Beweisarchiv: Funktionentheorie: Anwendungen im Umfeld des Cauchy'schen Integralsatzes: Fundamentalsatz der Algebra

Beweisarchiv: Funktionentheorie

Anwendungen im Umfeld des Cauchy'schen Integralsatzes: Fundamentalsatz der Algebra


Satz von Gauß

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Jedes nichtkonstante Polynom besitzt eine Nullstelle in  .

Angenommen, es gäbe ein nichtkonstantes nullstellenfreies Polynom  . Dann ist   holomorph auf  . Wegen   ist   beschränkt. Also ist   konstant nach dem Satz von Liouville im Widerspruch zur Voraussetzung.

 


Anmerkung: Oft wird auch der Satz von Gauß schon "Fundamentalsatz der Algebra" genannt.

Alternativ: Beweis direkt aus dem Cauchy'schen Integralsatz, ohne Satz von Liouville

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Angenommen, es gäbe ein nichtkonstantes nullstellenfreies Polynom  .

Betrachte dann das folgende Integral:

 ,

wobei   ein Kreis mit Radius   um den Ursprung ist. Mit dem Cauchy'schen Integralsatz folgt, dass der Wert dieses Integrals unabhängig von   sein muss.

Einerseits kann man das Integral nun im Limes   auswerten (oder direkt den Residuensatz benutzen):

 

Andererseits kann man den Betrag des Integrals abschätzen:

  für  .

Damit hat man einen Widerspruch zum Ergebnis für  .

Folgerung: Fundamentalsatz der Algebra

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Sei   ein (komplexes) Polynom vom Grad  . Dann gibt es  , nicht notwendigerweise verschieden, mit

 

Die Aussage wird mittels vollständiger Induktion bewiesen. Für   ist die Aussage trivial.

Falls die Aussage für ein   wahr ist und   ein Polynom vom Grad  , so ist  , und es gibt nach dem Satz von Gauß ein   mit  . Also ist

 .

Beachte nun die Identität

  für alle  ,

also

  für alle  

mit

 .

Demzufolge ist jedes   ein Polynom, welches höchstens den Grad   hat. Zudem ist   ein normiertes Polynom vom Grad  . Somit ist

 

ein normiertes Polynom vom Grad  . Nach Induktionsvoraussetzung existieren   mit

 .

Aus  

folgt somit der Induktionsschritt.

 

Wikipedia-Verweis

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