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Sicherheit des GMR-SignatursystemsBearbeiten

EinleitungBearbeiten

Das GMR-Signatursystem nutzt kollisionsfreie Falltür-Einwegpermutationen. Zur Erklärung siehe dazu Falltür-Einwegfunktionen (engl. trapdoor one-way function). Diese haben den Vorteil, dass sie sich nur mit Kenntnis eines Geheimnisses effizient umkehren lassen. Es wird also die Umkehrpermutation mit Kenntnis des Geheimnisses zum Signieren einer Nachricht verwendet und die Signatur dann ohne Kenntnis des Geheimnisses mit der Permutation überprüft.

Als Geheimnis verwendet man zwei große Primfaktoren von  . Dabei ist   öffentlich, da es zum Testen benötigt wird.

BehauptungBearbeiten

Es existiert eine kollisionsfreie Falltür-Einwegpermutation.

Dazu zeigen wir im Teil 1, dass die im Folgenden vorgeschlagene Permutation eine Falltür-Einwegpermutation ist. Im Teil 2 wird bewiesen, dass es mindestens so schwer ist, eine Kollision zu finden, wie   zu faktorisieren. Das ist nützlich, da das Faktorisierungsproblem für eine beliebige ganze Zahl als nicht mit polynomialem Zeitaufwand lösbar gilt.

Falltür-EinwegpermutationBearbeiten

Sei

    (  ist das Jacobi-Symbol)

der Definitionsbereich für folgende Permutation:

 

Die beiden folgenden Permutationen dienen dem Signieren der Zeichen „1” und „0” an einer zufällig gewählten Referenz  . Die Umkehrfunktionen benötigen Wurzelziehen in  , was nur mit Kenntnis der beiden Primfaktoren effizient möglich ist. Siehe dazu: Wurzelziehen ist schwer

 

Weiterhin sei

 .

Da wir dies im Beweis mehrfach verwenden, sei hier schon einmal darauf hingewiesen, dass damit gilt:

  (-1 ist kein quadratischer Rest modulo  )
 

Beweis, Teil 1Bearbeiten

Wir zeigen nun, dass es sich bei   tatsächlich um eine Permutation handelt, indem wir beweisen, dass folgende Implikation gilt:

 


Sei  

 

Es ist   da  , aber   und damit auch  .

 

Wegen  .

 


Jetzt folgt noch der Beweis für  :

Sei  

 
 
   und   
 

Beweis, Teil 2Bearbeiten

Im zweiten Teil des Beweises zeigen wir, dass die gefundenen Permutationen kollisionsresistent sind. Dazu zeigen wir die Implikation „Kollisionen finden ist leicht”   „Faktorisieren ist leicht.”

Angenommen, es existieren  ,  , für die es eine Kollision gibt:

 
 

Es ist   da  , aber   und damit auch  .

 


 


  , aber   
 


 


Wegen   und   muss   einen der beiden Primfaktoren enthalten. Damit ist

 

einer der beiden Primfaktoren von  

Also gilt: „Kollisionen finden ist leicht.”   „Faktorisieren ist leicht.”

Wikipedia-VerweiseBearbeiten

  GMR (Signaturverfahren)
  Falltür-Einwegfunktion
  Faktorisierungsverfahren
  Polynomialzeit
  Quadratischer Rest
  Jacobi-Symbol


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