Formelsammlung Mathematik: Ungleichungen

Formelsammlung Mathematik

Bernoullische Ungleichung

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Dreiecksungleichung

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Verallgemeinerte Dreiecksungleichung

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Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung

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Sind   und   reelle Vektoren, so gilt


  Kurz:  


Ungleichungen zwischen Mittelwerten

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Für  , ein Gewicht   mit  
und ein   sei   das gewichtete Hölder-Mittel.
Es gilt   und für   ist  .


Insbesondere ergibt sich daraus die Ungleichungskette
 .



Und daraus wiederum ergibt sich im ungewichteten/gleichgewichteten Fall   die Ungleichungskette


 .

MacLaurinsche Ungleichung

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Für die nichtnegativen Variablen  


sei   das k-te elementarsymmetrische Polynom


und   der zugehörige elementarsymmetrische Mittelwert.


Es gilt  .


Und es gilt   für  


Muirhead-Ungleichung

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Für  -elementige Vektoren   sei  .


Sind  , so gilt folgende Äquivalenz:  


Logarithmischer Mittelwert

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Abschätzung zur eulerschen Zahl

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Monotoniebetrachtung:

Die Folge   steigt streng monoton und die Folge   fällt streng monoton.


[Potenzen, eulersche Zahl]

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Napiersche-Ungleichung

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Nesbitt-Ungleichung

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Mahler-Ungleichung

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Sind   Tupel positiver Zahlen, so gilt  .


Tschebyscheff-Summen-Ungleichung

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Sind   und   gleichsinnig geordnete reelle Zahlen, so gilt


 


Tschebyscheff-Integral-Ungleichung

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Sind   gleichsinnig monoton, dann gilt  .


Anderson-Ungleichung

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Sind   nichtnegative konvexe Funktionen mit  , so gilt


 .


Abschätzung zu log(1+x), cos(x), sin(x)

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  ist   


[Mit der Stirling-Formel verwandte Formel]

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[Ungleichungen mit der Gammafunktion]

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Gautschis Ungleichung

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Carlson-Ungleichung

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Ist   eine Folge nichtnegativer Zahlen, wobei nicht alle Folgeglieder verschwinden, so gilt  


Hilbertsche Ungleichung

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Sind   zwei nichtnegative Zahlenfolgen, bei denen nicht alle Folgeglieder verschwinden und sind   zwei Zahlen,
so dass   und   ist, dann gilt  .


Hilbertsche Ungleichung für Integrale

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Sind   zwei stetige Funktionen ungleich der Nullfunktion, so gilt
 .


Hardy-Ungleichung für Integrale

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Ist   eine integrierbare Funktion und ist  , so gilt
 


Hardy-Ungleichung für Reihen

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Ist   eine Folge nichtnegativer reeller Zahlen und ist  , so gilt
 


Gibbssche Ungleichung

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Sind   und   diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
mit   und  , so gilt
 , wobei Gleichheit nur im Fall   auftritt.


Diskrete jensensche Ungleichung

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Ist   konvex und sind   nichtnegative Zahlen mit  ,
dann gilt für beliebige   die Ungleichung  .


Jensensche Ungleichung für Integrale

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Ist   eine integrierbare Funktion, so dass   im Bild von   konvex ist,
dann gilt  


Hlawka-Ungleichung

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