Formelsammlung Mathematik: Unendliche Reihen: Fourierreihen
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Der Vergleich von Real- und Imaginärteil liefert die Behauptung.
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Der Vergleich von Real- und Imaginärteil liefert die Behauptung.
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Der Vergleich von Real- und Imaginärteil liefert die Behauptung.
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In den Formeln
ersetze durch .
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In der Formeln
ersetze durch .
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Es sei und das Quadrat mit den Ecken .
, da wegen
asymptotisch abklingt wie .
und .
Da die Summe aller Residuen null ergeben muss, ist .
Für und ist
nach der Poissonschen Summationsformel
.
Und das ist .
Wegen
und
ist für
und für .
Daher ist für und
.
Verschiebt man nach , so ist für .
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Schreibe als
und verwende die Formel .
Dann ist .
Ist und , so ist nach der Poissonschen Summationsformel
und das ist
. Also ist
Nach Substitution erhält man die gesuchte Formel.
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Die Funktion hat Periodenlänge , und somit Kreisfrequenz .
Die Koeffizienten der Fourierreihenentwicklung erhält man durch die Eulerschen Formeln:
Also ist .
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In der Formel ersetze durch .
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- Besitzt die Funktion die reelle Fourierreihenentwicklung , so gilt .
Die Funktion lässt sich als komplexe Fourierreihe schreiben, wenn man setzt.
Nun ist , und somit ist
.