Beweisarchiv: Arithmetik: Erweiterte Rechenarten: Logarithmus: Logarithmengesetze

Definition des Logarithmus:

(1) Sind $\,a,y>0$ , $a\neq 1$ dann ist $x=\log _{a}y\,$ die reelle Zahl für die $\,a^{x}=y$ ist.

(2) Also $\log _{a}a^{x}=\log _{a}y=x\,$

Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren

$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$ (Potenzgesetze) nach (2) ist

(3) $\log _{a}(a^{m}\cdot a^{n})=\log _{a}a^{m+n}=m+n$

eingesetzt $u\,$ und $v\,$ und nach (1)

(4) $u=a^{m}\Longrightarrow m=\log _{a}u$

(5) $v=a^{n}\Longrightarrow n=\log _{a}v$

in (3) eingesetzt

(6) $\log _{a}(u\cdot v)=\log _{a}u+\log _{a}v$

Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen des Dividenden und des Divisors

${\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}$ (Potenzgesetze) nach (2) ist

(7) $\log _{a}{\frac {a^{m}}{a^{n}}}=\log _{a}a^{m-n}=m-n$

eingesetzt $u\,$ und $v\,$ und nach (1) wie (4) und (5) in (7) eingesetzt

(8) ${\log _{a}{\frac {u}{v}}=\log _{a}u-\log _{a}v}$

Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt des Exponenten mit dem Logarithmus der Basis

$\left({a^{m}}\right)^{n}=a^{m\cdot n}$ (Potenzgesetze) nach (2) ist

(9) $\log _{a}((a^{m})^{n})=\log _{a}a^{m\cdot n}=m\cdot n$

eingesetzt $u\,$ nach (1) $u=a^{m}\Longrightarrow m=\log _{a}u$ in (9) eingesetzt

(10) ${\log _{a}u^{n}=n\cdot \log _{a}u}$

analog gilt für $n={\frac {1}{m}}$ $u^{n}=u^{\frac {1}{m}}={\sqrt[{m}]{u}}$ eingesetzt in (10)

(11) ${\log _{a}{\sqrt[{m}]{u}}={\frac {1}{m}}\log _{a}u}$