}}
(Wählt man das andere Vorzeichen für die Wurzel, so vertauscht sich lediglich die Numerierung von
x
1
{\displaystyle x_{1}}
x
2
{\displaystyle x_{2}}
Zusammen mit der Vieta-Formel für
x
1
+
x
2
{\displaystyle x_{1}+x_{2}}
x
1
/
2
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x_{1/2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
