Alphabete, Symbole und SchreibweisenBearbeiten
Griechisches AlphabetBearbeiten
Name
|
Majuskel
|
Minuskel
|
Alpha
|
Α
|
α
|
Beta
|
Β
|
β
|
Gamma
|
Γ
|
γ
|
Delta
|
Δ
|
δ
|
Epsilon
|
Ε
|
ε
|
Zeta
|
Ζ
|
ζ
|
Eta
|
Η
|
η
|
Theta
|
Θ
|
θ
|
Iota
|
Ι
|
ι
|
Kappa
|
Κ
|
κ
|
Lambda
|
Λ
|
λ
|
My
|
Μ
|
μ
|
Ny
|
Ν
|
ν
|
Xi
|
Ξ
|
ξ
|
Omikron
|
Ο
|
ο
|
Pi
|
Π
|
π
|
Rho
|
Ρ
|
ρ
|
Sigma
|
Σ
|
σ
|
Tau
|
Τ
|
τ
|
Ypsilon
|
Υ
|
υ
|
Phi
|
Φ
|
φ
|
Chi
|
Χ
|
χ
|
Psi
|
Ψ
|
ψ
|
Omega
|
Ω
|
ω
|
Majuskel
|
Minuskel
|
Majuskel
|
Minuskel
|
A  |
a
|
N  |
n
|
B  |
b
|
O  |
o
|
C  |
c
|
P  |
p
|
D  |
d
|
Q  |
q
|
E  |
e
|
R  |
r
|
F  |
f
|
S  |
s
|
G  |
g
|
T  |
t
|
H  |
h
|
U  |
u
|
I  |
i
|
V  |
v
|
J  |
j
|
W  |
w
|
K  |
k
|
X  |
x
|
L  |
l
|
Y  |
y
|
M  |
m
|
Z  |
z
|
Symbol
|
Bedeutung
|
Verwendung
|
Bedeutung
|
 |
Negation
|
 |
nicht a
|
 |
Konjunktion
|
 |
a und b
|
 |
Disjunktion
|
 |
a oder b
|
 |
Implikation
|
 |
a impliziert b
|
 |
Äquivalenz
|
 |
a genau dann, wenn b
|
 |
Kontravalenz
|
 |
entweder a oder b
|
 |
Allquantor
|
 |
für alle x gilt: P(x)
|
 |
Existenzquantor
|
 |
es gibt ein x, für das gilt: P(x)
|
 |
syntaktische Implikation
|
 |
aus der Formelmenge M lässt sich B formal herleiten
|
 |
semantische Implikation
|
 |
bei jeder Interpretation, bei der alle Aussagen in M wahr sind, ist auch B wahr
|
Tautologie
|
 |
B ist unter jeder Interpretation wahr
|
Zahlenbereiche
|
Symbol
|
Bedeutung
|
Beschreibung
|
 |
Menge der natürlichen Zahlen ohne Null
|
|
 |
Menge der natürlichen Zahlen mit Null
|
|
 |
Menge der ganzen Zahlen
|
|
 |
Menge der rationalen Zahlen
|
 |
Menge der irrationalen Zahlen
|
|
 |
Menge der reellen Zahlen
|
 |
Menge der komplexen Zahlen
|
 |
Menge der algebraischen Zahlen
|
 |
Menge der transzendenten Zahlen
|
|
 |
Menge der Quaternionen
|
Schreibweise
|
Bedeutung
|
 |
leere Menge
|
 |
die Menge aus den Elementen a, b, c, d
|
 |
die Menge der , für die gilt
|
 |
Menge der positiven reellen Zahlen
|
 |
Menge der nichtnegativen reellen Zahlen
|
 |
Potenzmenge von A
|
 |
Menge der Abbildungen von A nach B
|
 |
n-faches kartesisches Produkt von A mit sich selbst
|
 |
Komplementärmenge von A
|
Symbol
|
Bedeutung
|
Verwendung
|
Bedeutung
|
 |
Element von
|
 |
x ist ein Element von M
|
 |
Teilmenge von
|
 |
A ist eine Teilmenge von B
|
 |
echte Teilmenge von
|
 |
A ist eine echte Teilmenge von B
|
 |
Vereinigungsmenge
|
 |
Vereinigung von A und B
|
 |
Schnittmenge
|
 |
Schnitt von A und B
|
 |
Differenzmenge
|
 |
A ohne B
|
 |
symmetrische Differenz
|
 |
symmetrische Differenz von A und B
|
 |
Vereinigungsmenge
|
 |
Vereinigung aller für
|
 |
Schnittmenge
|
 |
Schnitt aller für
|
 |
disjunkte Vereinigung
|
 |
Vereinigung aller für
|
 |
kartesisches Produkt
|
 |
kartesisches Produkt von A und B
|
 |
kartesisches Produkt
|
 |
kartesisches Produkt der für
|
Schreibweise
|
Bedeutung
|
|
geschlossenes Intervall
|
|
offenes Intervall
|
|
halboffenes Intervall
|
|
halboffenes Intervall
|
|
positive reelle Zahlen:
|
|
nichtnegative reelle Zahlen:
|
|
negative reelle Zahlen:
|
|
nichtpositive reelle Zahlen:
|
|
die Koordinatenebene
|
|
die x-Achse
|
|
die y-Achse
|
|
die obere Halbebene
|
|
die rechte Halbebene
|
|
der Quadrant (+,+)
|
|
Einschränkung von auf A
|
|
Supremum der Menge M
|
|
Infimum der Menge M
|
|
die Summe
|
|
das Produkt
|
|
Grenzwert der Folge
|
|
Grenzwert der Funktion für x gegen a
|
|
Ableitung von an der Stelle a
|
|
|
|
zweite Ableitung von
|
|
n-te Ableitung von
|
|
unbestimmtes Integral von
|
|
bestimmtes Integral von über das Intervall
|
|
cauchyscher Hauptwert, engl. PV, CPV (principial value), franz. v.p.
|
|
Kurzschreibweise für
|
Mehrdimensionale AnalysisBearbeiten
Schreibweise
|
Bedeutung
|
|
partielle Ableitung von an der Stelle a
|
|
|
|
Gradient von an der Stelle a
|
|
Divergenz von F an der Stelle a
|
|
Rotation von F an der Stelle a
|
|
Richtungsableitung (in Richtung v) von an der Stelle a
|
|
totales Differential von an der Stelle a, dual gepaart mit dem Vektor v
|
|
Jacobi-Matrix von an der Stelle a; ,
|
|
|
|
Kurvenintegral erster Art
|
|
Kurvenintegral zweiter Art
|
|
komplexes Kurvenintegral
|
|
Kurvenintegral über einen doppelpunktfreien Weg
|
|
Kurvenintegral über einen geschlossenen doppelpunktfreien Weg
|
Römische Ziffern
|
Ziffer
|
I
|
V
|
X
|
L
|
C
|
D
|
M
|
Wert
|
1 |
5 |
10 |
50 |
100 |
500 |
1000
|
Es gab keine Null.
Regeln:
- Die Zeichen werden hintereinander geschrieben (wobei im Allgemeinen links mit dem Symbol der größten Zahl begonnen wird).
- Ihre Werte werden addiert.
- Die Grundzeichen (I, X, C, M) werden höchstens dreimal, die Hilfszeichen (V,L,D) nur einmal hintereinander geschrieben.
- Steht das Symbol einer kleineren Zahl vor dem einer größeren, so wird der kleinere Wert vom größeren subtrahiert.
- Es darf höchstens ein Symbol der nächstkleineren Zahl vorangestellt werden.
Römische Zahlen
|
Zahl
|
I
|
II
|
III
|
IV
|
V
|
VI
|
VII
|
VIII
|
IX
|
X
|
Wert
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10
|
Zahl
|
X |
XX |
XXX |
XL |
L |
LX |
LXX |
LXXX |
XC |
C
|
Wert
|
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100
|
Zahl
|
C |
CC |
CCC |
CD |
D |
DC |
DCC |
DCCC |
CM |
M
|
Wert
|
100 |
200 |
300 |
400 |
500 |
600 |
700 |
800 |
900 |
1000
|
Beispiele:
- XVII = 10 + 5 + 1 + 1 = 17
- MMIII = 1000 + 1000 + 1 + 1 + 1 = 2003
- IX = 10 − 1 = 9
Die höchste Zahl, die damit dargestellt werden kann, ist somit 3999 (MMMCMXCIX).
Software
|
Microsoft Excel |
=RÖMISCH(arabische Zahl)
|
LibreOffice Calc |
=RÖMISCH(arabische Zahl)
|
Zahlenbereiche und RechenoperationenBearbeiten
Es ist
Dabei sind
die natürlichen,
die ganzen,
die rationalen,
die reellen, und
die komplexen Zahlen.
sind die Quaternionen
die Oktonionen und
die Sedenionen.
enthält die (rein) imaginären Zahlen als echte Teilmenge.
beginnt je nach Festlegung bei 0 oder 1. Zur Verdeutlichung kann man
bzw.
schreiben.
Jede rationale Zahl
lässt sich als gemeiner Bruch (Quotient zweier ganzer Zahlen) schreiben:
heißt Zähler,
Nenner.
heißt |
echt (eigentlich) |
für
|
|
unecht (uneigentlich) |
für
|
|
reduziert |
für
|
|
Stammbruch |
für
|
|
Zweigbruch |
für
|
Rechenoperationen erster bis dritter StufeBearbeiten
Die vier Grundrechenarten mit natürlichen ZahlenBearbeiten
Addieren oder Zusammenzählen
Summand* + Summand* = Summe
3 + 4 = 7
*Früher wurde für den ersten Summanden auch der Begriff Augend und für die anderen Summanden auch der Begriff Addend verwendet.
Satz: Die Summanden dürfen beliebig vertauscht werden -> Kommutativgesetz
Subtrahieren oder Abziehen
Minuend - Subtrahend = Differenz
8 - 2 = 6
Faktor* x Faktor* = Produkt
8 x 8 = 64
* Früher wurde für den ersten Faktor auch der Begriff Multiplikator und für die anderen Faktoren auch der Begriff Multiplikand verwendet.
Satz: Die Faktoren dürfen beliebig vertauscht werden -> Kommutativgesetz
Dividieren, Teilen oder Bruchrechnen
oder
Beispiel:
ganze Zahl und ein Bruch
alle Nenner sind gleichnamig
Ungleichnamige BrücheBearbeiten
alle Nenner sind ungleichnamig
Addieren und Subtrahieren gleichnamiger BrücheBearbeiten
Die Zähler werden addiert oder subtrahiert und
== der Nenner wird beibehalten.
==
Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger BrücheBearbeiten
Die Nenner werden auf ein gemeinsames Vielfaches gebracht und somit zu gleichnamigen Brüchen
Multiplizieren von BrüchenBearbeiten
Zähler werden mit Zähler multipliziert, Nenner mit Nenner.
Dividieren von BrüchenBearbeiten
Dividend multipliziert mit Kehrwert des Divisors
Folgende Vorrangregeln sind in der Mathematik üblich.
Die Assoziativität ist nur bei Verletzung des Assoziativgesetzes von Bedeutung.
Im Zweifelsfall können Klammern gesetzt werden.
Operationen
|
Bedeutung
|
Assoziativität
|
|
Indizierung
|
rechts
|
|
Funktionsapplikation
|
links
|
|
Potenzierung
|
rechts
|
|
Negation
|
rechts
|

|
Multiplikation, Division, Schnitt
|
links
|

|
Addition, Subtraktion, Vereinigung
|
links
|



|
Gleichheitsrelationen, Ordnungsrelationen, Teilmengenrelation, Elementrelation,
|
keine
|
|
logische Negation
|
rechts
|
|
Konjunktion
|
links
|
|
Disjunktion, Kontravalenz
|
links
|
|
Implikation
|
keine
|
|
Äquivalenz
|
keine
|
|
syntaktische und semantische Implikation
|
keine
|
|
metasprachliche Implikation
|
keine
|
|
metasprachliche Äquivalenz
|
keine
|
Neutrales Element bezüglich der Addition: a + 0 = a.
Neutrales Element bezüglich der Subtraktion: a − 0 = a.
Neutrales Element bezüglich der Multiplikation: a · 1 = a.
Neutrales Element bezüglich der Division: a : 1 = a.
Verhältnis von Umfang eines Kreises zum Durchmesser des Kreises,
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 …
Reihenentwicklung nach Leibniz:

Basis des natürlichen Logarithmus,
- e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 …

0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 …

Die Zahl i ist das Grundelement der imaginären Zahlen,

Achtung: Die für
gültige Formel
verliert ihre Gültigkeit wenn
negativ sind.
So ist zum Beispiel
.
1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 …
1,73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 55806 …
2,23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 70897 …
1,61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576 28621 35448 …
4,66920 16091 02990 67185 32038 20466 20161 72581 85577 47576 …
2,50290 78750 95892 82228 39028 73218 21578 63812 71376 72714 …
Sei
ein Ring, z. B.
oder
.
Sei
und
. Dann gilt:
|
(erste binomische Formel)
|
|
(zweite binomische Formel)
|
|
(dritte binomische Formel)
|
und:
|
|
|
|
Sei
ein unitärer Ring, z. B.
oder
.
Sei
und
. Dann gilt:
|
|
|
|
|
|
|
|
usw.
|
usw.
|
Das pascalsche Dreieck ist eine Wertetabelle für die Binomialkoeffizienten

|
k=0 |
k=1 |
k=2 |
k=3 |
k=4 |
k=5 |
k=6 |
k=7 |
k=8
|
n=0
|
1
|
n=1
|
1 |
1
|
n=2
|
1 |
2 |
1
|
n=3
|
1 |
3 |
3 |
1
|
n=4
|
1 |
4 |
6 |
4 |
1
|
n=5
|
1 |
5 |
10 |
10 |
5 |
1
|
n=6
|
1 |
6 |
15 |
20 |
15 |
6 |
1
|
n=7
|
1 |
7 |
21 |
35 |
35 |
21 |
7 |
1
|
n=8
|
1 |
8 |
28 |
56 |
70 |
56 |
28 |
8 |
1
|
Das Dreieck lässt sich rekursiv durch die Vorschrift

erzeugen.
Sei
ein unitärer Ring. Sei
, wobei die
paarweise kommutieren. Es gilt

In Multiindex-Notation:

mit




Die ersten Formeln sind:
n=2
|
(a+b)2
|
= a2 + b2 + 2ab
|
(a+b+c)2
|
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
|
(a+b+c+d)2
|
= a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
|
n=3
|
(a+b)3
|
= a3 + b3 + 3a2b + 3b2a
|
(a+b+c)3
|
= a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3a2c + 3b2a + 3b2c + 3c2a + 3c2b + 6abc
|
|
|
|
|
usw.
|
|
Definition für
und
:


Für
:

Definition für
und
:

Für
:
![{\displaystyle {\sqrt[{r}]{a}}:=\exp \left({\frac {\ln(a)}{r}}\right)=a^{1/r}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f76a3addcdbfa058d6316ffa632a93e36b4c076)
Für
und
gilt:
|
|
|
|
|
|
Ist zusätzlich
, so gilt:
|
|
|
|
|
|
Für
und
gilt:
|
|
|
Graph des Logarithmus zur Basis 2, e und 1/2
Für
mit
und
gilt:

Für
mit
und
gilt:
|
|
|
|
|
|
|
Welcher Logarithmus verwendet wird, ist unerheblich. D. h. man setzt
für ein festes
mit
und
. Meistens ist
oder
.
Spezielle LogarithmenBearbeiten
|
Bezeichnung
|
Definierende Eigenschaft
|
Basis
|
Natürliche Logarithmen
|
ln |
|
e=2,718 281 828 459 045... (eulersche Zahl)
|
Dekadische Logarithmen
|
lg |
|
10
|
Binäre Logarithmen
|
lb , ld |
|
2
|
Sind
zwei auf der Grundmenge
definierte Funktionen, so nennt man

eine Bestimmungsgleichung, wenn die Lösungsmenge

gesucht ist.
Bei
kann es sich auch um eine Menge von Tupeln handeln:


- usw.
Man schreibt auch
oder
usw.
ÄquivalenzumformungenBearbeiten
Äquivalenzumformungen lassen die Lösungsmenge einer Gleichung unverändert.
Seien
zwei Aussageformen.
Äquivalenz
|
Implikation
|
Gilt für alle :

so gilt:

|
Gilt für alle :

so gilt:

|
Seien
Funktionen mit Definitionsbereich
und Zielmenge
oder
.
Für alle x gilt:


Besitzt
keine Nullstellen, so gilt für alle x:


Besitzt
Nullstellen, so gilt immerhin noch für alle x:

Ist
eine auf dem Definitionsbereich
injektive Funktion, dann gilt für alle x:

Jede streng monotone Funktion ist injektiv.
Arten von GleichungenBearbeiten
Polynomgleichungen
Geometrische Darstellung einer komplexen Zahl.
- Kartesische Form

- Polarform (trigonometrische Darstellung)

- Polarform (Exponentialdarstellung)

Elementare OperationenBearbeiten
Name
|
Operation
|
Polarform
|
kartesische Form
|
Identität
|
|
|
|
Identität
|
|
|
|
Identität
|
|
|
|
Addition
|
|
|
|
Subtraktion
|
|
|
|
Multiplikation
|
|
|
|
Division
|
|
|
|
Kehrwert
|
|
|
|
Potenzierung
|
|
|
|
Konjugation
|
|
|
|
Realteil
|
|
|
|
Imaginärteil
|
|
|
|
Betrag
|
|
|
|
Argument
|
|
|
|
Rechenweg zur Division:


Für alle
gilt:
|
|
Für alle
und
gilt:



Für alle
,
und
gilt:






Für alle
gilt:


Allgemeine Potenzfunktion

.
Allgemeine Potenzfunktion

für die Umgebung von (0; 0). An der Stelle (0; 0) ist die Funktion unstetig.
Definitionen:



Für alle
gilt:




Für alle
und
gilt:




Für alle
,
und
gilt:



Für alle
,
und
gilt:

Graph der Funktion
f(
z) =
z5−1. Die Nullstellen von
f heißen
fünfte Einheitswurzeln. Die
n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl bilden immer ein regelmäßiges
n-Eck, dessen Zentrum im Koordinatenursprung liegt.
Sei
. Für alle
gilt:
![{\displaystyle z=w^{n}\iff w={\sqrt[{n}]{|z|}}\exp {\Big (}{\frac {\mathrm {i} \varphi +2k\pi \mathrm {i} }{n}}{\Big )},\;k\in \{0,1,\ldots ,n-1\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3bea17a7d314afd793ddaf022d01dc78fe6ffb1)
Hauptwert:
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{|z|}}\exp {\Big (}{\frac {\mathrm {i} \varphi }{n}}{\Big )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/227dd560e1f2d20d6625adc5234e19d73047676e)
Hauptwert, allgemein für
:
![{\displaystyle {\sqrt[{x}]{z}}:=\exp {\bigg (}{\frac {\ln(z)}{x}}{\bigg )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a68ab832b5581a372562e9d462e18087cf1b2f)
Definitionen:


Logarithmus als Urbild der Exponentialfunktion:


Für alle
und
gilt:

Für alle
gilt:

Für alle
gilt:

Für alle
und
gilt:

- Ist
eine fest vorgegebene komplexe Zahl und ist
eine komplexe Variable, so gilt
für
. (
: Landau-Symbol)
- Sind
komplexe Zahlen mit positivem Realteil und ist
irgendeine komplexe Zahl, so ist
und
.
- Ist
eine komplexe Zahl, so ist
.

Beweis (Formel von Fibonacci)
Aus
folgt
.
, mit 
Beweis
Für jede von Null verschiedene komplexe Zahl
gibt es stets zwei komplexe Zahlen die quadriert
ergeben.
Mit
soll der komplexe Hauptwert gemeint sein. Hier ist stets
und im Fall
ist
.
Wenn
sein soll, muss gelten
und
.
Daher ist
und
,
da im Fall
sein muss. Und im Fall
, somit
, soll
sein.
Punktsymmetrie
|
Achsensymmetrie
|
|
|
Definition der Winkel- und Hyperbelfunktionen durch die e-FunktionBearbeiten

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

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|

|
Gegenseitige Darstellbarkeit von WinkelfunktionenBearbeiten
|
sin
|
cos
|
tan
|
cot
|
sec
|
csc
|
sin2(x)
|
|
|
|
|
|
|
cos2(x)
|
|
|
|
|
|
|
tan2(x)
|
|
|
|
|
|
|
cot2(x)
|
|
|
|
|
|
|
sec2(x)
|
|
|
|
|
|
|
csc2(x)
|
|
|
|
|
|
|
Die Gleichungen gelten für alle
mit Ausnahme der Polstellen. Stetig hebbare Definitionslücken können entsprechend ergänzt werden.
Man beachte, dass die Gleichungen nach dem Wurzelziehen nur betragsmäßig gültig sind, da beim Quadrieren die Vorzeichen verloren gehen.
Winkelfunktionen mit verschobenem ArgumentBearbeiten
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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DoppelwinkelfunktionenBearbeiten
Winkelfunktionen für weitere VielfacheBearbeiten
Rekursionsformeln mit
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