Formelsammlung Mathematik: Komplexe Zahlen

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Darstellung

Geometrische Darstellung einer komplexen Zahl.

Kartesische Form

$z=a+b\mathrm {i}$

Polarform (trigonometrische Darstellung)

$z=r(\cos \varphi +\mathrm {i} \sin \varphi )$

Polarform (Exponentialdarstellung)

$z=r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }$

Elementare Operationen

Name	Operation	Polarform	kartesische Form
Identität	$z$	$=r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }$	$=a+b\mathrm {i}$
Identität	$z_{1}$	$=r_{1}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi _{1}}$	$=a_{1}+b_{1}\mathrm {i}$
Identität	$z_{2}$	$=r_{2}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi _{2}}$	$=a_{2}+b_{2}\mathrm {i}$
Addition	$z_{1}+z_{2}$		$=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\mathrm {i}$
Subtraktion	$z_{1}-z_{2}$		$=(a_{1}-a_{2})+(b_{1}-b_{2})\mathrm {i}$
Multiplikation	$z_{1}z_{2}$	$=r_{1}r_{2}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\varphi _{1}+\varphi _{2})}$	$=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})\mathrm {i}$
Division	${\frac {z_{1}}{z_{2}}}$	$={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\varphi _{1}-\varphi _{2})}$	$={\frac {a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}+{\frac {a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}\mathrm {i}$
Kehrwert	${\frac {1}{z}}$	$={\frac {1}{r}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \varphi }$	$={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\mathrm {i}$
Potenzierung	$z^{n}$	$=r^{n}\mathrm {e} ^{n\mathrm {i} \varphi }$
Konjugation	${\overline {z}}$	$=r\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \varphi }$	$=a-b\mathrm {i}$
Realteil	$\mathrm {Re} (z)$	$=r\cos \varphi$	$=a$
Imaginärteil	$\mathrm {Im} (z)$	$=r\sin \varphi$	$=b$
Betrag	$|z|$	$=r$	$={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$
Argument	$\mathrm {arg} (z)$	$=\varphi$	$=s(b)\arccos {\Big (}{\frac {a}{r}}{\Big )}$

$s(b):={\begin{cases}+1&{\text{wenn}}\;b\geq 0,\\-1&{\text{wenn}}\;b<0\end{cases}}$

Rechenweg zur Division:

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {z_{1}{\overline {z_{2}}}}{z_{2}{\overline {z_{2}}}}}={\frac {z_{1}{\overline {z}}_{2}}{|z_{2}|^{2}}}$

${\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{z\,{\overline {z}}}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}$

Konjugation

Für alle $z,z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ gilt:

${\overline {z_{1}+z_{2}}}={\bar {z}}_{1}+{\bar {z}}_{2}$ ${\overline {z_{1}-z_{2}}}={\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2}$ ${\overline {z_{1}z_{2}}}={\bar {z}}_{1}\,{\bar {z}}_{2}$ $z_{2}\neq 0\implies {\overline {{\Big (}{\frac {z_{1}}{z_{2}}}{\Big )}}}={\frac {{\bar {z}}_{1}}{{\bar {z}}_{2}}}$ $|{\bar {z}}|=|z|$ ${\bar {\bar {z}}}=z$ $z{\bar {z}}=|z|^{2}$

$\operatorname {Re} (z)={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}$ $\operatorname {Im} (z)={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}$ ${\overline {\mathrm {e} ^{z}}}=\mathrm {e} ^{\bar {z}}$ ${\overline {\sin(z)}}=\sin({\bar {z}})$ ${\overline {\cos(z)}}=\cos({\bar {z}})$

Für alle $z\in \mathbb {C} \setminus \{x\in \mathbb {R} \mid x\leq 0\}$ und $x\in \mathbb {C}$ gilt:

${\overline {z^{x}}}={\bar {z}}^{\bar {x}}$

${\overline {\ln(z)}}=\ln({\bar {z}})$

$\arg({\bar {z}})=-\arg(z)$

Argument

Für alle $r>0$, $z,z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ und $x\in \mathbb {C}$ gilt:

$\arg(rz)=\arg(z)$

$\arg(z_{1}z_{2})\equiv \arg(z_{1})+\arg(z_{2}){\pmod {2\pi }}$

$\arg {\Big (}{\frac {z_{1}}{z_{2}}}{\Big )}\equiv \arg(z_{1})-\arg(z_{2}){\pmod {2\pi }}$

$\arg {\Big (}{\frac {1}{z}}{\Big )}\equiv -\arg(z){\pmod {2\pi }}$

$\arg({\bar {z}})\equiv -\arg(z){\pmod {2\pi }}$

$\arg(z^{x})\equiv \arg(z)\operatorname {Re} (x)+\ln(|z|)\operatorname {Im} (x){\pmod {2\pi }}$

Für alle $z\in \mathbb {C} \setminus \{x\in \mathbb {R} \mid x\leq 0\}$ gilt:

$\arg({\bar {z}})=-\arg(z)$

$\arg {\Big (}{\frac {1}{z}}{\Big )}=-\arg(z)$

Potenzen

Allgemeine Potenzfunktion $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {C} ,\;f(x,y):=x^{y}$.

Allgemeine Potenzfunktion $z=x^{y}$ für die Umgebung von (0; 0). An der Stelle (0; 0) ist die Funktion unstetig.

Definitionen:

$\mathrm {e} ^{z}:=\mathrm {e} ^{a}\cos(b)+\mathrm {i} \,\mathrm {e} ^{a}\sin(b)\qquad (z=a+b\mathrm {i} )$

$\ln(z):=\ln(|z|)+\operatorname {arg} (z)\,\mathrm {i} \qquad (z\neq 0)$

$z^{w}:=\mathrm {e} ^{w\ln(z)}\qquad (z\neq 0)$

Für alle $z,z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ gilt:

$\mathrm {e} ^{z_{1}+z_{2}}=\mathrm {e} ^{z_{1}}\mathrm {e} ^{z_{2}}$

$\mathrm {e} ^{-z}={\frac {1}{\mathrm {e^{z}} }}$

$\mathrm {e} ^{z}\neq 0$

$\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}=\cos(z)+\mathrm {i} \sin(z)$

$\forall k\in \mathbb {Z} \colon \;\mathrm {e} ^{2k\pi \mathrm {i} }=1$

$\forall k\in \mathbb {Z} \colon \;\mathrm {e} ^{(2k+1)\pi \mathrm {i} }+1=0$

Für alle $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ und $x,y\in \mathbb {C}$ gilt:

$z^{x+y}=z^{x}z^{y}$

$z^{x-y}={\frac {z^{x}}{z^{y}}}$

$z^{-x}={\frac {1}{z^{x}}}$

$z^{0}=1$

Für alle $r>0$, $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ und $x\in \mathbb {C}$ gilt:

$(rz)^{x}=r^{x}z^{x}$

${\Big (}{\frac {z}{r}}{\Big )}^{x}={\frac {z^{x}}{r^{x}}}$

${\Big (}{\frac {1}{r}}{\Big )}^{x}={\frac {1}{r^{x}}}=r^{-x}$

Für alle $r>0$, $z\in \mathbb {C} \setminus \{x\in \mathbb {R} \mid x\leq 0\}$ und $x\in \mathbb {C}$ gilt:

${\Big (}{\frac {r}{z}}{\Big )}^{x}={\frac {r^{x}}{z^{x}}}$

Wurzeln

Graph der Funktion f(z) = z⁵−1. Die Nullstellen von f heißen fünfte Einheitswurzeln. Die n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl bilden immer ein regelmäßiges n-Eck, dessen Zentrum im Koordinatenursprung liegt.

Sei $\varphi :=\arg(z)$. Für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt:

$z=w^{n}\iff w={\sqrt[{n}]{|z|}}\exp {\Big (}{\frac {\mathrm {i} \varphi +2k\pi \mathrm {i} }{n}}{\Big )},\;k\in \{0,1,\ldots ,n-1\}.$

Hauptwert:

${\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{|z|}}\exp {\Big (}{\frac {\mathrm {i} \varphi }{n}}{\Big )}.$

Hauptwert, allgemein für $z,x\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$:

${\sqrt[{x}]{z}}:=\exp {\bigg (}{\frac {\ln(z)}{x}}{\bigg )}.$

Logarithmen

Definitionen:

$\ln(z):=\ln(|z|)+\operatorname {arg} (z)\,\mathrm {i} \qquad (z\neq 0)$

$\log _{b}(a):={\frac {\ln(a)}{\ln(b)}}\qquad (a,b\in \mathbb {C} \setminus \{0\})$

Logarithmus als Urbild der Exponentialfunktion:

$\operatorname {Ln} (z):=\{w\mid \exp(z)=w\}$

$\operatorname {Ln} (z)=\{w\mid w=\ln(z)+2k\pi \mathrm {i} ,\;k\in \mathbb {Z} \}$

Für alle $r>0$ und $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ gilt:

$\ln(rz)=\ln(r)+\ln(z)$

Für alle $z\in \mathbb {C} \setminus \{x\in \mathbb {R} \mid x\leq 0\}$ gilt:

$\ln {\Big (}{\frac {1}{z}}{\Big )}=-\ln(z)$

Für alle $x,y\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ gilt:

$\ln(xy)\equiv \ln(x)+\ln(y)\quad {\pmod {2\pi \mathrm {i} }}$

Für alle $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ und $x\in \mathbb {C}$ gilt:

$\ln(z^{x})\equiv x\ln(z)\quad {\pmod {2\pi \mathrm {i} }}$

Aufgaben

Aufgabe 1

Ist $\alpha \,$ eine fest vorgegebene komplexe Zahl und ist $z\,$ eine komplexe Variable, so gilt $\left|z^{\alpha }\right|\in \Theta \left(|z|^{{\text{Re}}\,\alpha }\right)$ für $|z|\to \infty \,$. ($\Theta$: Landau-Symbol)

Beweisskizze

Die Idee, $z^{\alpha }$ in Betrag und Winkelanteil aufzuspalten (d. h. in Polarform zu bringen), führt zum Erfolg.

Sei $r:=|z|$ und $\varphi :=\operatorname {arg} (z)$.

Es ist $z^{\alpha }=(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi })^{\alpha }=r^{\alpha }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi \alpha }=\ldots =r^{\operatorname {Re} \alpha }\mathrm {e} ^{-\varphi \operatorname {Im} \alpha }r^{\mathrm {i} \operatorname {Im} \alpha }e^{\mathrm {i} \varphi \operatorname {Re} \alpha }$.

Somit gilt $|z^{\alpha }|=r^{\operatorname {Re} \alpha }\mathrm {e} ^{-\varphi \operatorname {Im} \alpha }$ und daher ${\frac {|z^{\alpha }|}{|z|^{\operatorname {Re} \alpha }}}=\mathrm {e} ^{-\varphi \operatorname {Im} \alpha }.$

Nun ist $\mathrm {e} ^{-\varphi \operatorname {Im} \alpha }$ aber beschränkt, weil $-\pi <\varphi \leq \pi$, und positiv, weil $\forall x{\in }\mathbb {R} \colon \,\mathrm {e} ^{x}>0$.

 

Aufgabe 2

Sind $z_{1},z_{2}\,$ komplexe Zahlen mit positivem Realteil und ist $\alpha \,$ irgendeine komplexe Zahl, so ist $(z_{1}\cdot z_{2})^{\alpha }=z_{1}^{\alpha }\cdot z_{2}^{\alpha }$ und $\left({\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right)^{\alpha }={\frac {z_{1}^{\alpha }}{z_{2}^{\alpha }}}$.

Beweis

$z_{1}=r_{1}e^{i\phi _{1}},z_{2}=r_{2}e^{i\phi _{2}}$ besitzen Darstellungen mit $-{\frac {\pi }{2}}<\phi _{1},\phi _{2}<{\frac {\pi }{2}}$.

Dann ist $-\pi <\phi _{1}\pm \phi _{2}<\pi \,$, und daher $\left(e^{i(\phi _{1}\pm \phi _{2})}\right)^{\alpha }=e^{i(\phi _{1}\pm \phi _{2})\alpha }$.

 

Aufgabe 3

Ist $z\,$ eine komplexe Zahl, so ist $0^{z}=\left\{{\begin{matrix}0&{\text{Re}}(z)>0\\1&z=0\\{\text{nicht definiert}}&{\text{sonst}}\end{matrix}}\right.$.

ohne Beweis (Definition)

 

Aufgabe 4

$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}\,$

Beweis (Formel von Fibonacci)

Aus $(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)\,$

folgt $|a+ib|^{2}\cdot |c+id|^{2}=|(ac-bd)+i(ad+bc)|^{2}$.

 

Aufgabe 5

${\sqrt {a+ib}}={\sqrt {\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}{2}}}+i\,\Theta (b)\,{\sqrt {\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}{2}}}$   , mit $\Theta (b)=\left\{{\begin{matrix}1&,&b\geq 0\\\\-1&,&b<0\end{matrix}}\right.$

Beweis

Für jede von Null verschiedene komplexe Zahl $a+ib\,$ gibt es stets zwei komplexe Zahlen die quadriert $a+ib\,$ ergeben.

Mit ${\sqrt {a+ib}}=x+iy$ soll der komplexe Hauptwert gemeint sein. Hier ist stets $x\geq 0$ und im Fall $x=0\,$ ist $y\geq 0$.

Wenn $(x+iy)^{2}=a+ib\,$ sein soll, muss gelten $x^{2}-y^{2}=a\,,\,2xy=b$ und $x^{2}+y^{2}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$.

Daher ist $x^{2}={\frac {(x^{2}+y^{2})+(x^{2}-y^{2})}{2}}={\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}{2}}\Rightarrow x={\sqrt {\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}{2}}}\geq 0$

und $y^{2}={\frac {(x^{2}+y^{2})-(x^{2}-y^{2})}{2}}={\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}{2}}\Rightarrow y=\Theta (b)\,{\sqrt {\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}{2}}}$,

da im Fall $x>0\quad {\text{sgn}}(y)={\text{sgn}}(2xy)={\text{sgn}}(b)$ sein muss. Und im Fall $x=0\,$, somit $b=0\,$, soll $y\geq 0$ sein.

 

Vergleich verschiedener Darstellungen zum Thema bei Wikibooks

Die komplexen Zahlen werden in folgenden Büchern von Wikibooks behandelt:

• Imaginäre und komplexe Zahlen ist eine kompakte und abgeschlossene Darstellung des Themas durch Siegfried Petry in einem Band, die früher seiner Homepage weiter gepflegt wurde – siehe Web-Archiv.
• Komplexe Zahlen ist eine ausführlichere Darstellung mit einer stärkeren Gliederung und Ergänzungen.

Einzelne Kapitel anderer Bücher richten sich an bestimmte Zielgruppen:

• Ingenieurmathematik
• Mathematik für die gymnasiale Oberstufe
• Formelsammlung Mathematik
• Mathematische Übungsbeispiele