Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Existenztheorie: Existenz nicht-fortsetzbarer Lösungen

Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Eindeutigkeitstheorie: Lokale Lipschitz-Stetigkeit
Existenztheorie: Existenz nicht-fortsetzbarer Lösungen · Satz von Picard-Lindelöf
Lineare Theorie: Liouville'sche Formel


Die Sätze von Picard-Lindelöf und Peano liefern die Existenz lokaler Lösungen. Die Frage, ob man diese Lösung „immer weiter“ fortsetzen kann, bis man zu einer nicht-fortsetzbaren Lösung gelangt, wird durch den folgenden Satz positiv beantwortet. Auf Grund des hier vorgestellten Beweises wird die nicht-fortsetzbare Lösung gelegentlich auch als maximale Lösung bezeichnet. Man verwechsle dies aber nicht mit dem Begriff der maximalen Lösung eines nicht-eindeutig lösbaren Anfagswertproblems (für stetiges ).

Existenz einer nicht-fortsetzbaren LösungBearbeiten

Sei   und   stetig. Weiter sei   eine Lösung von

 

auf  . Dann gibt es ein   und eine Lösung   obiger Differentialgleichung auf   mit den Eigenschaften:

  •   auf  .
  • Es gibt kein  , so dass   zu einer Lösung auf   fortgesetzt werden kann.

BeweisBearbeiten

Setze

 

  wird zu einer partiell geordneten Menge vermöge

  und  .

Tatsächlich ist   eine induktiv geordnete Menge, denn es gilt ja:

  •  , da  .
  • Es sei   eine Kette und  . Definiere dann für  
 , falls  .
Dann ist   wohldefiniert, denn zu   gilt nach Definition der Kette stets   oder  . Nun ist   ein Intervall der Form   für ein  , da zu jedem   ein   existiert mit   und somit  . Offenbar ist dann   eine obere Schranke für die Kette  .

Nach dem Lemma von Kuratowski-Zorn besitzt   ein maximales Element  . Dieses erfüllt die im Satz formulierten Bedingungen.

 

Wikipedia-VerweisBearbeiten