Formelsammlung Mathematik: Grenzwerte
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Nach der Gaußschen Definition der Gammafunktion gilt
und
.
Betrachte nun den Quotient
.
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Setze und betrachte den Quotienten zweier aufeinander folgender Glieder.
. Das ist nach der Ungleichung stets größer als .
Die Folge fällt somit streng monoton und sie ist durch null nach unten beschränkt, weil alle Folgeglieder positiv sind.
Also existiert der Grenzwert .
Wegen ist .
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- Mit gilt für
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Die Stirlingformel besagt, dass die Folge gegen konvergiert.
Daher muss auch die Folge gegen konvergieren.
Wegen ist somit , gleichbedeutend mit .
Multipliziert man die Abschätzung mit durch,
so ist , und daraus folgt .
Lässt man gehen, so erhält man .
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Also ist
Daraus folgt , gleichbedeutend mit .
Und wegen ist daher auch .
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Betrachte die asymptotische Entwicklung
.
Differenziere nach :
Und setze :
.
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Aus der Reihenentwicklung für
folgt für .
Also ist
. Und das konvergiert gegen für .
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Für ist , und somit ist für .
Setzt man , so ist , gleichbedeutend mit .
Setzt man , so ist .
Genauso gut kommt man auf die beiden Ungleichungen, wenn man in der Napierschen Ungleichung
und setzt.
Die erste Ungleichung , gleichbedeutend mit
, zeigt, dass die Folge monoton fällt.
Aus der zweiten Ungleichung folgt .
Daher sind alle Folgeglieder positiv, und somit nach unten beschränkt.
Also existiert der Grenzwert .