Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Eindeutigkeitstheorie: Lokale Lipschitz-Stetigkeit

Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Eindeutigkeitstheorie: Lokale Lipschitz-Stetigkeit
Existenztheorie: Existenz nicht-fortsetzbarer Lösungen · Satz von Picard-Lindelöf
Lineare Theorie: Liouville'sche Formel


Anfangswertprobleme zu nichtlineare Differentialgleichungen für stetiges müssen nicht immer eindeutig lösbar sein. Unter zusätzlicher Annahme der lokalen Lipschitz-Stetigkeit von in der zweiten Variablen kann man jedoch Eindeutigkeit garantieren, und diese Voraussetzung ist in der Praxis meistens gegeben. Dies begründet die Bedeutung des folgenden Eindeutigkeitskriteriums:

Eindeutigkeitssatz bei lokaler Lipschitz-StetigkeitBearbeiten

Es sei  ,  ,   und   stetig sowie lokal Lipschitz-stetig bezüglich der zweiten Variablen. Dann besitzt das Anfangswertproblem   höchstens eine Lösung  .

BeweisBearbeiten

Es seien   zwei Lösungen des Anfangswertproblems   und   beliebig. Da

 

kompakt ist, gibt es ein   mit

 

für alle  . Für die Differenz   gilt die Integralungleichung

 

Die Grönwall'sche Ungleichung impliziert  .

 

Siehe auchBearbeiten