Das GMR-Signatursystem nutzt kollisionsfreie Falltür-Einwegpermutationen. Zur Erklärung siehe dazu Falltür-Einwegfunktionen (engl. trapdoor one-way function). Diese haben den Vorteil, dass sie sich nur mit Kenntnis eines Geheimnisses effizient umkehren lassen. Es wird also die Umkehrpermutation mit Kenntnis des Geheimnisses zum Signieren einer Nachricht verwendet und die Signatur dann ohne Kenntnis des Geheimnisses mit der Permutation überprüft.
Als Geheimnis verwendet man zwei große Primfaktoren von . Dabei ist öffentlich, da es zum Testen benötigt wird.
Es existiert eine kollisionsfreie Falltür-Einwegpermutation.
Dazu zeigen wir im Teil 1, dass die im Folgenden vorgeschlagene Permutation eine Falltür-Einwegpermutation ist. Im Teil 2 wird bewiesen, dass es mindestens so schwer ist, eine Kollision zu finden, wie zu faktorisieren. Das ist nützlich, da das Faktorisierungsproblem für eine beliebige ganze Zahl als nicht mit polynomialem Zeitaufwand lösbar gilt.
Die beiden folgenden Permutationen dienen dem Signieren der Zeichen „1” und „0” an einer zufällig gewählten Referenz . Die Umkehrfunktionen benötigen Wurzelziehen in , was nur mit Kenntnis der beiden Primfaktoren effizient möglich ist. Siehe dazu: Wurzelziehen ist schwer
Weiterhin sei
.
Da wir dies im Beweis mehrfach verwenden, sei hier schon einmal darauf hingewiesen, dass damit gilt:
Im zweiten Teil des Beweises zeigen wir, dass die gefundenen Permutationen kollisionsresistent sind. Dazu zeigen wir die Implikation „Kollisionen finden ist leicht” „Faktorisieren ist leicht.”
Angenommen, es existieren , , für die es eine Kollision gibt:
Es ist da , aber und damit auch .
, aber
Wegen und muss einen der beiden Primfaktoren enthalten. Damit ist
einer der beiden Primfaktoren von
Also gilt: „Kollisionen finden ist leicht.” „Faktorisieren ist leicht.”