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Die Legendresche Verdopplungsformel ist der Spezialfall n = 2 {\displaystyle n=2\,} der Gaußschen Multiplikationsformel ∏ k = 0 n − 1 Γ ( z + k n ) = 2 π n − 1 n 1 2 − n z Γ ( n z ) {\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\Gamma \left(z+{\frac {k}{n}}\right)={\sqrt {2\pi }}^{\,n-1}\,n^{{\frac {1}{2}}-nz}\,\Gamma (nz)} .
Für Re ( z ) > 0 {\displaystyle {\text{Re}}(z)>0\,} ist B ( z , z ) = ∫ 0 1 x z − 1 ( 1 − x ) z − 1 d x {\displaystyle B(z,z)=\int _{0}^{1}x^{z-1}\,(1-x)^{z-1}\,dx} . Dies ist nach Substitution x ↦ 1 + x 2 {\displaystyle x\mapsto {\frac {1+x}{2}}} gleich ∫ − 1 1 ( 1 + x 2 ) z − 1 ( 1 − x 2 ) z − 1 d x 2 = 1 2 2 z − 2 ∫ 0 1 ( 1 − x 2 ) z − 1 d x {\displaystyle \int _{-1}^{1}\left({\frac {1+x}{2}}\right)^{z-1}\,\left({\frac {1-x}{2}}\right)^{z-1}\,{\frac {dx}{2}}={\frac {1}{2^{2z-2}}}\,\int _{0}^{1}(1-x^{2})^{z-1}\,dx} . Substituiert man nun x ↦ x 1 2 {\displaystyle x\mapsto x^{\frac {1}{2}}} , so ist B ( z , z ) = 1 2 2 z − 1 ∫ 0 1 ( 1 − x ) z − 1 x 1 2 − 1 d x = 1 2 2 z − 1 B ( z , 1 2 ) {\displaystyle B(z,z)={\frac {1}{2^{2z-1}}}\int _{0}^{1}(1-x)^{z-1}\,x^{{\frac {1}{2}}-1}\,dx={\frac {1}{2^{2z-1}}}\,B\left(z,{\frac {1}{2}}\right)} . Also ist Γ 2 ( z ) Γ ( 2 z ) = 1 2 2 z − 1 Γ ( z ) Γ ( 1 2 ) Γ ( z + 1 2 ) {\displaystyle {\frac {\Gamma ^{2}(z)}{\Gamma (2z)}}={\frac {1}{2^{2z-1}}}\,{\frac {\Gamma (z)\,\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}{\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)}}} und somit Γ ( z ) Γ ( z + 1 2 ) = π 2 2 z − 1 Γ ( 2 z ) {\displaystyle \Gamma (z)\,\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2z-1}}}\,\Gamma (2z)} . Die Gültigkeit der Identität für alle z ∈ C ∖ 1 2 Z ≤ 0 {\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus {\frac {1}{2}}\mathbb {Z} ^{\leq 0}} folgt aus der analytischen Fortsetzbarkeit.
ist 
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gleich 
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, so ist 
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und somit 
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folgt aus der analytischen Fortsetzbarkeit.
