Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Eindeutigkeitstheorie: Lokale Lipschitz-Stetigkeit
Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen
Anfangswertprobleme zu nichtlineare Differentialgleichungen für stetiges müssen nicht immer eindeutig lösbar sein. Unter zusätzlicher Annahme der lokalen Lipschitz-Stetigkeit von in der zweiten Variablen kann man jedoch Eindeutigkeit garantieren, und diese Voraussetzung ist in der Praxis meistens gegeben. Dies begründet die Bedeutung des folgenden Eindeutigkeitskriteriums:
Eindeutigkeitssatz bei lokaler Lipschitz-Stetigkeit Bearbeiten
Es sei , , und stetig sowie lokal Lipschitz-stetig bezüglich der zweiten Variablen. Dann besitzt das Anfangswertproblem höchstens eine Lösung .
Beweis Bearbeiten
Es seien zwei Lösungen des Anfangswertproblems und beliebig. Da
kompakt ist, gibt es ein mit
für alle . Für die Differenz gilt die Integralungleichung
Die Grönwall'sche Ungleichung impliziert .