Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,cos)

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ohne Beweis


 
1. Beweis
 

Es sei  

  der Halbkreis von   nach  

und  

der geschlossene halbmondförmige Integrationsweg.

Für alle   ist der Imaginärteil  

und somit  .

Nun gilt   für  .

Also ist   und somit  .

2. Beweis

Aus   folgt  .

Und das ist  .

Also ist  .

 
ohne Beweis


 
Beweis

Aus der Fourierreihe   ergibt sich

 

 

 .

 
Beweis

Die Funktion   ist auf dem Kreissektor   holomorph.  
Auf dem Kreisbogen   fällt   für   exponentiell gegen null ab.

Daher ist   und somit  .

Also ist  

 .

Nun ist  

und  .

Also sind   und   jeweils  .

 
Beweis

 

ist nach der Formel  , gleich

 .

 
 
Beweis

Für   ist  

 .

Nun ist  .

Also ist   und somit ist  .

Durch den Grenzübergang   erhält man  .

Nach Substitution   ist  .

Nachdem   ist, folgt daraus die Behauptung.

 
ohne Beweis


 
Beweis

Aus der Formel   folgt

 .

 
ohne Beweis


 
Beweis

Die Funktion  

erfüllt die Rekursion  .

Begründung:

 

 

 

 



Also ist  , wobei   sein soll.

Das Polynom   besitzt die Wurzeln  .

Daher hat die Folge   die Form  .

Aus   und   folgt schließlich  .

 
Beweis

Betrachte die Poissonsche Integralformel

 , wobei der Kern   ist.

Setzt man   und  , so ist   und  .

Also ist  . Der ungerade Anteil   verschwindet dabei aus symmetriegründen.

 
Beweis

Aus der Fourierreihe   ergibt sich

 

Also ist  ,

wobei das Frullanische Integral   nicht von   abhängt.

Und die Reihe   konvergiert gegen  .

 
ohne Beweis


 
ohne Beweis


 
ohne Beweis


 
Beweis

Multipliziert man die Formel

 

mit   durch, so ist

 ,

wobei   ist.

Setzt man   so ist  .

Mit einem   lässt sich letzte Summe folgendermaßen aufspalten:

 

Die Folge   fällt monoton und für alle   gilt  .

Also ist  

Für   geht   gegen null und   konvergiert gegen die Binomialreihenentwicklung von  .

Also ist  .

Unter Verwendung der Legendreschen Verdopplungsformel  

ist das  .

 
1. Beweis (Cauchy Cosinus-Integralformel)

In der Formel  

für   setze   und substituiere  :

 

Nun ist  

aus symmetriegründen gleich  .

Also ist  .

Substituiert man  ,

so ist  .

2. Beweis

Nach der Formel   ist

 

 .

Nach der Legendreschen Verdopplungsformel  

ist dies  .

Ersetzt man   durch  , so ist das

 

 .

Also ist  .

Beweis für  

Es sei   die obere komplexe Halbebene.

Die Funktion  , mit  , ist holomorph auf   und stetig auf  .

 

Also gilt  , gleichbedeutend mit  .

Das erste Integral   ist nach Substitution   gleich  

 .

 .

Das zweite Integral   ist reell, d.h.  .

Und das dritte Integral   ist  

 .

Aus der Betrachtung der Imaginärteile folgt  .

Ersetzt man   durch  , also  , so ist  .

 
Beweis

Es sei   und   sei der Halbmond in der oberen komplexen Halbebene.

 

 .

Nach der Produktregel ist  .

Setzt man  , so ist  ,

wobei   ist.

Also ist  .

Und somit ist  .

 
ohne Beweis