Beweisarchiv: Stochastik: Wahrscheinlichkeitstheorie: Bernstein-Ungleichung
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- Kombinatorik: Kombinatorische Eigenschaft des Binomialkoeffizienten
Satz (Bernstein-Ungleichung)
BearbeitenSei ein Wahrscheinlichkeitsraum. Seien und positive reelle Zahlen und eine natürliche Zahl. seien unabhängig verteilte Zufallsvariablen mit und für alle .
Dann gilt:
Für den Beweis benötigt man folgendes
Lemma
BearbeitenFür alle gilt:
Beweis (Lemma)
BearbeitenMan definiere die Linke Seite der Ungleichung als , die rechte Seite als und leite jeweils zweimal ab.
Es gilt:
Für gilt:
Für gilt:
Das gilt auch analog für mit vertauschten Integralgrenzen.
Damit ist das Lemma gezeigt.
Beweis (Satz)
BearbeitenDer Beweis wird in fünf Schritte unterteilt:
Schritt 1
BearbeitenEs wird zunächst gezeigt:
Allgemein gilt für , :
Zieht man auf beiden Seiten die Wurzel, dann folgt:
Mit und folgt die Ungleichung. Zur Vereinfachung wird die rechte Seite durch definiert.
Schritt 2
BearbeitenZu zeigen:
Da die Zufallsvariablen nach Voraussetzung unabhängig sind, können Produkt und Erwartungswert vertauscht werden. Aus der Exponentialfunktion bilde man eine Exponentialreihe. Da eine Integrierbare Majorante der unendlichen Reihe ist, können Erwartungswert und Summe vertauscht werden. Mit und der Voraussetzung folgt:
Schritt 3
BearbeitenZu zeigen:
Sei die Verteilungsfunktion von .
Nach Voraussetzung gilt:
- für bzw. für
- für alle und
Diese Faktoren sind unabhängig von . Mit erhält man:
Aus folgt, falls positiv ist und man erhält mit
Damit ist Schritt 3 gezeigt.
Schritt 4
BearbeitenZu zeigen:
Man setze . Um das Lemma (oben) anzuwenden, setze man dann .
Man setze wie in Schritt 1 definiert ein:
Schritt 5
BearbeitenZum Schluss wird die Behauptung des Satzes gezeigt. Man wende zunächst Schritt 1 an.:
Nun wende man die Markow-Ungleichung an:
Aus den Schritten 2 bis 4 folgt: