Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,cos)
Zurück zu Bestimmte Integrale
1.1
Bearbeiten
1.2
BearbeitenEs sei
der Halbkreis von nach
und
der geschlossene halbmondförmige Integrationsweg.
Für alle ist der Imaginärteil
und somit .
Nun gilt für .
Also ist und somit .
Aus folgt .
Und das ist .
Also ist .
1.3
Bearbeiten
1.4
BearbeitenAus der Fourierreihe ergibt sich
.
1.5
Bearbeiten1.6
Bearbeiten
ist nach der Formel , gleich
.
1.7
Bearbeiten1.8
BearbeitenFür ist
.
Nun ist .
Also ist und somit ist .
Durch den Grenzübergang erhält man .
Nach Substitution ist .
Nachdem ist, folgt daraus die Behauptung.
1.9
Bearbeiten
2.1
BearbeitenAus der Formel folgt
.
2.2
Bearbeiten
2.3
BearbeitenDie Funktion
erfüllt die Rekursion .
Begründung:
Also ist , wobei sein soll.
Das Polynom besitzt die Wurzeln .
Daher hat die Folge die Form .
Aus und folgt schließlich .
2.4
BearbeitenBetrachte die Poissonsche Integralformel
, wobei der Kern ist.
Setzt man und , so ist und .
Also ist . Der ungerade Anteil verschwindet dabei aus symmetriegründen.
2.5
BearbeitenAus der Fourierreihe ergibt sich
Also ist ,
wobei das Frullanische Integral nicht von abhängt.
Und die Reihe konvergiert gegen .
2.6
Bearbeiten
2.7
Bearbeiten
2.8
Bearbeiten
2.9
BearbeitenMultipliziert man die Formel
mit durch, so ist
,
wobei ist.
Setzt man so ist .
Mit einem lässt sich letzte Summe folgendermaßen aufspalten:
Die Folge fällt monoton und für alle gilt .
Also ist
Für geht gegen null und konvergiert gegen die Binomialreihenentwicklung von .
Also ist .
Unter Verwendung der Legendreschen Verdopplungsformel
ist das .
2.10
BearbeitenIn der Formel
für setze und substituiere :
Nun ist
aus symmetriegründen gleich .
Also ist .
Substituiert man ,
so ist .
Nach der Formel ist
.
Nach der Legendreschen Verdopplungsformel
ist dies .
Ersetzt man durch , so ist das
.
Also ist .
Es sei die obere komplexe Halbebene.
Die Funktion , mit , ist holomorph auf und stetig auf .
Also gilt , gleichbedeutend mit .
Das erste Integral ist nach Substitution gleich
.
.
Das zweite Integral ist reell, d.h. .
Und das dritte Integral ist
.
Aus der Betrachtung der Imaginärteile folgt .
Ersetzt man durch , also , so ist .
3.1
BearbeitenEs sei und sei der Halbmond in der oberen komplexen Halbebene.
.
Nach der Produktregel ist .
Setzt man , so ist ,
wobei ist.
Also ist .
Und somit ist .
3.2
Bearbeiten