Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Existenztheorie: Existenz nicht-fortsetzbarer Lösungen

Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Eindeutigkeitstheorie: Lokale Lipschitz-Stetigkeit

Existenztheorie: Existenz nicht-fortsetzbarer Lösungen · Satz von Picard-Lindelöf

Lineare Theorie: Liouville'sche Formel

Die Sätze von Picard-Lindelöf und Peano liefern die Existenz lokaler Lösungen. Die Frage, ob man diese Lösung „immer weiter“ fortsetzen kann, bis man zu einer nicht-fortsetzbaren Lösung gelangt, wird durch den folgenden Satz positiv beantwortet. Auf Grund des hier vorgestellten Beweises wird die nicht-fortsetzbare Lösung gelegentlich auch als maximale Lösung bezeichnet. Man verwechsle dies aber nicht mit dem Begriff der maximalen Lösung eines nicht-eindeutig lösbaren Anfagswertproblems $y'=F(x,y),y(a)=y_{0}$ (für stetiges $F$).

Existenz einer nicht-fortsetzbaren Lösung

Sei $G\subset \mathbb {R} \times \mathbb {K} ^{n}$ und $F:G\rightarrow \mathbb {K} ^{n}$ stetig. Weiter sei $y\in C([a,b);\mathbb {K} ^{n})\cap C^{1}((a,b);\mathbb {K} ^{n})$ eine Lösung von

$\ y'=F(x,y)$

auf $(a,b)$. Dann gibt es ein $x^{+}\in [b,\infty )$ und eine Lösung $u$ obiger Differentialgleichung auf $(a,x^{+})$ mit den Eigenschaften:

• $y(x)=u(x)$ auf $[a,b)$.
• Es gibt kein $s^{+}>x^{+}$, so dass $u$ zu einer Lösung auf $(a,s^{+})$ fortgesetzt werden kann.

Beweis

Setze

$M:=\{v\ |\ \exists \alpha \in [b,\infty ]\ ,\ \mathrm {so\ dass} \ v\ \mathrm {L{\ddot {o}}sung\ auf} \ (a,\alpha )\ {\textrm {mit}}\ v=y\ {\textrm {auf}}\ [a,b)\}\ .$

$M$ wird zu einer partiell geordneten Menge vermöge

$v\preceq w:\Leftrightarrow D(v)\subset D(w)$ und $\ w|_{D(v)}=v$.

Tatsächlich ist $M$ eine induktiv geordnete Menge, denn es gilt ja:

• $M\neq \emptyset$, da $y\in M$.
• Es sei $A\subset M$ eine Kette und $I:=\bigcup _{v\in A}D(v)\subset [a,\infty )$. Definiere dann für $t\in I$

$\ U(x):=v(x)$, falls $x\in D(v)$.

Dann ist $U$ wohldefiniert, denn zu $v,w\in A$ gilt nach Definition der Kette stets $v\preceq w$ oder $w\preceq v$. Nun ist $I$ ein Intervall der Form $[a,x^{+})$ für ein $x^{+}\in [b,\infty ]$, da zu jedem $x\in I$ ein $v\in A$ existiert mit $x\in D(v)$ und somit $[a,x+\delta )\subset D(v)\subset I$. Offenbar ist dann $U\in M$ eine obere Schranke für die Kette $A$.

Nach dem Lemma von Kuratowski-Zorn besitzt $M$ ein maximales Element $u$. Dieses erfüllt die im Satz formulierten Bedingungen.

$\Box$

Wikipedia-Verweis

• Nicht-fortsetzbare Lösung