Formelsammlung Mathematik/ Druckversion

Alphabete, Symbole und Schreibweisen

↑ Formelsammlung Mathematik

Griechisches Alphabet

Name	Majuskel	Minuskel
Alpha	Α	α
Beta	Β	β
Gamma	Γ	γ
Delta	Δ	δ
Epsilon	Ε	ε
Zeta	Ζ	ζ
Eta	Η	η
Theta	Θ	θ
Iota	Ι	ι
Kappa	Κ	κ
Lambda	Λ	λ
My	Μ	μ
Ny	Ν	ν
Xi	Ξ	ξ
Omikron	Ο	ο
Pi	Π	π
Rho	Ρ	ρ
Sigma	Σ	σ
Tau	Τ	τ
Ypsilon	Υ	υ
Phi	Φ	φ
Chi	Χ	χ
Psi	Ψ	ψ
Omega	Ω	ω

Frakturschrift

Majuskel	Minuskel	Majuskel	Minuskel
A ${\mathfrak {A}}$	a ${\mathfrak {a}}$	N ${\mathfrak {N}}$	n ${\mathfrak {n}}$
B ${\mathfrak {B}}$	b ${\mathfrak {b}}$	O ${\mathfrak {O}}$	o ${\mathfrak {o}}$
C ${\mathfrak {C}}$	c ${\mathfrak {c}}$	P ${\mathfrak {P}}$	p ${\mathfrak {p}}$
D ${\mathfrak {D}}$	d ${\mathfrak {d}}$	Q ${\mathfrak {Q}}$	q ${\mathfrak {q}}$
E ${\mathfrak {E}}$	e ${\mathfrak {e}}$	R ${\mathfrak {R}}$	r ${\mathfrak {r}}$
F ${\mathfrak {F}}$	f ${\mathfrak {f}}$	S ${\mathfrak {S}}$	s ${\mathfrak {s}}$
G ${\mathfrak {G}}$	g ${\mathfrak {g}}$	T ${\mathfrak {T}}$	t ${\mathfrak {t}}$
H ${\mathfrak {H}}$	h ${\mathfrak {h}}$	U ${\mathfrak {U}}$	u ${\mathfrak {u}}$
I ${\mathfrak {I}}$	i ${\mathfrak {i}}$	V ${\mathfrak {V}}$	v ${\mathfrak {v}}$
J ${\mathfrak {J}}$	j ${\mathfrak {j}}$	W ${\mathfrak {W}}$	w ${\mathfrak {w}}$
K ${\mathfrak {K}}$	k ${\mathfrak {k}}$	X ${\mathfrak {X}}$	x ${\mathfrak {x}}$
L ${\mathfrak {L}}$	l ${\mathfrak {l}}$	Y ${\mathfrak {Y}}$	y ${\mathfrak {y}}$
M ${\mathfrak {M}}$	m ${\mathfrak {m}}$	Z ${\mathfrak {Z}}$	z ${\mathfrak {z}}$

Logik

Symbol	Bedeutung	Verwendung	Bedeutung
$\neg$	Negation	$\neg a$	nicht a
$\land$	Konjunktion	$a\land b$	a und b
$\lor$	Disjunktion	$a\lor b$	a oder b
$\Rightarrow$	Implikation	$a\Rightarrow b$	a impliziert b
$\Leftrightarrow$	Äquivalenz	$a\Leftrightarrow b$	a genau dann, wenn b
$\oplus$	Kontravalenz	$a\oplus b$	entweder a oder b
$\forall$	Allquantor	$\forall x(P(x))$	für alle x gilt: P(x)
$\exists$	Existenzquantor	$\exists x(P(x))$	es gibt ein x, für das gilt: P(x)
$\vdash$	syntaktische Implikation	$M\vdash B$	aus der Formelmenge M lässt sich B formal herleiten
$\models$	semantische Implikation	$M\models B$	bei jeder Interpretation, bei der alle Aussagen in M wahr sind, ist auch B wahr
	Tautologie	$\models B$	B ist unter jeder Interpretation wahr

Mengenlehre

Zahlenbereiche
Symbol	Bedeutung	Beschreibung
$\mathbb {N} ^{*}$	Menge der natürlichen Zahlen ohne Null	$\mathbb {N} ^{*}=\{1,2,3,4,\ldots \}$
$\mathbb {N} _{0}$	Menge der natürlichen Zahlen mit Null	$\mathbb {N} _{0}=\{0,1,2,3,\ldots \}$
$\mathbb {Z}$	Menge der ganzen Zahlen	$\mathbb {Z} =\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}$
$\mathbb {Q}$	Menge der rationalen Zahlen
$\mathbb {I}$	Menge der irrationalen Zahlen	$\mathbb {I} =\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$
$\mathbb {R}$	Menge der reellen Zahlen
$\mathbb {C}$	Menge der komplexen Zahlen
$\mathbb {A}$	Menge der algebraischen Zahlen
$\mathbb {T}$	Menge der transzendenten Zahlen	$\mathbb {T} =\mathbb {C} \setminus \mathbb {A}$
$\mathbb {H}$	Menge der Quaternionen

Schreibweise	Bedeutung
$\{\}$	leere Menge
$\{a,b,c,d\}$	die Menge aus den Elementen a, b, c, d
$\{x\in M\mid P(x)\}$	die Menge der $x\in M$, für die $P(x)$ gilt
$\{x\in \mathbb {R} \mid x>0\}$	Menge der positiven reellen Zahlen
$\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq 0\}$	Menge der nichtnegativen reellen Zahlen
$2^{A},\;{\mathcal {P}}(A)$	Potenzmenge von A
$B^{A},\mathrm {Abb} (A,B)$	Menge der Abbildungen von A nach B
$A^{n}$	n-faches kartesisches Produkt von A mit sich selbst
${\overline {A}},\;A^{\mathrm {C} }$	Komplementärmenge von A

Symbol	Bedeutung	Verwendung	Bedeutung
$\in$	Element von	$x\in M$	x ist ein Element von M
$\subseteq$	Teilmenge von	$A\subseteq B$	A ist eine Teilmenge von B
$\subset ,\subsetneq$	echte Teilmenge von	$A\subset B$	A ist eine echte Teilmenge von B
$\cup$	Vereinigungsmenge	$A\cup B$	Vereinigung von A und B
$\cap$	Schnittmenge	$A\cap B$	Schnitt von A und B
$\setminus$	Differenzmenge	$A\setminus B$	A ohne B
$\triangle$	symmetrische Differenz	$A\triangle B$	symmetrische Differenz von A und B
$\bigcup$	Vereinigungsmenge	$\bigcup _{i\in I}A_{i}$	Vereinigung aller $A_{i}$ für $i\in I$
$\bigcap$	Schnittmenge	$\bigcap _{i\in I}A_{i}$	Schnitt aller $A_{i}$ für $i\in I$
$\bigsqcup$	disjunkte Vereinigung	$\bigsqcup _{i\in I}A_{i}$	Vereinigung aller $(i,A_{i})$ für $i\in I$
$\times$	kartesisches Produkt	$A\times B$	kartesisches Produkt von A und B
$\prod$	kartesisches Produkt	$\prod _{i\in I}A_{i}$	kartesisches Produkt der $A_{i}$ für $i\in I$

Analysis

Schreibweise	Bedeutung
$[a,b]$	geschlossenes Intervall $\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}$
$(a,b)$	offenes Intervall $\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\}$
$[a,b)$	halboffenes Intervall $\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\}$
$(a,b]$	halboffenes Intervall $\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\}$
$\mathbb {R} ^{+}$	positive reelle Zahlen: $\{x\in \mathbb {R} \mid x>0\}$
$\mathbb {R} _{0}^{+}$	nichtnegative reelle Zahlen: $\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq 0\}$
$\mathbb {R} ^{-}$	negative reelle Zahlen: $\{x\in \mathbb {R} \mid x<0\}$
$\mathbb {R} _{0}^{-}$	nichtpositive reelle Zahlen: $\{x\in \mathbb {R} \mid 0\leq x\}$
$\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R}$	die Koordinatenebene
$\mathbb {R} \times \{0\}$	die x-Achse
$\{0\}\times \mathbb {R}$	die y-Achse
$\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+}$	die obere Halbebene
$\mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R}$	die rechte Halbebene
$\mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} ^{+}$	der Quadrant (+,+)
$f|_{A}$	Einschränkung von $f$ auf A
$\sup M$	Supremum der Menge M
$\inf M$	Infimum der Menge M
$\sum _{k=m}^{n}a_{k}$	die Summe $a_{m}+a_{m+1}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}$
$\prod _{k=m}^{n}a_{k}$	das Produkt $a_{m}\cdot a_{m+1}\cdot \ldots \cdot a_{n-1}\cdot a_{n}$
$\lim _{n\to \infty }a_{n}$	Grenzwert der Folge $(a_{n})$
$\lim _{x\to a}f(x)$	Grenzwert der Funktion $f$ für x gegen a
${\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}{\bigg |}_{x=a}$	Ableitung von $f$ an der Stelle a
$f'(a)$
$(Df)(a)$
${\frac {\mathrm {d} ^{2}f(x)}{\mathrm {d} x^{2}}},f'',D^{2}f$	zweite Ableitung von $f$
${\frac {\mathrm {d} ^{n}f(x)}{\mathrm {d} x^{n}}},f^{(n)},D^{n}f$	n-te Ableitung von $f$
$\int f(x)\,\mathrm {d} x$	unbestimmtes Integral von $f$
$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$	bestimmtes Integral von $f$ über das Intervall $[a,b]$
$\mathrm {CH} \int _{a}^{b},\;-\!\!\!\!\!\!\int _{a}^{b}$	cauchyscher Hauptwert, engl. PV, CPV (principial value), franz. v.p.
$[F(x)]_{x=a}^{x=b}$	Kurzschreibweise für $F(b)-F(a)$

Mehrdimensionale Analysis

Schreibweise	Bedeutung
${\frac {\partial f(x)}{\partial x_{k}}}{\bigg |}_{x=a}$	partielle Ableitung von $f$ an der Stelle a
$(D_{k}f)(a)$
$(\partial _{k}f)(a)$
$(\nabla f)(a)$	Gradient von $f$ an der Stelle a
$\langle \nabla ,\mathbf {F} \rangle (a)$	Divergenz von F an der Stelle a
$(\nabla \times \mathbf {F} )(a)$	Rotation von F an der Stelle a
$(D_{v}f)(a)$	Richtungsableitung (in Richtung v) von $f$ an der Stelle a
$[(\mathrm {d} f)(a)](v)$	totales Differential von $f$ an der Stelle a, dual gepaart mit dem Vektor v
$(Df)(a)$	Jacobi-Matrix von $f$ an der Stelle a; $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$, $a=(a_{1},\ldots ,a_{n})$
$J[f](a)$
${\frac {\partial f(x)}{\partial x}}{\bigg |}_{x=a}$
$\int _{\gamma }f(\mathbf {x} )\,\mathrm {d} s$	Kurvenintegral erster Art
$\int _{\gamma }\langle \mathbf {F} (\mathbf {x} ),\mathrm {d} \mathbf {x} \rangle$	Kurvenintegral zweiter Art
$\int _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z$	komplexes Kurvenintegral
$\int _{C}$	Kurvenintegral über einen doppelpunktfreien Weg $C=\mathrm {Bild} (\gamma )$
$\oint _{C}$	Kurvenintegral über einen geschlossenen doppelpunktfreien Weg

Römische Zahlen

↑ Formelsammlung Mathematik

Römische Ziffern
Ziffer	I	V	X	L	C	D	M
Wert	1	5	10	50	100	500	1000

Es gab keine Null.

Regeln:

• Die Zeichen werden hintereinander geschrieben (wobei im Allgemeinen links mit dem Symbol der größten Zahl begonnen wird).
• Ihre Werte werden addiert.
• Die Grundzeichen (I, X, C, M) werden höchstens dreimal, die Hilfszeichen (V,L,D) nur einmal hintereinander geschrieben.
• Steht das Symbol einer kleineren Zahl vor dem einer größeren, so wird der kleinere Wert vom größeren subtrahiert.
  • Es darf höchstens ein Symbol der nächstkleineren Zahl vorangestellt werden.

Römische Zahlen
Zahl	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X
Wert	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Zahl	X	XX	XXX	XL	L	LX	LXX	LXXX	XC	C
Wert	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
Zahl	C	CC	CCC	CD	D	DC	DCC	DCCC	CM	M
Wert	100	200	300	400	500	600	700	800	900	1000

Beispiele:

• XVII = 10 + 5 + 1 + 1 = 17
• MMIII = 1000 + 1000 + 1 + 1 + 1 = 2003
• IX = 10 − 1 = 9

Die höchste Zahl, die damit dargestellt werden kann, ist somit 3999 (MMMCMXCIX).

Software
Microsoft Excel	=RÖMISCH(arabische Zahl)
LibreOffice Calc	=RÖMISCH(arabische Zahl)

Zahlenbereiche und Rechenoperationen

↑ Formelsammlung Mathematik

Zahlenbereiche

Übersicht

Es ist $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {O} \subset \mathbb {S} .$ Dabei sind $\mathbb {N}$ die natürlichen, $\mathbb {Z}$ die ganzen, $\mathbb {Q}$ die rationalen, $\mathbb {R}$ die reellen, und $\mathbb {C}$ die komplexen Zahlen. $\mathbb {H}$ sind die Quaternionen $\mathbb {O}$ die Oktonionen und $\mathbb {S}$ die Sedenionen.

$\mathbb {C}$ enthält die (rein) imaginären Zahlen als echte Teilmenge. $\mathbb {N}$ beginnt je nach Festlegung bei 0 oder 1. Zur Verdeutlichung kann man $\mathbb {N} _{0}$ bzw. $\mathbb {N} _{1}$ schreiben.

Rationale Zahlen

Jede rationale Zahl $r$ lässt sich als gemeiner Bruch (Quotient zweier ganzer Zahlen) schreiben: $r={\frac {a}{b}}.$ $a$ heißt Zähler, $b$ Nenner.

$r$ heißt	echt (eigentlich)	für $0<|a|<|b|,\ 0<|r|<1$
	unecht (uneigentlich)	für $0<|b|<|a|,\ 1<|r|$
	reduziert	für $\operatorname {ggT} (a,b)=1$
	Stammbruch	für $|a|=1$
	Zweigbruch	für $|a|\neq 1$

Rechenoperationen erster bis dritter Stufe

Übersicht

Rechenart		Gerade oder direkte		Umgekehrte oder indirekte
Grundrechenarten	1.Stufe	Addition (addieren; zusammenzählen)		Subtraktion (subtrahieren; abziehen)
		$7+9=16\$	$a+b=c\$	$16-9=7\$ $16-7=9\$	$c-b=a\$ $c-a=b\$
		Summand plus Summand gleich Summe		Minuend minus Subtrahend gleich Differenz
	2.Stufe	Multiplikation (multiplizieren; malnehmen)		Division (dividieren; teilen)
		$3+3+3+3=3\cdot 4=12$	$\underbrace {a+a+a+...}$ b gleiche Summanden $=a\cdot b=c\$	$12:4=3\$	$c:b=a\$
		1.Faktor mal 2.Faktor gleich Produkt		Dividend durch Divisor gleich Quotient
.	3.Stufe	Potenzieren		Radizieren (Wurzelziehen)
		$3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=3^{4}=81$	$\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot ...}$ b gleiche Faktoren $=a^{b}=c\$	${\sqrt[{4}]{81}}=3$	${\sqrt[{b}]{c}}=a$
		Basis a hoch Exponent b gleich Potenzwert c		b-te Wurzel aus dem Radikanden c gleich Wurzelwert a (b: Wurzelexponent)
				Logarithmieren
				$\log _{3}81=4\$	$\log _{a}c=b\$
				Logarithmus vom Logarithmanden c zur Basis a gleich Logarithmuswert b

---

Die vier Grundrechenarten mit natürlichen Zahlen

Addition

Addieren oder Zusammenzählen

Summand* + Summand* = Summe
     3  +  4      =   7

*Früher wurde für den ersten Summanden auch der Begriff Augend und für die anderen Summanden auch der Begriff Addend verwendet.

Satz: Die Summanden dürfen beliebig vertauscht werden -> Kommutativgesetz

---

Subtraktion

Subtrahieren oder Abziehen

Minuend - Subtrahend = Differenz
    8   -    2       =   6

---

Multiplikation

Faktor* x Faktor* = Produkt
  8    x   8    =  64

* Früher wurde für den ersten Faktor auch der Begriff Multiplikator und für die anderen Faktoren auch der Begriff Multiplikand verwendet.

Satz: Die Faktoren dürfen beliebig vertauscht werden -> Kommutativgesetz

Division

Dividieren, Teilen oder Bruchrechnen

${\frac {\mbox{Zähler}}{\mbox{Nenner}}}$ oder ${\frac {\mbox{Dividend}}{\mbox{Divisor}}}={\mbox{Quotient}}$

Beispiel: ${\frac {8}{2}}=4$

Dezimalbruch

$0{,}25\$

Gemischter Bruch

$2{\frac {5}{8}}=2+{\frac {5}{8}}$
ganze Zahl und ein Bruch

Gleichnamige Brüche

${\frac {5}{8}},{\frac {3}{8}},{\frac {1}{8}}$
alle Nenner sind gleichnamig

Ungleichnamige Brüche

${\frac {5}{8}},{\frac {3}{2}},{\frac {1}{9}}$
alle Nenner sind ungleichnamig

Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Brüche

${\frac {5}{8}}+{\frac {3}{8}}-{\frac {1}{8}}={\frac {5+3-1}{8}}={\frac {7}{8}}$
Die Zähler werden addiert oder subtrahiert und == der Nenner wird beibehalten. ==

Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger Brüche

${\frac {1}{4}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}={\frac {3}{12}}+{\frac {6}{12}}-{\frac {4}{12}}={\frac {5}{12}}$
Die Nenner werden auf ein gemeinsames Vielfaches gebracht und somit zu gleichnamigen Brüchen

Multiplizieren von Brüchen

${\frac {5}{8}}\cdot {\frac {3}{2}}={\frac {5\cdot 3}{8\cdot 2}}={\frac {15}{16}}$
Zähler werden mit Zähler multipliziert, Nenner mit Nenner.

Dividieren von Brüchen

${\frac {5}{8}}:{\frac {2}{3}}={\frac {5\cdot 3}{8\cdot 2}}={\frac {15}{16}}$
Dividend multipliziert mit Kehrwert des Divisors

Vorrangregeln

Folgende Vorrangregeln sind in der Mathematik üblich. Die Assoziativität ist nur bei Verletzung des Assoziativgesetzes von Bedeutung. Im Zweifelsfall können Klammern gesetzt werden.

Operationen	Bedeutung	Assoziativität
$a_{i}$	Indizierung	rechts
$f(x)$	Funktionsapplikation	links
$a^{b}$	Potenzierung	rechts
$-a$	Negation	rechts
$ab,\,a/b,$ $M\cap N$	Multiplikation, Division, Schnitt	links
$a+b,\,a-b,$ $M\cup N$	Addition, Subtraktion, Vereinigung	links
$a=b,\,a\neq b,$ $a<b,\,a\leq b,$ $M\subseteq N,$ $a\in M$	Gleichheitsrelationen, Ordnungsrelationen, Teilmengenrelation, Elementrelation,	keine
$\neg A$	logische Negation	rechts
$A\land B$	Konjunktion	links
$A\lor B,\,A\oplus B$	Disjunktion, Kontravalenz	links
$A\Rightarrow B,\,A\rightarrow B$	Implikation	keine
$A\Leftrightarrow B,\,A\equiv B$	Äquivalenz	keine
$A\vdash B,\,A\models B$	syntaktische und semantische Implikation	keine
$A\,\,{\text{impliziert}}\,\,B$	metasprachliche Implikation	keine
$A\,\,{\text{gdw.}}\,\,B$	metasprachliche Äquivalenz	keine

Wichtige Zahlen

↑ Formelsammlung Mathematik

Die Null (0)

Neutrales Element bezüglich der Addition: a + 0 = a.

Neutrales Element bezüglich der Subtraktion: a − 0 = a.

Die Eins (1)

Neutrales Element bezüglich der Multiplikation: a · 1 = a.

Neutrales Element bezüglich der Division: a : 1 = a.

Kreiszahl π

Verhältnis von Umfang eines Kreises zum Durchmesser des Kreises,

$\pi =$ 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 …

Reihenentwicklung nach Leibniz:

${\frac {\pi }{4}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2\,k+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+\cdots$

Eulersche Zahl e

Basis des natürlichen Logarithmus,

e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 …

$\mathrm {e} =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}+\cdots$

Euler-Mascheroni-Konstante γ

$\gamma =$ 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 …

$\Gamma ^{\prime }(1)=\psi (1)=-\gamma$

Imaginäre Einheit i

Die Zahl i ist das Grundelement der imaginären Zahlen,

$\mathrm {i} ^{2}=-1.$

Achtung: Die für $x,y\geq 0$ gültige Formel ${\sqrt {x}}\,{\sqrt {y}}={\sqrt {xy}}$ verliert ihre Gültigkeit wenn $x,y$ negativ sind.

So ist zum Beispiel $\mathrm {i} ^{2}={\sqrt {-1}}\,{\sqrt {-1}}\neq {\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {1}}=1$.

Wurzel aus 2

${\sqrt {2}}=$ 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 …

Wurzel aus 3

${\sqrt {3}}=$ 1,73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 55806 …

Wurzel aus 5

${\sqrt {5}}=$ 2,23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 70897 …

Der goldene Schnitt

$\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=$ 1,61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576 28621 35448 …

Feigenbaum-Konstante δ

$\delta =$ 4,66920 16091 02990 67185 32038 20466 20161 72581 85577 47576 …

Feigenbaum-Konstante α

$\alpha =$ 2,50290 78750 95892 82228 39028 73218 21578 63812 71376 72714 …

Algebra

↑ Formelsammlung Mathematik

Rechenregeln

Binomische Formeln

Sei $R$ ein Ring, z. B. $R=\mathbb {R}$ oder $R=\mathbb {C}$. Sei $a,b\in R$ und $ab=ba$. Dann gilt:

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,$	(erste binomische Formel)
$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,$	(zweite binomische Formel)
$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\,$	(dritte binomische Formel)

und:

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,$	$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,$
$(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,$	$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,$

Binomischer Lehrsatz

Sei $R$ ein unitärer Ring, z. B. $R=\mathbb {R}$ oder $R=\mathbb {C}$. Sei $a,b\in R$ und $ab=ba$. Dann gilt:

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}$	$(a-b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}$
$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$	$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$	$(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$
$(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}$	$(a-b)^{4}=a^{4}-4a^{3}b+6a^{2}b^{2}-4ab^{3}+b^{4}$
usw.	usw.

Pascalsches Dreieck

Das pascalsche Dreieck ist eine Wertetabelle für die Binomialkoeffizienten

${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}.$

	k=0	k=1	k=2	k=3	k=4	k=5	k=6	k=7	k=8
n=0	1
n=1	1	1
n=2	1	2	1
n=3	1	3	3	1
n=4	1	4	6	4	1
n=5	1	5	10	10	5	1
n=6	1	6	15	20	15	6	1
n=7	1	7	21	35	35	21	7	1
n=8	1	8	28	56	70	56	28	8	1

Das Dreieck lässt sich rekursiv durch die Vorschrift

${\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k+1}}={\binom {n+1}{k+1}}$

erzeugen.

Multinomialtheorem

Sei $R$ ein unitärer Ring. Sei $a_{1},\ldots ,a_{m}\in R$, wobei die $a_{i}$ paarweise kommutieren. Es gilt

$(a_{1}+\ldots +a_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{m}}}a_{1}^{k_{1}}\cdot \ldots \cdot a_{m}^{k_{m}}.$

In Multiindex-Notation:

$(a_{1}+\ldots +a_{m})^{n}=\sum _{|k|=n}{\binom {n}{k}}a^{k}$

mit

$k=(k_{1},\ldots ,k_{m}),$

$|k|=k_{1}+\ldots +k_{m},$

${\binom {n}{k}}={\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{m}}}:={\frac {n!}{k_{1}!+\ldots +k_{m}!}},$

$a^{k}=a_{1}^{k_{1}}\cdot \ldots \cdot a_{m}^{k_{m}}.$

Die ersten Formeln sind:

n=2	(a+b)2	= a2 + b2 + 2ab
	(a+b+c)2	= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
	(a+b+c+d)2	= a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
n=3	(a+b)3	= a3 + b3 + 3a2b + 3b2a
	(a+b+c)3	= a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3a2c + 3b2a + 3b2c + 3c2a + 3c2b + 6abc

Potenzen

$a^{0}=1$

$a^{1}=a$

$a^{2}=a\cdot a$

$a^{3}=a\cdot a\cdot a$

usw.

$a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n\,\mathbf {Faktoren} }$

Definition für $a\in \mathbb {R}$ und $n\in \mathbb {Z} ,n\geq 0$:

$a^{0}:=1,\quad 0^{0}:=1,$

$a^{n}:=a^{n-1}\cdot a.\quad (n\geq 1)$

Für $a\neq 0$:

$a^{-n}:={\frac {1}{a^{n}}}.$

Definition für $a\in \mathbb {R} ,a>0$ und $r\in \mathbb {R}$:

$a^{r}:=\exp(r\cdot \ln(a)).$

Für $r\neq 0$:

${\sqrt[{r}]{a}}:=\exp \left({\frac {\ln(a)}{r}}\right)=a^{1/r}.$

Potenzgesetze

Für $a,b\in \mathbb {R} ,a,b>0$ und $r,s\in \mathbb {R}$ gilt:

$a^{r}a^{s}=a^{r+s}$	${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s}$	$(a^{r})^{s}=a^{rs}$
$(a\,b)^{r}=a^{r}b^{r}$	${\Big (}{\frac {a}{b}}{\Big )}^{r}={\frac {a^{r}}{b^{r}}}$	${\Big (}{\frac {1}{a}}{\Big )}^{r}={\frac {1}{a^{r}}}$

Ist zusätzlich $r\neq 0$, so gilt:

$({\sqrt[{r}]{a}})^{s}={\sqrt[{r}]{a^{s}}}$	$({\sqrt[{r}]{a\,b}})^{s}={\sqrt[{r}]{a^{s}}}{\sqrt[{r}]{b^{s}}}$	$\left({\sqrt[{r}]{\frac {a}{b}}}\right)^{s}={\frac {\sqrt[{r}]{a^{s}}}{\sqrt[{r}]{b^{s}}}}$
${\sqrt[{r}]{a^{s}}}=a^{s/r}$	${\sqrt[{r}]{a^{r}}}=a$	${\sqrt[{-r}]{a}}={\frac {1}{\sqrt[{r}]{a}}}={\sqrt[{r}]{\frac {1}{a}}}$

Für $a,b\in \mathbb {R}$ und $m,n\in \mathbb {Z} ,m,n\geq 0$ gilt:

$(a\,b)^{n}=a^{n}b^{n}$	$(a^{m})^{n}=a^{mn}$
$b\neq 0\implies \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$

→ Potenzgesetze für komplexen Zahlen

Logarithmen

Graph des Logarithmus zur Basis 2, e und 1/2

Für $a,x,y\in \mathbb {R}$ mit $a,x>0$ und $a\neq 1$ gilt:

$x=a^{y}\iff y=\log _{a}(x).$

Logarithmengesetze

Für $x,y,a,r\in \mathbb {R}$ mit $x,y,a>0$ und $a\neq 1$ gilt:

$\log(x\,y)=\log(x)+\log(y)$	$\log(1)=0\,$	$\log _{a}(x)={\frac {\log(x)}{\log(a)}}$
$\log \left({\frac {x}{y}}\right)=\log(x)-\log(y)$	$\log \left({\frac {1}{x}}\right)=-\log(x)$
$\log(x^{r})=r\,\log(x)$	$r\neq 0\implies \log({\sqrt[{r}]{x}})={\frac {1}{r}}\,\log(x)$

Welcher Logarithmus verwendet wird, ist unerheblich. D. h. man setzt $\log :=\log _{a}$ für ein festes $a$ mit $a>0$ und $a\neq 1$. Meistens ist $\log :=\ln$ oder $\log :=\lg$.

Spezielle Logarithmen

	Bezeichnung	Definierende Eigenschaft	Basis
Natürliche Logarithmen	ln	$\mathrm {e} ^{\ln(x)}=x\,$	e=2,718 281 828 459 045... (eulersche Zahl)
Dekadische Logarithmen	lg	$10^{\lg(x)}=x\,$	10
Binäre Logarithmen	lb, ld	$2^{\mathrm {lb} (x)}=x\,$	2

→ Logarithmengesetze für komplexe Zahlen

Gleichungen

Definition

Sind $f,g$ zwei auf der Grundmenge $G$ definierte Funktionen, so nennt man

$f(x)=g(x)$

eine Bestimmungsgleichung, wenn die Lösungsmenge

$L=\{x\in G\mid f(x)=g(x)\}$

gesucht ist.

Bei $G$ kann es sich auch um eine Menge von Tupeln handeln:

$L=\{(x,y)\in G\mid f(x,y)=g(x,y)\},$

$L=\{(x,y,z)\in G\mid f(x,y,z)=g(x,y,z)\},$

usw.

Man schreibt auch $x=(x_{1},x_{2})$ oder $x=(x_{1},x_{2},x_{3})$ usw.

Äquivalenzumformungen

Äquivalenzumformungen lassen die Lösungsmenge einer Gleichung unverändert.

Seien $A(x),B(x)$ zwei Aussageformen.

Äquivalenz	Implikation
Gilt für alle $x\in G$: $A(x)\iff B(x),$ so gilt: $\{x\in G\mid A(x)\}=\{x\in G\mid B(x)\}.$	Gilt für alle $x\in G$: $A(x)\implies B(x),$ so gilt: $\{x\in G\mid A(x)\}\subseteq \{x\in G\mid B(x)\}.$

Seien $f,g,h$ Funktionen mit Definitionsbereich $G$ und Zielmenge $Z=\mathbb {R}$ oder $Z=\mathbb {C}$.

Für alle x gilt:

$f(x)=g(x)\iff f(x)+h(x)=g(x)+h(x),$

$f(x)=g(x)\iff f(x)-h(x)=g(x)-h(x).$

Besitzt $h(x)$ keine Nullstellen, so gilt für alle x:

$f(x)=g(x)\iff f(x)\cdot h(x)=g(x)\cdot h(x),$

$f(x)=g(x)\iff {\frac {f(x)}{h(x)}}={\frac {g(x)}{h(x)}}.$

Besitzt $h(x)$ Nullstellen, so gilt immerhin noch für alle x:

$f(x)=g(x)\implies f(x)\cdot h(x)=g(x)\cdot h(x).$

Ist $i$ eine auf dem Definitionsbereich $f(G)\cup \operatorname {g} (G)$ injektive Funktion, dann gilt für alle x:

$f(x)=g(x)\iff i(f(x))=i(g(x)).$

Jede streng monotone Funktion ist injektiv.

Arten von Gleichungen

Polynomgleichungen

• Quadratische Gleichungen

Komplexe Zahlen

↑ Formelsammlung Mathematik

Darstellung

Geometrische Darstellung einer komplexen Zahl.

Kartesische Form

$z=a+b\mathrm {i}$

Polarform (trigonometrische Darstellung)

$z=r(\cos \varphi +\mathrm {i} \sin \varphi )$

Polarform (Exponentialdarstellung)

$z=r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }$

Elementare Operationen

Name	Operation	Polarform	kartesische Form
Identität	$z$	$=r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }$	$=a+b\mathrm {i}$
Identität	$z_{1}$	$=r_{1}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi _{1}}$	$=a_{1}+b_{1}\mathrm {i}$
Identität	$z_{2}$	$=r_{2}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi _{2}}$	$=a_{2}+b_{2}\mathrm {i}$
Addition	$z_{1}+z_{2}$		$=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\mathrm {i}$
Subtraktion	$z_{1}-z_{2}$		$=(a_{1}-a_{2})+(b_{1}-b_{2})\mathrm {i}$
Multiplikation	$z_{1}z_{2}$	$=r_{1}r_{2}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\varphi _{1}+\varphi _{2})}$	$=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})\mathrm {i}$
Division	${\frac {z_{1}}{z_{2}}}$	$={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\varphi _{1}-\varphi _{2})}$	$={\frac {a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}+{\frac {a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}\mathrm {i}$
Kehrwert	${\frac {1}{z}}$	$={\frac {1}{r}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \varphi }$	$={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\mathrm {i}$
Potenzierung	$z^{n}$	$=r^{n}\mathrm {e} ^{n\mathrm {i} \varphi }$
Konjugation	${\overline {z}}$	$=r\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \varphi }$	$=a-b\mathrm {i}$
Realteil	$\mathrm {Re} (z)$	$=r\cos \varphi$	$=a$
Imaginärteil	$\mathrm {Im} (z)$	$=r\sin \varphi$	$=b$
Betrag	$|z|$	$=r$	$={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$
Argument	$\mathrm {arg} (z)$	$=\varphi$	$=s(b)\arccos {\Big (}{\frac {a}{r}}{\Big )}$

$s(b):={\begin{cases}+1&{\text{wenn}}\;b\geq 0,\\-1&{\text{wenn}}\;b<0\end{cases}}$

Rechenweg zur Division:

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {z_{1}{\overline {z_{2}}}}{z_{2}{\overline {z_{2}}}}}={\frac {z_{1}{\overline {z}}_{2}}{|z_{2}|^{2}}}$

${\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{z\,{\overline {z}}}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}$

Konjugation

Für alle $z,z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ gilt:

${\overline {z_{1}+z_{2}}}={\bar {z}}_{1}+{\bar {z}}_{2}$ ${\overline {z_{1}-z_{2}}}={\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2}$ ${\overline {z_{1}z_{2}}}={\bar {z}}_{1}\,{\bar {z}}_{2}$ $z_{2}\neq 0\implies {\overline {{\Big (}{\frac {z_{1}}{z_{2}}}{\Big )}}}={\frac {{\bar {z}}_{1}}{{\bar {z}}_{2}}}$ $|{\bar {z}}|=|z|$ ${\bar {\bar {z}}}=z$ $z{\bar {z}}=|z|^{2}$

$\operatorname {Re} (z)={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}$ $\operatorname {Im} (z)={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}$ ${\overline {\mathrm {e} ^{z}}}=\mathrm {e} ^{\bar {z}}$ ${\overline {\sin(z)}}=\sin({\bar {z}})$ ${\overline {\cos(z)}}=\cos({\bar {z}})$

Für alle $z\in \mathbb {C} \setminus \{x\in \mathbb {R} \mid x\leq 0\}$ und $x\in \mathbb {C}$ gilt:

${\overline {z^{x}}}={\bar {z}}^{\bar {x}}$

${\overline {\ln(z)}}=\ln({\bar {z}})$

$\arg({\bar {z}})=-\arg(z)$

Argument

Für alle $r>0$, $z,z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ und $x\in \mathbb {C}$ gilt:

$\arg(rz)=\arg(z)$

$\arg(z_{1}z_{2})\equiv \arg(z_{1})+\arg(z_{2}){\pmod {2\pi }}$

$\arg {\Big (}{\frac {z_{1}}{z_{2}}}{\Big )}\equiv \arg(z_{1})+\arg(z_{2}){\pmod {2\pi }}$

$\arg {\Big (}{\frac {1}{z}}{\Big )}\equiv -\arg(z){\pmod {2\pi }}$

$\arg({\bar {z}})\equiv -\arg(z){\pmod {2\pi }}$

$\arg(z^{x})\equiv \arg(z)\operatorname {Re} (x)+\ln(|z|)\operatorname {Im} (x){\pmod {2\pi }}$

Für alle $z\in \mathbb {C} \setminus \{x\in \mathbb {R} \mid x\leq 0\}$ gilt:

$\arg({\bar {z}})=-\arg(z)$

$\arg {\Big (}{\frac {1}{z}}{\Big )}=-\arg(z)$

Potenzen

Allgemeine Potenzfunktion $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {C} ,\;f(x,y):=x^{y}$.

Allgemeine Potenzfunktion $z=x^{y}$ für die Umgebung von (0; 0). An der Stelle (0; 0) ist die Funktion unstetig.

Definitionen:

$\mathrm {e} ^{z}:=\mathrm {e} ^{a}\cos(b)+\mathrm {i} \,\mathrm {e} ^{a}\sin(b)\qquad (z=a+b\mathrm {i} )$

$\ln(z):=\ln(|z|)+\operatorname {arg} (z)\,\mathrm {i} \qquad (z\neq 0)$

$z^{w}:=\mathrm {e} ^{w\ln(z)}\qquad (z\neq 0)$

Für alle $z,z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ gilt:

$\mathrm {e} ^{z_{1}+z_{2}}=\mathrm {e} ^{z_{1}}\mathrm {e} ^{z_{2}}$

$\mathrm {e} ^{-z}={\frac {1}{\mathrm {e^{z}} }}$

$\mathrm {e} ^{z}\neq 0$

$\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}=\cos(z)+\mathrm {i} \sin(z)$

$\forall k\in \mathbb {Z} \colon \;\mathrm {e} ^{2k\pi \mathrm {i} }=1$

$\forall k\in \mathbb {Z} \colon \;\mathrm {e} ^{(2k+1)\pi \mathrm {i} }+1=0$

Für alle $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ und $x,y\in \mathbb {C}$ gilt:

$z^{x+y}=z^{x}z^{y}$

$z^{x-y}={\frac {z^{x}}{z^{y}}}$

$z^{-x}={\frac {1}{z^{x}}}$

$z^{0}=1$

Für alle $r>0$, $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ und $x\in \mathbb {C}$ gilt:

$(rz)^{x}=r^{x}z^{x}$

${\Big (}{\frac {z}{r}}{\Big )}^{x}={\frac {z^{x}}{r^{x}}}$

${\Big (}{\frac {1}{r}}{\Big )}^{x}={\frac {1}{r^{x}}}=r^{-x}$

Für alle $r>0$, $z\in \mathbb {C} \setminus \{x\in \mathbb {R} \mid x\leq 0\}$ und $x\in \mathbb {C}$ gilt:

${\Big (}{\frac {r}{z}}{\Big )}^{x}={\frac {r^{x}}{z^{x}}}$

Wurzeln

Graph der Funktion f(z) = z⁵−1. Die Nullstellen von f heißen fünfte Einheitswurzeln. Die n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl bilden immer ein regelmäßiges n-Eck, dessen Zentrum im Koordinatenursprung liegt.

Sei $\varphi :=\arg(z)$. Für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt:

$z=w^{n}\iff w={\sqrt[{n}]{|z|}}\exp {\Big (}{\frac {\mathrm {i} \varphi +2k\pi \mathrm {i} }{n}}{\Big )},\;k\in \{0,1,\ldots ,n-1\}.$

Hauptwert:

${\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{|z|}}\exp {\Big (}{\frac {\mathrm {i} \varphi }{n}}{\Big )}.$

Hauptwert, allgemein für $z,x\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$:

${\sqrt[{x}]{z}}:=\exp {\bigg (}{\frac {\ln(z)}{x}}{\bigg )}.$

Logarithmen

Definitionen:

$\ln(z):=\ln(|z|)+\operatorname {arg} (z)\,\mathrm {i} \qquad (z\neq 0)$

$\log _{b}(a):={\frac {\ln(a)}{\ln(b)}}\qquad (a,b\in \mathbb {C} \setminus \{0\})$

Logarithmus als Urbild der Exponentialfunktion:

$\operatorname {Ln} (z):=\{w\mid \exp(z)=w\}$

$\operatorname {Ln} (z)=\{w\mid w=\ln(z)+2k\pi \mathrm {i} ,\;k\in \mathbb {Z} \}$

Für alle $r>0$ und $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ gilt:

$\ln(rz)=\ln(r)+\ln(z)$

Für alle $z\in \mathbb {C} \setminus \{x\in \mathbb {R} \mid x\leq 0\}$ gilt:

$\ln {\Big (}{\frac {1}{z}}{\Big )}=-\ln(z)$

Für alle $x,y\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ gilt:

$\ln(xy)\equiv \ln(x)+\ln(y)\quad {\pmod {2\pi \mathrm {i} }}$

Für alle $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ und $x\in \mathbb {C}$ gilt:

$\ln(z^{x})\equiv x\ln(z)\quad {\pmod {2\pi \mathrm {i} }}$

Aufgaben

Aufgabe 1

Ist $\alpha \,$ eine fest vorgegebene komplexe Zahl und ist $z\,$ eine komplexe Variable, so gilt $\left|z^{\alpha }\right|\in \Theta \left(|z|^{{\text{Re}}\,\alpha }\right)$ für $|z|\to \infty \,$. ($\Theta$: Landau-Symbol)

Beweisskizze

Die Idee, $z^{\alpha }$ in Betrag und Winkelanteil aufzuspalten (d. h. in Polarform zu bringen), führt zum Erfolg.

Sei $r:=|z|$ und $\varphi :=\operatorname {arg} (z)$.

Es ist $z^{\alpha }=(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi })^{\alpha }=r^{\alpha }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi \alpha }=\ldots =r^{\operatorname {Re} \alpha }\mathrm {e} ^{-\varphi \operatorname {Im} \alpha }r^{\mathrm {i} \operatorname {Im} \alpha }e^{\mathrm {i} \varphi \operatorname {Re} \alpha }$.

Somit gilt $|z^{\alpha }|=r^{\operatorname {Re} \alpha }\mathrm {e} ^{-\varphi \operatorname {Im} \alpha }$ und daher ${\frac {|z^{\alpha }|}{|z|^{\operatorname {Re} \alpha }}}=\mathrm {e} ^{-\varphi \operatorname {Im} \alpha }.$

Nun ist $\mathrm {e} ^{-\varphi \operatorname {Im} \alpha }$ aber beschränkt, weil $-\pi <\varphi \leq \pi$, und positiv, weil $\forall x{\in }\mathbb {R} \colon \,\mathrm {e} ^{x}>0$.

 

Aufgabe 2

Sind $z_{1},z_{2}\,$ komplexe Zahlen mit positivem Realteil und ist $\alpha \,$ irgendeine komplexe Zahl, so ist $(z_{1}\cdot z_{2})^{\alpha }=z_{1}^{\alpha }\cdot z_{2}^{\alpha }$ und $\left({\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right)^{\alpha }={\frac {z_{1}^{\alpha }}{z_{2}^{\alpha }}}$.

Beweis

$z_{1}=r_{1}e^{i\phi _{1}},z_{2}=r_{2}e^{i\phi _{2}}$ besitzen Darstellungen mit $-{\frac {\pi }{2}}<\phi _{1},\phi _{2}<{\frac {\pi }{2}}$.

Dann ist $-\pi <\phi _{1}\pm \phi _{2}<\pi \,$, und daher $\left(e^{i(\phi _{1}\pm \phi _{2})}\right)^{\alpha }=e^{i(\phi _{1}\pm \phi _{2})\alpha }$.

 

Aufgabe 3

Ist $z\,$ eine komplexe Zahl, so ist $0^{z}=\left\{{\begin{matrix}0&{\text{Re}}(z)>0\\1&z=0\\{\text{nicht definiert}}&{\text{sonst}}\end{matrix}}\right.$.

ohne Beweis (Definition)

 

Aufgabe 4

$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}\,$

Beweis (Formel von Fibonacci)

Aus $(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)\,$

folgt $|a+ib|^{2}\cdot |c+id|^{2}=|(ac-bd)+i(ad+bc)|^{2}$.

 

Aufgabe 5

${\sqrt {a+ib}}={\sqrt {\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}{2}}}+i\,\Theta (b)\,{\sqrt {\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}{2}}}$   , mit $\Theta (b)=\left\{{\begin{matrix}1&,&b\geq 0\\\\-1&,&b<0\end{matrix}}\right.$

Beweis

Für jede von Null verschiedene komplexe Zahl $a+ib\,$ gibt es stets zwei komplexe Zahlen die quadriert $a+ib\,$ ergeben.

Mit ${\sqrt {a+ib}}=x+iy$ soll der komplexe Hauptwert gemeint sein. Hier ist stets $x\geq 0$ und im Fall $x=0\,$ ist $y\geq 0$.

Wenn $(x+iy)^{2}=a+ib\,$ sein soll, muss gelten $x^{2}-y^{2}=a\,,\,2xy=b$ und $x^{2}+y^{2}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$.

Daher ist $x^{2}={\frac {(x^{2}+y^{2})+(x^{2}-y^{2})}{2}}={\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}{2}}\Rightarrow x={\sqrt {\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}{2}}}\geq 0$

und $y^{2}={\frac {(x^{2}+y^{2})-(x^{2}-y^{2})}{2}}={\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}{2}}\Rightarrow y=\Theta (b)\,{\sqrt {\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}{2}}}$,

da im Fall $x>0\quad {\text{sgn}}(y)={\text{sgn}}(2xy)={\text{sgn}}(b)$ sein muss. Und im Fall $x=0\,$, somit $b=0\,$, soll $y\geq 0$ sein.

 

Winkelfunktionen

↑ Formelsammlung Mathematik

Graphen

Symmetrien

Punktsymmetrie	Achsensymmetrie
${\begin{aligned}\sin(-x)&=-\sin(x),\\\tan(-x)&=-\tan(x),\\\cot(-x)&=-\cot(x),\\\csc(-x)&=-\csc(x)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cos(-x)&=\cos(x),\\\sec(-x)&=\sec(x)\end{aligned}}$

Definition der Winkel- und Hyperbelfunktionen durch die e-Funktion

$\sin(z)={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}{2\mathrm {i} }}$	$\sinh(z)={\frac {\mathrm {e} ^{z}-\mathrm {e} ^{-z}}{2}}$	$\sin(\mathrm {i} z)=\mathrm {i} \sinh(z)\,$	$\sinh(\mathrm {i} z)=\mathrm {i} \sin(z)\,$
$\cos(z)={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}{2}}$	$\cosh(z)={\frac {\mathrm {e} ^{z}+\mathrm {e} ^{-z}}{2}}$	$\cos(\mathrm {i} z)=\cosh(z)\,$	$\cosh(\mathrm {i} z)=\cos(z)\,$
$\tan(z)={\frac {1}{\mathrm {i} }}\,{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}}$	$\tanh(z)={\frac {\mathrm {e} ^{z}-\mathrm {e} ^{-z}}{\mathrm {e} ^{z}+\mathrm {e} ^{-z}}}$	$\tan(\mathrm {i} z)=\mathrm {i} \tanh(z)\,$	$\tanh(\mathrm {i} z)=\mathrm {i} \tan(z)\,$
$\cot(z)=\mathrm {i} \,{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}}$	$\coth(z)={\frac {\mathrm {e} ^{z}+\mathrm {e} ^{-z}}{\mathrm {e} ^{z}-\mathrm {e} ^{-z}}}$	$\cot(\mathrm {i} z)={\frac {1}{\mathrm {i} }}\coth(z)\,$	$\coth(\mathrm {i} z)={\frac {1}{\mathrm {i} }}\cot(z)\,$
$\sec(z)={\frac {2}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}}$	$\operatorname {sech} (z)={\frac {2}{\mathrm {e} ^{z}+\mathrm {e} ^{-z}}}$	$\sec(\mathrm {i} z)=\operatorname {sech} (z)$	$\operatorname {sech} (\mathrm {i} z)=\sec(z)$
$\csc(z)={\frac {2\mathrm {i} }{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}}$	$\operatorname {csch} (z)={\frac {2}{\mathrm {e} ^{z}-\mathrm {e} ^{-z}}}$	$\csc(\mathrm {i} z)={\frac {1}{\mathrm {i} }}\,\operatorname {csch} (z)$	$\operatorname {csch} (\mathrm {i} z)={\frac {1}{\mathrm {i} }}\,\csc(z)$

Gegenseitige Darstellbarkeit von Winkelfunktionen

	sin	cos	tan	cot	sec	csc
sin2(x)	$\sin ^{2}(x)$	$1-\cos ^{2}(x)$	${\frac {\tan ^{2}(x)}{1+\tan ^{2}(x)}}$	${\frac {1}{\cot ^{2}(x)+1}}$	${\frac {\sec ^{2}(x)-1}{\sec ^{2}(x)}}$	${\frac {1}{\csc ^{2}(x)}}$
cos2(x)	$1-\sin ^{2}(x)$	$\cos ^{2}(x)$	${\frac {1}{1+\tan ^{2}(x)}}$	${\frac {\cot ^{2}(x)}{\cot ^{2}(x)+1}}$	${\frac {1}{\sec ^{2}(x)}}$	${\frac {\csc ^{2}(x)-1}{\csc ^{2}(x)}}$
tan2(x)	${\frac {\sin ^{2}(x)}{1-\sin ^{2}(x)}}$	${\frac {1-\cos ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}$	$\tan ^{2}(x)$	${\frac {1}{\cot ^{2}(x)}}$	$\sec ^{2}(x)-1$	${\frac {1}{\csc ^{2}(x)-1}}$
cot2(x)	${\frac {1-\sin ^{2}(x)}{\sin ^{2}(x)}}$	${\frac {\cos ^{2}(x)}{1-\cos ^{2}(x)}}$	${\frac {1}{\tan ^{2}(x)}}$	$\cot ^{2}(x)$	${\frac {1}{\sec ^{2}(x)-1}}$	$\csc ^{2}(x)-1$
sec2(x)	${\frac {1}{1-\sin ^{2}(x)}}$	${\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}$	$1+\tan ^{2}(x)$	${\frac {\cot ^{2}(x)+1}{\cot ^{2}(x)}}$	$\sec ^{2}(x)$	${\frac {\csc ^{2}(x)}{\csc ^{2}(x)-1}}$
csc2(x)	${\frac {1}{\sin ^{2}(x)}}$	${\frac {1}{1-\cos ^{2}(x)}}$	${\frac {1+\tan ^{2}(x)}{\tan ^{2}(x)}}$	$\cot ^{2}(x)+1$	${\frac {\sec ^{2}(x)}{\sec ^{2}(x)-1}}$	$\csc ^{2}(x)$

Die Gleichungen gelten für alle $x\in \mathbb {R}$ mit Ausnahme der Polstellen. Stetig hebbare Definitionslücken können entsprechend ergänzt werden.

Man beachte, dass die Gleichungen nach dem Wurzelziehen nur betragsmäßig gültig sind, da beim Quadrieren die Vorzeichen verloren gehen.

Winkelfunktionen mit verschobenem Argument

	$\pm \varphi$	${\frac {\pi }{2}}\pm \varphi$	$\pi \pm \varphi$	${\frac {3\pi }{2}}\pm \varphi$
$\sin \,$	$\pm \sin$	$\cos \!$	$\mp \sin$	$-\cos \!$
$\cos \,$	$\cos \!$	$\mp \sin \!$	$-\cos \!$	$\pm \sin \!$
$\tan \,$	$\pm \tan \!$	$\mp \cot \!$	$\pm \tan \!$	$\mp \cot \!$
$\cot \,$	$\pm \cot \!$	$\mp \tan \!$	$\pm \cot \!$	$\mp \tan \!$
$\sec \,$	$\sec \!$	$\mp \csc \!$	$-\sec \!$	$\pm \csc \!$
$\csc \,$	$\pm \csc$	$\sec \!$	$\mp \csc$	$-\sec \!$

$1+\tan \left({\frac {\pi }{4}}-x\right)={\frac {2}{1+\tan x}}$

Additionstheoreme

$\sin(x\pm y)=\sin x\;\cos y\pm \sin y\;\cos x$

$\cos(x\pm y)=\cos x\;\cos y\mp \sin x\;\sin y$

$\tan(x\pm y)={\frac {\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\;\tan y}}$

$\cot \left(x\pm y\right)={\frac {\pm \cot x\cot y\mp 1}{\cot x\pm \cot y}}$

$\sin(x+y)\,\sin(x-y)=\cos ^{2}y-\cos ^{2}x$

$\cos(x+y)\,\cos(x-y)=\cos ^{2}y-\sin ^{2}x$

Doppelwinkelfunktionen

$\sin(2x)=2\,\sin x\,\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}}$

$\cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=1-2\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}}$

$\tan(2x)={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}={\frac {2}{\cot x-\tan x}}$

$\cot(2x)={\frac {\cot ^{2}x-1}{2\cot x}}={\frac {\cot x-\tan x}{2}}$

Winkelfunktionen für weitere Vielfache

$\sin(3x)=3\sin x-4\sin ^{3}x\!$

$\sin(4x)=8\sin x\;\cos ^{3}x-4\sin x\;\cos x$

$\sin(5x)=16\sin x\;\cos ^{4}x-12\sin x\;\cos ^{2}x+\sin x$

$\sin(nx)=n\;\sin x\;\cos ^{n-1}x-{n \choose 3}\sin ^{3}x\;\cos ^{n-3}x+{n \choose 5}\sin ^{5}x\;\cos ^{n-5}x\;-\;+\;\dots$

$\cos(3x)=4\cos ^{3}x-3\cos x\!$

$\cos(4x)=8\cos ^{4}x-8\cos ^{2}x+1\!$

$\cos(5x)=16\cos ^{5}x-20\cos ^{3}x+5\cos x\!$

$\cos(nx)=\cos ^{n}x-{n \choose 2}\sin ^{2}x\;\cos ^{n-2}x+{n \choose 4}\sin ^{4}x\;\cos ^{n-4}x\;-\;+\;\dots$

$\tan(nx)={\frac {\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,{n \choose 2k+1}\,\tan ^{2k+1}}{\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,{n \choose 2k}\,\tan ^{2k}}}$

$\cot(nx)=(-1)^{n-1}\,\left({\frac {\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,{n \choose 2k+1}\,\cot ^{2k+1}}{\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,{n \choose 2k}\,\cot ^{2k}}}\right)^{(-1)^{n-1}}$

Rekursionsformeln mit $n,x\in \mathbb {C}$:

${\begin{aligned}\cos(nx)&=2\cos(x)\cos((n-1)x)+\cos((n-2)x),\\\sin(nx)&=2\cos(x)\sin((n-1)x)+\sin((n-2)x).\end{aligned}}$

Halbwinkelformeln

$\sin {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos x}{2}}}$ für $x\in [0,2\pi ]$

$\cos {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos x}{2}}}$ für $x\in [-\pi ,\pi ]$

$\tan {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}}={\frac {1-\cos x}{\sin(x)}}={\frac {\sin x}{1+\cos x}}$