Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x)

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1.1Bearbeiten
 
Beweis (Formel nach Gauß)

 

 

1.2Bearbeiten
 
ohne Beweis


1.3Bearbeiten
 
Beweis

 

Nach der Substitution   bzw.   ist

 .

 

 

1.4Bearbeiten
 
Beweis

  ist nach Substitution   gleich  .

Dies ist nach Eulerscher Summenformel  , woraus   folgt.

2.1Bearbeiten
 
Beweis

Integriere   entlang dem Kreissektor, der durch den Ursprung,   und   als Eckpunkte beschränkt wird.

Das Integral über dem Kreisbogen geht gegen null für  . Also ist  .

Nachdem sich   auch als   schreiben lässt, ist  

 

 .

Der Imaginärteil hebt sich auf und übrig bleibt  .

2.2Bearbeiten
 
ohne Beweis (Definition der Betafunktion)


2.3Bearbeiten
 
Beweis

  ist nach der Substitution   gleich  .

Und auf Grund der Symmetrie   ist das das selbe wie  .

2.4Bearbeiten
 
1. Beweis

Es sei   definiert durch   für   und  .

Für   gilt die Partialbruchzerlegung  .

Also ist  

 .

Nun soll gezeigt werden, dass die 1.Summe für   gegen null konvergiert und die 2.Summe gleich   ist.

Für   gilt   und  .

Setzt man  , so ist  . Also ist die 2.Summe gleich  .

Und wegen   lässt sich die 1.Summe schreiben als

 .

Damit ist   gezeigt. Substituiert man   durch  , so ist  .

Für reelle   folgt die Behauptung, wenn man eine Folge rationaler Zahlen   konstruiert, die gegen   konvergiert.

2. Beweis

Spalte auf in  . Das erste Integral ist  .

Und das zweite Integral ist nach Substitution   gleich  , und somit gleich  .

Also ist  .


Anders formuliert kann das erste Integral   geschrieben werden als  

und das zweite Integral   geschrieben werden als  .

Also ist  , was gerade die Partialbruchentwicklung von   ist.

3. Beweis

Für   und ein   definiere  .

Integriere   entlang dem Kreissektor  , der durch den Ursprung,   und   als Eckpunkte beschränkt wird.

Das Integral über dem Kreisbogen geht gegen null für  .

Also ist  , wobei letztes Integral

  ist. Und somit ist  .

Nach dem Residuensatz ist  .

Daher muss gelten  .

Nach Substitution   ergibt sich die Behauptung zumindest für reelles  .

4. Beweis

 

Nach Substitution   ist

 

 .

2.5Bearbeiten
 
ohne Beweis


2.6Bearbeiten
 
Beweis

 

Und diese Reihe konvergiert gegen  .

2.7Bearbeiten
 
Beweis

Verwende die Formel  .

 

 

 

2.8Bearbeiten
 
ohne Beweis


2.9Bearbeiten
 
Beweis

 

 

 

Also ist

 

 

 

 .

2.10Bearbeiten
 
Beweis (Formel nach Ramanujan)

Es sei   und   der Halbmond in der oberen komplexen Halbebene.

 

 

 

 

 

Wenn man beide Seiten mit   durchmultipliziert

und mit   durchdividiert, so ist  

 .

Mit einem   lässt sich letzte Summe folgendermaßen aufspalten:

 

Für alle   gilt  .

Also ist  .

Für   geht   gegen null und die hypergeometrische Reihe   lässt sich

nach der Formel   für  ,

schreiben als   wenn   bzw.   ist. Also ist  .

Und das lässt sich unter Verwendung der Legendreschen Verdopplungsformel schreiben als  .

2.11Bearbeiten
 
Beweis

Aus der Partialbruchzerlegung  

folgt  .

Also verschwindet   für alle  .

Nun ist  

 

 .

2.12Bearbeiten
 
Beweis

Aus der Partialbruchzerlegung  

folgt  .

Also verschwindet   für alle  .

Nun ist  

 

 

 .

2.13Bearbeiten
 
Beweis

Aus der Partialbruchzerlegung  

folgt unmittelbar  .

2.14Bearbeiten
 
Beweis

Aus der Partialbruchzerlegung  

folgt unmittelbar  .

2.15Bearbeiten
 
Beweis

 

Nach Substitution   ist

 .

Nach Substitution   ist

 

 .

3.1Bearbeiten
 
Beweis

Setzt man  , so ist   auf   holomorph.

Wegen   ist   für  .

Als komplexe Zahl mit positivem Realteil besitzt   eine Darstellung   mit  .

Der Kehrwehrt   besitzt dann auch einen positiven Realteil.

Wegen   ist nun  

 . Also ist  .

Und das ist  . Ersetzt man   durch  , so ist  .

3.2Bearbeiten
 
ohne Beweis


3.3Bearbeiten
 
ohne Beweis


4.1Bearbeiten
 
Beweis

Setze  .

Wegen   ist   und   ist auf   holomorph.

 

Wegen   ist   für  .

Die Integrale über den Kreisbögen   verschwinden daher wenn ihr Radius gegen unendlich geht.

Vorübergehend mache man die zusätzliche Einschränkung  .

Dann ist  , und somit verschwindet das Integral über dem Halbkreis   mit Radius  , wenn   geht.

Damit ist  ,

wobei   ist.

Also ist  

 . Und das ist  

 .


Dass die Formel auch ohne die Einschränkung   gilt, sieht man, wenn man sie wiederholt partiell integriert:

 

 .

Und damit ist  

 .