Lokale Version des Satzes von Picard-Lindelöf
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Sei
E
{\displaystyle E}
G
⊂
R
×
E
{\displaystyle G\subset \mathbb {R} \times E}
y
0
∈
E
,
R
>
0
{\displaystyle y_{0}\in E,R>0}
[
a
,
b
]
×
B
¯
(
y
0
,
R
)
⊂
G
{\displaystyle [a,b]\times {\overline {B}}(y_{0},R)\subset G}
F
=
F
(
x
,
y
)
:
G
→
E
{\displaystyle F=F(x,y):G\rightarrow E}
B
¯
(
y
0
,
R
)
:=
{
z
∈
E
|
‖
z
−
y
0
‖
≤
R
}
{\displaystyle {\overline {B}}(y_{0},R):=\{z\in E\ |\ \|z-y_{0}\|\leq R\}}
die abgeschlossene Kugel um
y
0
{\displaystyle y_{0}}
R
{\displaystyle R}
M
:=
max
{
‖
F
(
x
,
y
)
‖
|
(
x
,
y
)
∈
[
a
,
b
]
×
B
¯
(
y
0
,
R
)
}
{\displaystyle M:=\max\{\|F(x,y)\|\ |\ (x,y)\in [a,b]\times {\overline {B}}(y_{0},R)\}}
sowie
α
:=
min
{
b
−
a
,
R
M
}
,
{\displaystyle \alpha :=\min \left\{b-a,{\frac {R}{M}}\right\}\ ,}
dann existiert genau eine Lösung des Anfangswertproblems
y
′
=
F
(
x
,
y
)
,
y
(
a
)
=
y
0
{\displaystyle y'=F(x,y)\ ,\ y(a)=y_{0}}
auf dem Intervall
[
a
,
a
+
α
]
{\displaystyle [a,a+\alpha ]}
B
¯
(
y
0
,
R
)
{\displaystyle {\overline {B}}(y_{0},R)}
Man betrachte die Picard-Iteration
y
0
(
x
)
:≡
y
0
,
y
k
+
1
(
x
)
:=
y
0
+
∫
a
x
F
(
s
,
y
k
(
s
)
)
d
s
,
x
∈
[
a
,
a
+
α
]
.
{\displaystyle y_{0}(x):\equiv y_{0}\ ,\ y_{k+1}(x):=y_{0}+\int _{a}^{x}F(s,y_{k}(s)){\rm {d}}s\ ,\ x\in [a,a+\alpha ]\ .}
Per vollständiger Induktion sieht man aus der Definition von
α
{\displaystyle \alpha }
y
k
{\displaystyle y_{k}}
B
¯
(
y
0
,
R
)
{\displaystyle {\overline {B}}(y_{0},R)}
[
a
,
a
+
α
]
×
B
¯
(
y
0
,
R
)
{\displaystyle [a,a+\alpha ]\times {\overline {B}}(y_{0},R)}
L
≥
0
{\displaystyle L\geq 0}
‖
F
(
x
,
y
)
−
F
(
x
,
z
)
‖
≤
L
‖
y
−
z
‖
{\displaystyle \|F(x,y)-F(x,z)\|\leq L\|y-z\|}
für alle
x
∈
[
a
,
a
+
α
]
,
y
,
z
∈
B
¯
(
y
0
,
R
)
{\displaystyle x\in [a,a+\alpha ],\ y,z\in {\overline {B}}(y_{0},R)}
‖
y
k
+
1
(
x
)
−
y
k
(
x
)
‖
≤
M
L
k
(
x
−
a
)
k
+
1
(
k
+
1
)
!
{\displaystyle \|y_{k+1}(x)-y_{k}(x)\|\leq ML^{k}{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}}}
auf
[
a
,
a
+
α
]
{\displaystyle [a,a+\alpha ]}
max
x
∈
[
a
,
a
+
α
]
‖
y
k
+
m
−
y
k
‖
≤
M
L
∑
j
=
1
m
max
x
∈
[
a
,
a
+
α
]
(
L
(
x
−
a
)
)
k
+
j
(
k
+
j
)
!
≤
M
L
∑
j
=
k
+
1
∞
(
L
α
)
j
j
!
<
ε
{\displaystyle \max _{x\in [a,a+\alpha ]}\|y_{k+m}-y_{k}\|\leq {\frac {M}{L}}\sum _{j=1}^{m}{\frac {\max _{x\in [a,a+\alpha ]}(L(x-a))^{k+j}}{(k+j)!}}\leq {\frac {M}{L}}\sum _{j=k+1}^{\infty }{\frac {(L\alpha )^{j}}{j!}}<\varepsilon }
für alle
m
∈
N
{\displaystyle m\in \mathbb {N} }
k
≥
k
(
ε
)
{\displaystyle k\geq k(\varepsilon )}
(
y
k
)
k
∈
N
{\displaystyle (y_{k})_{k\in \mathbb {N} }}
C
(
[
a
,
a
+
α
]
;
E
)
{\displaystyle C([a,a+\alpha ];E)}
y
∈
C
(
[
a
,
a
+
α
]
;
E
)
{\displaystyle y\in C([a,a+\alpha ];E)}
max
s
∈
[
a
,
a
+
α
]
‖
F
(
s
,
y
k
(
s
)
)
−
F
(
s
,
y
(
s
)
)
‖
≤
L
max
s
∈
[
a
,
a
+
α
]
‖
y
k
(
s
)
−
y
(
s
)
‖
→
0
{\displaystyle \max _{s\in [a,a+\alpha ]}\|F(s,y_{k}(s))-F(s,y(s))\|\leq L\max _{s\in [a,a+\alpha ]}\|y_{k}(s)-y(s)\|\rightarrow 0}
folgt
y
(
x
)
=
y
0
+
∫
a
x
F
(
s
,
y
(
s
)
)
d
s
.
{\displaystyle y(x)=y_{0}+\int _{a}^{x}F(s,y(s)){\rm {d}}s\ .}
Nach dem Fundamentalsatz der Analysis ist
y
{\displaystyle y}
y
′
(
x
)
=
F
(
x
,
y
(
x
)
)
{\displaystyle y'(x)=F(x,y(x))}
Eindeutigkeitssatz bei lokaler Lipschitz-Stetigkeit .
◻
{\displaystyle \Box }
Globale Version des Satzes von Picard-Lindelöf
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Es sei
E
{\displaystyle E}
F
:
[
a
,
b
]
×
E
→
E
{\displaystyle F:[a,b]\times E\to E}
y
0
∈
E
{\displaystyle y_{0}\in E}
y
:
[
a
,
b
]
→
E
{\displaystyle y:[a,b]\to E}
y
′
=
F
(
x
,
y
)
,
y
(
a
)
=
y
0
{\displaystyle y'=F(x,y)\ ,\ y(a)=y_{0}\ }
Es gibt keine weiteren (lokalen) Lösungen.
Betrachte den Operator
T
:
C
(
[
a
,
b
]
;
E
)
→
C
(
[
a
,
b
]
;
E
)
{\displaystyle T:C([a,b];E)\rightarrow C([a,b];E)}
T
(
u
)
(
x
)
=
y
0
+
∫
a
x
F
(
t
,
u
(
t
)
)
d
t
.
{\displaystyle T(u)(x)=y_{0}+\int _{a}^{x}F(t,u(t)){\rm {d}}t\ .}
Die Abbildung
t
↦
F
(
t
,
u
(
t
)
)
{\displaystyle t\mapsto F(t,u(t))}
u
∈
C
(
[
a
,
b
]
;
E
)
{\displaystyle u\in C([a,b];E)}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
‖
F
(
t
,
u
(
t
)
)
‖
≤
M
{\displaystyle \|F(t,u(t))\|\leq M}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
M
=
M
(
F
,
u
)
≥
0
{\displaystyle M=M(F,u)\geq 0}
∫
a
x
F
(
t
,
u
(
t
)
)
d
t
{\displaystyle \int _{a}^{x}F(t,u(t)){\rm {d}}t}
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
‖
T
(
u
)
(
x
)
−
T
(
u
)
(
y
)
‖
≤
‖
∫
y
x
F
(
t
,
u
(
t
)
)
d
t
‖
≤
M
|
x
−
y
|
.
{\displaystyle \|T(u)(x)-T(u)(y)\|\leq \left\|\int _{y}^{x}F(t,u(t)){\rm {d}}t\right\|\leq M|x-y|\ .}
Also gilt
T
(
u
)
∈
C
(
[
a
,
b
]
;
E
)
{\displaystyle T(u)\in C([a,b];E)}
T
{\displaystyle T}
Damit dieser Operator im Sinne des banachschen Fixpunktsatzes kontraktiv ist, stattet man
C
(
[
a
,
b
]
;
E
)
{\displaystyle C([a,b];E)}
‖
u
‖
C
(
[
a
,
b
]
;
E
)
:=
sup
x
∈
[
a
,
b
]
e
−
2
L
x
⋅
‖
u
(
x
)
‖
E
{\displaystyle \|u\|_{C([a,b];E)}:=\sup _{x\in [a,b]}e^{-2Lx}\cdot \|u(x)\|_{E}}
aus, worin
L
≥
0
{\displaystyle L\geq 0}
F
{\displaystyle F}
C
(
[
a
,
b
]
;
E
)
{\displaystyle C([a,b];E)}
e
−
2
L
x
‖
T
(
u
)
(
x
)
−
T
(
v
)
(
x
)
‖
E
=
e
−
2
L
x
‖
∫
a
x
F
(
t
,
u
(
t
)
)
−
F
(
t
,
v
(
t
)
)
d
t
‖
E
≤
L
e
−
2
L
x
∫
a
x
e
2
L
t
e
−
2
L
t
‖
u
(
t
)
−
v
(
t
)
‖
E
d
t
≤
L
e
−
2
L
x
∫
a
x
e
2
L
t
‖
u
−
v
‖
C
(
[
a
,
b
]
;
E
)
d
t
≤
1
2
‖
u
−
v
‖
C
(
[
a
,
b
]
;
E
)
.
{\displaystyle {\begin{array}{lll}e^{-2Lx}\|T(u)(x)-T(v)(x)\|_{E}&=&e^{-2Lx}\|\int _{a}^{x}F(t,u(t))-F(t,v(t)){\rm {d}}t\|_{E}\\&\leq &Le^{-2Lx}\int _{a}^{x}e^{2Lt}e^{-2Lt}\|u(t)-v(t)\|_{E}{\rm {d}}t\\&\leq &Le^{-2Lx}\int _{a}^{x}e^{2Lt}\|u-v\|_{C([a,b];E)}{\rm {d}}t\\&\leq &{\frac {1}{2}}\|u-v\|_{C([a,b];E)}\ .\\\end{array}}}
Also gilt
‖
T
(
u
)
−
T
(
v
)
‖
C
(
[
a
,
b
]
;
E
)
≤
1
2
‖
u
−
v
‖
C
(
[
a
,
b
]
;
E
)
,
{\displaystyle \|T(u)-T(v)\|_{C([a,b];E)}\leq {\frac {1}{2}}\|u-v\|_{C([a,b];E)}\ ,}
und somit sind die Voraussetzungen des banachschen Fixpunktsatzes erfüllt. Es gibt daher eine eindeutig bestimmte Lösung
y
∈
C
(
[
a
,
b
]
;
E
)
{\displaystyle y\in C([a,b];E)}
y
(
x
)
=
T
(
y
)
(
x
)
=
y
0
+
∫
a
x
F
(
t
,
y
(
t
)
)
d
t
.
{\displaystyle y(x)=T(y)(x)=y_{0}+\int _{a}^{x}F(t,y(t)){\rm {d}}t\ .}
Nach dem Fundamentalsatz der Analysis ist
y
{\displaystyle y}
y
′
(
x
)
=
F
(
x
,
y
(
x
)
)
{\displaystyle y'(x)=F(x,y(x))}
![{\displaystyle [a,b]\times {\overline {B}}(y_{0},R)\subset G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7197e7c2aa6b8d2d7f477d48401dac873659c25)
![{\displaystyle M:=\max\{\|F(x,y)\|\ |\ (x,y)\in [a,b]\times {\overline {B}}(y_{0},R)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54b957b2f6df8d348a0827b4d641feec1ee9d1df)
![{\displaystyle [a,a+\alpha ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40b9bc320394513d57310d9aeb62baa4003c83c8)
![{\displaystyle y_{0}(x):\equiv y_{0}\ ,\ y_{k+1}(x):=y_{0}+\int _{a}^{x}F(s,y_{k}(s)){\rm {d}}s\ ,\ x\in [a,a+\alpha ]\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b281cac79b0af96f80a41a4400082c512ff2adb0)
![{\displaystyle [a,a+\alpha ]\times {\overline {B}}(y_{0},R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48e01a0a233e47beaf9a639b586c5e797e0d3fe0)
![{\displaystyle x\in [a,a+\alpha ],\ y,z\in {\overline {B}}(y_{0},R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7bc27904ed64edc61beb8018847380ce10ccaef)
![{\displaystyle \max _{x\in [a,a+\alpha ]}\|y_{k+m}-y_{k}\|\leq {\frac {M}{L}}\sum _{j=1}^{m}{\frac {\max _{x\in [a,a+\alpha ]}(L(x-a))^{k+j}}{(k+j)!}}\leq {\frac {M}{L}}\sum _{j=k+1}^{\infty }{\frac {(L\alpha )^{j}}{j!}}<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71e082353a655199415a6a0696ed58cf7ec5069e)
![{\displaystyle C([a,a+\alpha ];E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68c45f6a828fb39ce83c735d3e594f5887ddf7ce)
![{\displaystyle y\in C([a,a+\alpha ];E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a44c844c6fe0c0e4a111e0151a8ef8567d6d459)
![{\displaystyle \max _{s\in [a,a+\alpha ]}\|F(s,y_{k}(s))-F(s,y(s))\|\leq L\max _{s\in [a,a+\alpha ]}\|y_{k}(s)-y(s)\|\rightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e8fca372cf12adecbbe1878917907db3a1dedab)
![{\displaystyle F:[a,b]\times E\to E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d1d7ff10593611568ddf5ff2b6315e94a3a5e24)
![{\displaystyle y:[a,b]\to E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c62258f27947b5a4e9ff53257c1cd6a261368b8a)
![{\displaystyle T:C([a,b];E)\rightarrow C([a,b];E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56fed62a5cf9c9b8d2b0bf482247569dd9bbd775)
![{\displaystyle u\in C([a,b];E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c956acd7fe01b4a5867d4a36171b29afce17a38b)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026357b404ee584c475579fb2302a4e9881b8cce)
![{\displaystyle T(u)\in C([a,b];E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/235ffa6c8eb6dc882c8643b87a2f1fc64165f5c1)
![{\displaystyle C([a,b];E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9116fbde6a7f41c79c0d1f83a9fa437ca2725333)
![{\displaystyle \|u\|_{C([a,b];E)}:=\sup _{x\in [a,b]}e^{-2Lx}\cdot \|u(x)\|_{E}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c2e07759ac4955a47ad8ce4c0009707cfdb2401)
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}e^{-2Lx}\|T(u)(x)-T(v)(x)\|_{E}&=&e^{-2Lx}\|\int _{a}^{x}F(t,u(t))-F(t,v(t)){\rm {d}}t\|_{E}\\&\leq &Le^{-2Lx}\int _{a}^{x}e^{2Lt}e^{-2Lt}\|u(t)-v(t)\|_{E}{\rm {d}}t\\&\leq &Le^{-2Lx}\int _{a}^{x}e^{2Lt}\|u-v\|_{C([a,b];E)}{\rm {d}}t\\&\leq &{\frac {1}{2}}\|u-v\|_{C([a,b];E)}\ .\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f820e760965a2b2f6abf7ed0c5230f81cae53f63)
![{\displaystyle \|T(u)-T(v)\|_{C([a,b];E)}\leq {\frac {1}{2}}\|u-v\|_{C([a,b];E)}\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd73fdbe970d24ef0888830411227151a9f4d93)
![{\displaystyle y\in C([a,b];E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/921ece22ee0bc3f918c57378feced078289b3ed8)
