Formelsammlung Mathematik/ Druckversion

Alphabete, Symbole und SchreibweisenBearbeiten

Formelsammlung Mathematik

Griechisches AlphabetBearbeiten

Name Majuskel Minuskel
Alpha Α α
Beta Β β
Gamma Γ γ
Delta Δ δ
Epsilon Ε ε
Zeta Ζ ζ
Eta Η η
Theta Θ θ
Iota Ι ι
Kappa Κ κ
Lambda Λ λ
My Μ μ
Ny Ν ν
Xi Ξ ξ
Omikron Ο ο
Pi Π π
Rho Ρ ρ
Sigma Σ σ
Tau Τ τ
Ypsilon Υ υ
Phi Φ φ
Chi Χ χ
Psi Ψ ψ
Omega Ω ω

FrakturschriftBearbeiten

Majuskel Minuskel Majuskel Minuskel
A a N n
B b O o
C c P p
D d Q q
E e R r
F f S s
G g T t
H h U u
I i V v
J j W w
K k X x
L l Y y
M m Z z

LogikBearbeiten

Symbol Bedeutung Verwendung Bedeutung
Negation nicht a
Konjunktion a und b
Disjunktion a oder b
Implikation a impliziert b
Äquivalenz a genau dann, wenn b
Kontravalenz entweder a oder b
Allquantor für alle x gilt: P(x)
Existenzquantor es gibt ein x, für das gilt: P(x)
syntaktische Implikation aus der Formelmenge M lässt sich B formal herleiten
semantische Implikation bei jeder Interpretation, bei der alle Aussagen in M wahr sind, ist auch B wahr
Tautologie B ist unter jeder Interpretation wahr

MengenlehreBearbeiten

Zahlenbereiche
Symbol Bedeutung Beschreibung
Menge der natürlichen Zahlen ohne Null
Menge der natürlichen Zahlen mit Null
Menge der ganzen Zahlen
Menge der rationalen Zahlen
Menge der irrationalen Zahlen
Menge der reellen Zahlen
Menge der komplexen Zahlen
Menge der algebraischen Zahlen
Menge der transzendenten Zahlen
Menge der Quaternionen
Schreibweise Bedeutung
leere Menge
die Menge aus den Elementen a, b, c, d
die Menge der , für die gilt
Menge der positiven reellen Zahlen
Menge der nichtnegativen reellen Zahlen
Potenzmenge von A
Menge der Abbildungen von A nach B
n-faches kartesisches Produkt von A mit sich selbst
Komplementärmenge von A
Symbol Bedeutung Verwendung Bedeutung
Element von x ist ein Element von M
Teilmenge von A ist eine Teilmenge von B
echte Teilmenge von A ist eine echte Teilmenge von B
Vereinigungsmenge Vereinigung von A und B
Schnittmenge Schnitt von A und B
Differenzmenge A ohne B
symmetrische Differenz symmetrische Differenz von A und B
Vereinigungsmenge Vereinigung aller für
Schnittmenge Schnitt aller für
disjunkte Vereinigung Vereinigung aller für
kartesisches Produkt kartesisches Produkt von A und B
kartesisches Produkt kartesisches Produkt der für

AnalysisBearbeiten

Schreibweise Bedeutung
geschlossenes Intervall
offenes Intervall
halboffenes Intervall
halboffenes Intervall
positive reelle Zahlen:
nichtnegative reelle Zahlen:
negative reelle Zahlen:
nichtpositive reelle Zahlen:
die Koordinatenebene
die x-Achse
die y-Achse
die obere Halbebene
die rechte Halbebene
der Quadrant (+,+)
Einschränkung von auf A
Supremum der Menge M
Infimum der Menge M
die Summe
das Produkt
Grenzwert der Folge
Grenzwert der Funktion für x gegen a
Ableitung von an der Stelle a
zweite Ableitung von
n-te Ableitung von
unbestimmtes Integral von
bestimmtes Integral von über das Intervall
cauchyscher Hauptwert, engl. PV, CPV (principial value), franz. v.p.
Kurzschreibweise für

Mehrdimensionale AnalysisBearbeiten

Schreibweise Bedeutung
partielle Ableitung von an der Stelle a
Gradient von an der Stelle a
Divergenz von F an der Stelle a
Rotation von F an der Stelle a
Richtungsableitung (in Richtung v) von an der Stelle a
totales Differential von an der Stelle a, dual gepaart mit dem Vektor v
Jacobi-Matrix von an der Stelle a; ,
Kurvenintegral erster Art
Kurvenintegral zweiter Art
komplexes Kurvenintegral
Kurvenintegral über einen doppelpunktfreien Weg
Kurvenintegral über einen geschlossenen doppelpunktfreien Weg

Römische ZahlenBearbeiten

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Römische Ziffern
Ziffer I V X L C D M
Wert 1 5 10 50 100 500 1000

Es gab keine Null.

Regeln:

  • Die Zeichen werden hintereinander geschrieben (wobei im Allgemeinen links mit dem Symbol der größten Zahl begonnen wird).
  • Ihre Werte werden addiert.
  • Die Grundzeichen (I, X, C, M) werden höchstens dreimal, die Hilfszeichen (V,L,D) nur einmal hintereinander geschrieben.
  • Steht das Symbol einer kleineren Zahl vor dem einer größeren, so wird der kleinere Wert vom größeren subtrahiert.
    • Es darf höchstens ein Symbol der nächstkleineren Zahl vorangestellt werden.
Römische Zahlen
Zahl I II III IV V VI VII VIII IX X
Wert 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Zahl X XX XXX XL L LX LXX LXXX XC C
Wert 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Zahl C CC CCC CD D DC DCC DCCC CM M
Wert 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Beispiele:

  • XVII = 10 + 5 + 1 + 1 = 17
  • MMIII = 1000 + 1000 + 1 + 1 + 1 = 2003
  • IX = 10 − 1 = 9

Die höchste Zahl, die damit dargestellt werden kann, ist somit 3999 (MMMCMXCIX).

Software
Microsoft Excel =RÖMISCH(arabische Zahl)
LibreOffice Calc =RÖMISCH(arabische Zahl)

Zahlenbereiche und RechenoperationenBearbeiten

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ZahlenbereicheBearbeiten

ÜbersichtBearbeiten

Es ist Dabei sind die natürlichen, die ganzen, die rationalen, die reellen, und die komplexen Zahlen. sind die Quaternionen die Oktonionen und die Sedenionen.

enthält die (rein) imaginären Zahlen als echte Teilmenge. beginnt je nach Festlegung bei 0 oder 1. Zur Verdeutlichung kann man bzw. schreiben.

Rationale ZahlenBearbeiten

Jede rationale Zahl lässt sich als gemeiner Bruch (Quotient zweier ganzer Zahlen) schreiben: heißt Zähler, Nenner.

heißt echt (eigentlich) für
unecht (uneigentlich) für
reduziert für
Stammbruch für
Zweigbruch für

Rechenoperationen erster bis dritter StufeBearbeiten

ÜbersichtBearbeiten

Rechenart Gerade oder direkte Umgekehrte oder indirekte
Grundrechenarten 1.Stufe Addition

(addieren; zusammenzählen)

Subtraktion

(subtrahieren; abziehen)

Summand plus Summand gleich Summe Minuend minus Subtrahend gleich Differenz
2.Stufe Multiplikation

(multiplizieren; malnehmen)

Division

(dividieren; teilen)

b gleiche Summanden

1.Faktor mal 2.Faktor gleich Produkt Dividend durch Divisor gleich Quotient
. 3.Stufe Potenzieren Radizieren

(Wurzelziehen)

b gleiche Faktoren

Basis a hoch Exponent b gleich Potenzwert c b-te Wurzel aus dem Radikanden c gleich Wurzelwert a (b: Wurzelexponent)
Logarithmieren
Logarithmus vom Logarithmanden c zur Basis a gleich Logarithmuswert b

Die vier Grundrechenarten mit natürlichen ZahlenBearbeiten

AdditionBearbeiten

Addieren oder Zusammenzählen

Summand* + Summand* = Summe
     3  +  4      =   7

*Früher wurde für den ersten Summanden auch der Begriff Augend und für die anderen Summanden auch der Begriff Addend verwendet.

Satz: Die Summanden dürfen beliebig vertauscht werden -> Kommutativgesetz


SubtraktionBearbeiten

Subtrahieren oder Abziehen

Minuend - Subtrahend = Differenz
    8   -    2       =   6

MultiplikationBearbeiten

Faktor* x Faktor* = Produkt
  8    x   8    =  64

* Früher wurde für den ersten Faktor auch der Begriff Multiplikator und für die anderen Faktoren auch der Begriff Multiplikand verwendet.

Satz: Die Faktoren dürfen beliebig vertauscht werden -> Kommutativgesetz

DivisionBearbeiten

Dividieren, Teilen oder Bruchrechnen

oder

Beispiel:

DezimalbruchBearbeiten


Gemischter BruchBearbeiten


ganze Zahl und ein Bruch

Gleichnamige BrücheBearbeiten


alle Nenner sind gleichnamig

Ungleichnamige BrücheBearbeiten


alle Nenner sind ungleichnamig

Addieren und Subtrahieren gleichnamiger BrücheBearbeiten


Die Zähler werden addiert oder subtrahiert und == der Nenner wird beibehalten. ==

Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger BrücheBearbeiten


Die Nenner werden auf ein gemeinsames Vielfaches gebracht und somit zu gleichnamigen Brüchen

Multiplizieren von BrüchenBearbeiten


Zähler werden mit Zähler multipliziert, Nenner mit Nenner.

Dividieren von BrüchenBearbeiten


Dividend multipliziert mit Kehrwert des Divisors

VorrangregelnBearbeiten

Folgende Vorrangregeln sind in der Mathematik üblich. Die Assoziativität ist nur bei Verletzung des Assoziativgesetzes von Bedeutung. Im Zweifelsfall können Klammern gesetzt werden.

Operationen Bedeutung Assoziativität
Indizierung rechts
Funktionsapplikation links
Potenzierung rechts
Negation rechts

Multiplikation, Division,
Schnitt
links

Addition, Subtraktion,
Vereinigung
links



Gleichheitsrelationen,
Ordnungsrelationen,
Teilmengenrelation,
Elementrelation,
keine
logische Negation rechts
Konjunktion links
Disjunktion, Kontravalenz links
Implikation keine
Äquivalenz keine
syntaktische und semantische
Implikation
keine
metasprachliche Implikation keine
metasprachliche Äquivalenz keine

Wichtige ZahlenBearbeiten

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Die Null (0)Bearbeiten

Neutrales Element bezüglich der Addition: a + 0 = a.

Neutrales Element bezüglich der Subtraktion: a − 0 = a.

Die Eins (1)Bearbeiten

Neutrales Element bezüglich der Multiplikation: a · 1 = a.

Neutrales Element bezüglich der Division: a : 1 = a.

Kreiszahl πBearbeiten

Verhältnis von Umfang eines Kreises zum Durchmesser des Kreises,

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 …

Reihenentwicklung nach Leibniz:

Eulersche Zahl eBearbeiten

Basis des natürlichen Logarithmus,

e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 …

Euler-Mascheroni-Konstante γBearbeiten

0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 …

Imaginäre Einheit iBearbeiten

Die Zahl i ist das Grundelement der imaginären Zahlen,

Achtung: Die für gültige Formel verliert ihre Gültigkeit wenn negativ sind.

So ist zum Beispiel .

Wurzel aus 2Bearbeiten

1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 …

Wurzel aus 3Bearbeiten

1,73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 55806 …

Wurzel aus 5Bearbeiten

2,23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 70897 …

Der goldene SchnittBearbeiten

1,61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576 28621 35448 …

Feigenbaum-Konstante δBearbeiten

4,66920 16091 02990 67185 32038 20466 20161 72581 85577 47576 …

Feigenbaum-Konstante αBearbeiten

2,50290 78750 95892 82228 39028 73218 21578 63812 71376 72714 …

AlgebraBearbeiten

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RechenregelnBearbeiten

Binomische FormelnBearbeiten

Sei ein Ring, z. B. oder . Sei und . Dann gilt:

(erste binomische Formel)
(zweite binomische Formel)
(dritte binomische Formel)

und:

Binomischer LehrsatzBearbeiten

Sei ein unitärer Ring, z. B. oder . Sei und . Dann gilt:

usw. usw.

Pascalsches DreieckBearbeiten

Das pascalsche Dreieck ist eine Wertetabelle für die Binomialkoeffizienten

k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 k=8
n=0 1
n=1 1 1
n=2 1 2 1
n=3 1 3 3 1
n=4 1 4 6 4 1
n=5 1 5 10 10 5 1
n=6 1 6 15 20 15 6 1
n=7 1 7 21 35 35 21 7 1
n=8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

Das Dreieck lässt sich rekursiv durch die Vorschrift

erzeugen.

MultinomialtheoremBearbeiten

Sei ein unitärer Ring. Sei , wobei die paarweise kommutieren. Es gilt

In Multiindex-Notation:

mit

Die ersten Formeln sind:

n=2 (a+b)2 = a2 + b2 + 2ab
(a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a+b+c+d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
n=3 (a+b)3 = a3 + b3 + 3a2b + 3b2a
(a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3a2c + 3b2a + 3b2c + 3c2a + 3c2b + 6abc

PotenzenBearbeiten

usw.

Definition für und :

Für :

Definition für und :

Für :

PotenzgesetzeBearbeiten

Für und gilt:

Ist zusätzlich , so gilt:

Für und gilt:

Potenzgesetze für komplexen Zahlen

LogarithmenBearbeiten

Graph des Logarithmus zur Basis 2, e und 1/2

Für mit und gilt:

LogarithmengesetzeBearbeiten

Für mit und gilt:

Welcher Logarithmus verwendet wird, ist unerheblich. D. h. man setzt für ein festes mit und . Meistens ist oder .

Spezielle LogarithmenBearbeiten

Bezeichnung Definierende
Eigenschaft
Basis
Natürliche Logarithmen ln e=2,718 281 828 459 045... (eulersche Zahl)
Dekadische Logarithmen lg 10
Binäre Logarithmen lb, ld 2
Logarithmengesetze für komplexe Zahlen

GleichungenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Sind zwei auf der Grundmenge definierte Funktionen, so nennt man

eine Bestimmungsgleichung, wenn die Lösungsmenge

gesucht ist.

Bei kann es sich auch um eine Menge von Tupeln handeln:

usw.

Man schreibt auch oder usw.

ÄquivalenzumformungenBearbeiten

Äquivalenzumformungen lassen die Lösungsmenge einer Gleichung unverändert.

Seien zwei Aussageformen.

Äquivalenz Implikation

Gilt für alle :

so gilt:

Gilt für alle :

so gilt:

Seien Funktionen mit Definitionsbereich und Zielmenge oder .

Für alle x gilt:

Besitzt keine Nullstellen, so gilt für alle x:

Besitzt Nullstellen, so gilt immerhin noch für alle x:


Ist eine auf dem Definitionsbereich injektive Funktion, dann gilt für alle x:

Jede streng monotone Funktion ist injektiv.

Arten von GleichungenBearbeiten

Polynomgleichungen

Komplexe ZahlenBearbeiten

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DarstellungBearbeiten

Geometrische Darstellung einer komplexen Zahl.
Kartesische Form
Polarform (trigonometrische Darstellung)
Polarform (Exponentialdarstellung)

Elementare OperationenBearbeiten

Name Operation Polarform kartesische Form
Identität
Identität
Identität
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division
Kehrwert
Potenzierung
Konjugation
Realteil
Imaginärteil
Betrag
Argument

Rechenweg zur Division:

KonjugationBearbeiten

Für alle gilt:

Für alle und gilt:

ArgumentBearbeiten

Für alle , und gilt:

Für alle gilt:

PotenzenBearbeiten

Allgemeine Potenzfunktion .
Allgemeine Potenzfunktion für die Umgebung von (0; 0). An der Stelle (0; 0) ist die Funktion unstetig.

Definitionen:

Für alle gilt:

Für alle und gilt:

Für alle , und gilt:

Für alle , und gilt:

WurzelnBearbeiten

Graph der Funktion f(z) = z5−1. Die Nullstellen von f heißen fünfte Einheitswurzeln. Die n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl bilden immer ein regelmäßiges n-Eck, dessen Zentrum im Koordinatenursprung liegt.

Sei . Für alle gilt:

Hauptwert:

Hauptwert, allgemein für :

LogarithmenBearbeiten

Definitionen:

Logarithmus als Urbild der Exponentialfunktion:

Für alle und gilt:

Für alle gilt:

Für alle gilt:

Für alle und gilt:

AufgabenBearbeiten

Aufgabe 1Bearbeiten

Ist eine fest vorgegebene komplexe Zahl und ist eine komplexe Variable, so gilt für . (: Landau-Symbol)


Aufgabe 2Bearbeiten

Sind komplexe Zahlen mit positivem Realteil und ist irgendeine komplexe Zahl, so ist und .


Aufgabe 3Bearbeiten

Ist eine komplexe Zahl, so ist .


Aufgabe 4Bearbeiten


Aufgabe 5Bearbeiten

   , mit



WinkelfunktionenBearbeiten

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GraphenBearbeiten

Sinus

Cosinus

Tangens

Cotangens

Sekans

Cosekans

SymmetrienBearbeiten

Punktsymmetrie Achsensymmetrie


Definition der Winkel- und Hyperbelfunktionen durch die e-FunktionBearbeiten


























Gegenseitige Darstellbarkeit von WinkelfunktionenBearbeiten

sin cos tan cot sec csc
sin2(x)
cos2(x)
tan2(x)
cot2(x)
sec2(x)
csc2(x)

Die Gleichungen gelten für alle mit Ausnahme der Polstellen. Stetig hebbare Definitionslücken können entsprechend ergänzt werden.

Man beachte, dass die Gleichungen nach dem Wurzelziehen nur betragsmäßig gültig sind, da beim Quadrieren die Vorzeichen verloren gehen.


Winkelfunktionen mit verschobenem ArgumentBearbeiten




AdditionstheoremeBearbeiten


DoppelwinkelfunktionenBearbeiten


Winkelfunktionen für weitere VielfacheBearbeiten

Rekursionsformeln mit :

HalbwinkelformelnBearbeiten

für

für