Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Lineare Theorie: Liouville'sche Formel

Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Eindeutigkeitstheorie: Lokale Lipschitz-Stetigkeit
Existenztheorie: Existenz nicht-fortsetzbarer Lösungen · Satz von Picard-Lindelöf
Lineare Theorie: Liouville'sche Formel


Sei   ein Intervall,   stetig und   eine Matrixlösung von

 

d. h.,   ist differenzierbar mit  . Dann gilt für alle   die liouvillesche Formel

 

Seien   und   mit  . Für

 

gilt   für  . Mit   gilt daher

 

Als erstes zeigt man, dass die Störung   unerheblich ist. Sei dazu   die symmetrische Gruppe der Ordnung  . Setze

 

Nach der Leibniz-Formel für die Determinante gilt

 

mit

 

Aus   für   folgt   für jedes  . Also ist

 

Seien   die Eigenwerte von   (für festes  ). Da die Determinante einer Matrix das Produkt ihrer Eigenwerte und die Spur einer Matrix die Summe ihrer Eigenwerte ist, folgt

 

Dies impliziert

  für alle  .

Für

 

gilt

 

also

  für alle  
 

Literatur

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  • Carmen Chicone: Ordinary Differential Equations with Applications, 2. Auflage. Texts in Applied Mathematics 34, Springer-Verlag, 2006, ISBN 0-387-30769-9

Wikipedia-Verweis

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