Formelsammlung Mathematik: Ungleichungen

Formelsammlung Mathematik

Bernoullische UngleichungBearbeiten

 


DreiecksungleichungBearbeiten

 


Verallgemeinerte DreiecksungleichungBearbeiten

 


Cauchy-Schwarzsche-UngleichungBearbeiten

Sind   und   reelle Vektoren, so gilt


  Kurz:  


Ungleichungen zwischen MittelwertenBearbeiten

Für  , ein Gewicht   mit  
und ein   sei   das gewichtete Hölder-Mittel.
Es gilt   und für   ist  .


Insbesondere ergibt sich daraus die Ungleichungskette
 .



Und daraus wiederum ergibt sich im ungewichteten/gleichgewichteten Fall   die Ungleichungskette


 .

MacLaurinsche UngleichungBearbeiten

Für die nichtnegativen Variablen  


sei   das k-te elementarsymmetrische Polynom


und   der zugehörige elementarsymmetrische Mittelwert.


Es gilt  .


Und es gilt   für  


Muirhead-UngleichungBearbeiten

Für  -elementige Vektoren   sei  .


Sind  , so gilt folgende Äquivalenz:  


Logarithmischer MittelwertBearbeiten

 


Abschätzung zur eulerschen ZahlBearbeiten

 


Monotoniebetrachtung:

Die Folge   steigt streng monoton und die Folge   fällt streng monoton.


[Potenzen, eulersche Zahl]Bearbeiten

 


Napiersche-UngleichungBearbeiten

 


Nesbitt-UngleichungBearbeiten

 


Mahler-UngleichungBearbeiten

Sind   Tupel positiver Zahlen, so gilt  .


Tschebyscheff-Summen-UngleichungBearbeiten

Sind   und   gleichsinnig geordnete reelle Zahlen, so gilt


 


Tschebyscheff-Integral-UngleichungBearbeiten

Sind   gleichsinnig monoton, dann gilt  .


Anderson-UngleichungBearbeiten

Sind   nichtnegative konvexe Funktionen mit  , so gilt


 .


Abschätzung zu log(1+x), cos(x), sin(x)Bearbeiten

  ist   


[Mit der Stirling-Formel verwandte Formel]Bearbeiten

 


[Ungleichungen mit der Gammafunktion]Bearbeiten

 


 


Gautschis UngleichungBearbeiten

 


Carlson-UngleichungBearbeiten

Ist   eine Folge nichtnegativer Zahlen, wobei nicht alle Folgeglieder verschwinden, so gilt  


Hilbertsche UngleichungBearbeiten

Sind   zwei nichtnegative Zahlenfolgen, bei denen nicht alle Folgeglieder verschwinden und sind   zwei Zahlen,
so dass   und   ist, dann gilt  .


Hilbertsche Ungleichung für IntegraleBearbeiten

Sind   zwei stetige Funktionen ungleich der Nullfunktion, so gilt
 .


Hardy-Ungleichung für IntegraleBearbeiten

Ist   eine integrierbare Funktion und ist  , so gilt
 


Hardy-Ungleichung für ReihenBearbeiten

Ist   eine Folge nichtnegativer reeller Zahlen und ist  , so gilt
 


Gibbssche UngleichungBearbeiten

Sind   und   diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
mit   und  , so gilt
 , wobei Gleichheit nur im Fall   auftritt.


Diskrete jensensche UngleichungBearbeiten

Ist   konvex und sind   nichtnegative Zahlen mit  ,
dann gilt für beliebige   die Ungleichung  .


Jensensche Ungleichung für IntegraleBearbeiten

Ist   eine integrierbare Funktion, so dass   im Bild von   konvex ist,
dann gilt  


Hlawka-UngleichungBearbeiten