Beweisarchiv: Stochastik: Wahrscheinlichkeitstheorie: Bernstein-Ungleichung

Beweisarchiv: Stochastik

Statistik: Arithmetisches Mittel zweier Zahlen · Eindeutigkeit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate
Wahrscheinlichkeitstheorie: Bernstein-Ungleichung · Satz von Moivre-Laplace · Approximationssatz von Stone-Weierstrass
Kombinatorik: Kombinatorische Eigenschaft des Binomialkoeffizienten


Satz (Bernstein-Ungleichung)Bearbeiten

Sei   ein Wahrscheinlichkeitsraum. Seien   und   positive reelle Zahlen und   eine natürliche Zahl.   seien unabhängig verteilte Zufallsvariablen mit   und   für alle  .

Dann gilt:

 

Für den Beweis benötigt man folgendes

LemmaBearbeiten

Für alle   gilt:

 


Beweis (Lemma)Bearbeiten

Man definiere die Linke Seite der Ungleichung als  , die rechte Seite als   und leite jeweils zweimal ab.

 
 
 
 
 
 

Es gilt:  

Für   gilt:

 
 

Für   gilt:

 

Das gilt auch analog für   mit vertauschten Integralgrenzen.

Damit ist das Lemma gezeigt.

Beweis (Satz)Bearbeiten

Der Beweis wird in fünf Schritte unterteilt:

Schritt 1Bearbeiten

Es wird zunächst gezeigt:

 


Allgemein gilt für  ,  :  

Zieht man auf beiden Seiten die Wurzel, dann folgt:  


Mit   und   folgt die Ungleichung. Zur Vereinfachung wird die rechte Seite durch   definiert.


 

Schritt 2Bearbeiten

Zu zeigen:  

Da die Zufallsvariablen nach Voraussetzung unabhängig sind, können Produkt und Erwartungswert vertauscht werden. Aus der Exponentialfunktion bilde man eine Exponentialreihe. Da   eine Integrierbare Majorante der unendlichen Reihe ist, können Erwartungswert und Summe vertauscht werden. Mit   und der Voraussetzung   folgt:

 

Schritt 3Bearbeiten

Zu zeigen:  


Sei   die Verteilungsfunktion von  .

Nach Voraussetzung gilt:  

  für   bzw.   für  
  für alle   und  
 


 


Diese Faktoren sind unabhängig von  . Mit   erhält man:

 


Aus   folgt, falls   positiv ist   und man erhält mit  


 


Damit ist Schritt 3 gezeigt.

Schritt 4Bearbeiten

Zu zeigen:  

Man setze  . Um das Lemma (oben) anzuwenden, setze man dann  .

 


Man setze   wie in Schritt 1 definiert ein:


 

Schritt 5Bearbeiten

Zum Schluss wird die Behauptung des Satzes gezeigt. Man wende zunächst Schritt 1 an.:

 

Nun wende man die Markow-Ungleichung an:

 

Aus den Schritten 2 bis 4 folgt:

 
 

Wikipedia-VerweisBearbeiten