Zurück zu Bestimmte Integrale
Für x > 0 {\displaystyle x>0\,} ist 1 sinh x = 2 e x − e − x = 2 e − x 1 1 − e − 2 x = 2 e − x ∑ k = 0 ∞ e − 2 k x = 2 ∑ k = 0 ∞ e − ( 2 k + 1 ) x {\displaystyle {\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}=2e^{-x}{\frac {1}{1-e^{-2x}}}=2e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }e^{-2kx}=2\sum _{k=0}^{\infty }e^{-(2k+1)x}} . Also ist x α − 1 sinh x = 2 ∑ k = 0 ∞ x α − 1 e − ( 2 k + 1 ) x {\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}}{\sinh x}}=2\sum _{k=0}^{\infty }x^{\alpha -1}\,e^{-(2k+1)x}} und somit ist ∫ 0 ∞ x α − 1 sinh x d x = 2 ∑ k = 0 ∞ ∫ 0 ∞ x α − 1 e − ( 2 k + 1 ) x d x = 2 ∑ k = 0 ∞ Γ ( α ) ( 2 k + 1 ) α = 2 Γ ( α ) λ ( α ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\alpha -1}}{\sinh x}}\,dx=2\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}\,e^{-(2k+1)x}\,dx=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (\alpha )}{(2k+1)^{\alpha }}}=2\,\Gamma (\alpha )\,\lambda (\alpha )} .
Für x > 0 {\displaystyle x>0\,} ist 1 sinh 2 x = 4 ( e x − e − x ) 2 = 4 e − 2 x ( 1 − e − 2 x ) 2 = 4 ∑ k = 1 ∞ k e − 2 k x {\displaystyle {\frac {1}{\sinh ^{2}x}}={\frac {4}{(e^{x}-e^{-x})^{2}}}={\frac {4\,e^{-2x}}{(1-e^{-2x})^{2}}}=4\sum _{k=1}^{\infty }k\,e^{-2kx}} . Also ist ∫ 0 ∞ x α − 1 sinh 2 x d x = 4 ∑ k = 1 ∞ k ∫ 0 ∞ x α − 1 e − 2 k x d x = 4 ∑ k = 1 ∞ k Γ ( α ) ( 2 k ) α = Γ ( α ) ζ ( α − 1 ) 2 α − 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\alpha -1}}{\sinh ^{2}x}}\,dx=4\sum _{k=1}^{\infty }k\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}\,e^{-2kx}\,dx=4\sum _{k=1}^{\infty }k\,{\frac {\Gamma (\alpha )}{(2k)^{\alpha }}}={\frac {\Gamma (\alpha )\,\zeta (\alpha -1)}{2^{\alpha -2}}}} .
∫ − ∞ ∞ sinh α x sinh x d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sinh \alpha x}{\sinh x}}\,dx} = 2 ∫ 0 ∞ e α x − e − α x e x − e − x d x = ψ ( 1 + α 2 ) − ψ ( 1 − α 2 ) {\displaystyle =2\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{\alpha x}-e^{-\alpha x}}{e^{x}-e^{-x}}}\,dx=\psi \left({\frac {1+\alpha }{2}}\right)-\psi \left({\frac {1-\alpha }{2}}\right)} = π tan ( α π 2 ) {\displaystyle =\pi \,\tan \left({\frac {\alpha \pi }{2}}\right)}
y ( α ) := ∫ − ∞ ∞ sinh α x sinh π x 1 1 + x 2 d x {\displaystyle y(\alpha ):=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sinh \alpha x}{\sinh \pi x}}\,{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx} ⇒ y ″ ( α ) + y ( α ) = ∫ − ∞ ∞ sinh α x sinh π x d x = tan α 2 {\displaystyle \Rightarrow y''(\alpha )+y(\alpha )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sinh \alpha x}{\sinh \pi x}}\,dx=\tan {\frac {\alpha }{2}}} mit y ( 0 ) = 0 {\displaystyle y(0)=0\,} und y ′ ( 0 ) = ∫ − ∞ ∞ 1 sinh π x x 1 + x 2 d x = − 1 + 2 log 2 {\displaystyle y'(0)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sinh \pi x}}\,{\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx=-1+2\log 2} . Ansatz (Variation der Konstante): y ( x ) = c ( x ) sin x + d ( x ) cos x {\displaystyle y(x)=c(x)\sin x+d(x)\cos x\,} y ′ ( x ) = c ( x ) cos x − d ( x ) sin x + c ′ ( x ) sin x + d ′ ( x ) cos x ⏟ = 0 (Forderung) {\displaystyle y'(x)=c(x)\cos x-d(x)\sin x+\underbrace {c'(x)\sin x+d'(x)\cos x} _{=0\,{\text{(Forderung)}}}} y ″ ( x ) = − c ( x ) sin x − d ( x ) cos x + c ′ ( x ) cos x − d ′ ( x ) sin x {\displaystyle y''(x)=-c(x)\sin x-d(x)\cos x+c'(x)\cos x-d'(x)\sin x\,} Also ist y ″ ( x ) + y ( x ) = c ′ ( x ) cos x − d ′ ( x ) sin x = tan x 2 {\displaystyle y''(x)+y(x)=c'(x)\cos x-d'(x)\sin x=\tan {\frac {x}{2}}} und c ′ ( x ) sin x + d ′ ( x ) cos x = 0 {\displaystyle c'(x)\sin x+d'(x)\cos x=0\,} . ( cos x − sin x sin x cos x ) ( c ′ ( x ) d ′ ( x ) ) = ( tan x 2 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos x&-\sin x\\\sin x&\cos x\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c'(x)\\d'(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\tan {\frac {x}{2}}\\0\end{pmatrix}}} ⇒ ( c ′ ( x ) d ′ ( x ) ) = ( cos x sin x − sin x cos x ) ( tan x 2 0 ) = ( cos x tan x 2 − sin x tan x 2 ) {\displaystyle \Rightarrow {\begin{pmatrix}c'(x)\\d'(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\tan {\frac {x}{2}}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos x\,\,\tan {\frac {x}{2}}\\-\sin x\,\,\tan {\frac {x}{2}}\end{pmatrix}}} ⇒ ( c ( x ) d ( x ) ) = ( − cos x + 2 log ( 2 cos x 2 ) sin x − x ) {\displaystyle \Rightarrow {\begin{pmatrix}c(x)\\d(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\cos x+2\log \left(2\cos {\frac {x}{2}}\right)\\\sin x-x\end{pmatrix}}} , wegen ( c ( 0 ) d ( 0 ) ) = ( y ′ ( 0 ) y ( 0 ) ) = ( − 1 + 2 log 2 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}c(0)\\d(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y'(0)\\y(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1+2\log 2\\0\end{pmatrix}}} . Somit ist y ( x ) = [ − cos x + 2 log ( 2 cos x 2 ) ] sin x + ( sin x − x ) cos x = − x cos x + 2 sin x log ( 2 cos x 2 ) {\displaystyle y(x)=\left[-\cos x+2\log \left(2\cos {\frac {x}{2}}\right)\right]\sin x+(\sin x-x)\cos x=-x\cos x+2\sin x\,\log \left(2\cos {\frac {x}{2}}\right)} .
und 
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und 
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, wegen 
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![{\displaystyle y(x)=\left[-\cos x+2\log \left(2\cos {\frac {x}{2}}\right)\right]\sin x+(\sin x-x)\cos x=-x\cos x+2\sin x\,\log \left(2\cos {\frac {x}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17be02dcb83627cbafee2b4f8abe3031c18a48b6)
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