Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,LambertW)

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0.1

$\int _{0}^{\infty }W\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)dx={\sqrt {2\pi }}$

Beweis

In der Formel $\int _{0}^{\infty }\left[W\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\right]^{\alpha }dx=\alpha \cdot 2^{\alpha -1/2}\cdot \Gamma \left(\alpha -{\frac {1}{2}}\right)$ setze $\alpha =1$,

dann ist $\int _{0}^{\infty }W\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\,dx={\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {2\pi }}$.

 

0.2

$\int _{0}^{\infty }{\frac {W(x)}{x\,{\sqrt {x}}}}\,dx=2\cdot {\sqrt {2\pi }}$

Beweis

$\int _{0}^{\infty }W\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)dx$ ist nach Substitution $x\mapsto x^{-1/2}$ gleich ${\frac {1}{2}}\,\int _{0}^{\infty }{\frac {W(x)}{x\,{\sqrt {x}}}}\,dx$.

 

1.1

$\int _{0}^{\infty }\left[W\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\right]^{\alpha }dx=\alpha \cdot 2^{\alpha -1/2}\cdot \Gamma \left(\alpha -{\frac {1}{2}}\right)\qquad {\text{Re}}(\alpha )>{\frac {1}{2}}$

Beweis

Die Funktion $f(x)=\left[W\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\right]^{\alpha }$ besitzt die Umkehrfunktion $g(x)=x^{-{\frac {1}{2\alpha }}}\cdot e^{-1/2\cdot x^{1/\alpha }}$.

Nun ist $\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }g(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }g(x^{\alpha })\,\alpha \,x^{\alpha -1}\,dx$

$=\alpha \int _{0}^{\infty }x^{-1/2+\alpha -1}\,e^{-1/2\cdot x}\,dx=\alpha \cdot 2^{\alpha -1/2}\cdot \Gamma \left(\alpha -{\frac {1}{2}}\right)$.