Formelsammlung Mathematik: Integralrechnung

Formelsammlung Mathematik
Integraltafel

StammfunktionenBearbeiten

Sei   ein Intervall und  .

Definition. Stammfunktion.

Eine Stammfunktion von   ist eine differenzierbare Funktion   mit der Eigenschaft:

 

Jede Stammfunktion von   wird auch unbestimmtes Integral von   genannt und man schreibt:

 

Ist   eine Stammfunktion von  , so auch  , wobei   eine beliebige Konstante ist.

IntegralfunktionenBearbeiten

Definition. Integralfunktion.

Ist   auf   Riemann-integrierbar und  , so heißt

 

Integralfunktion von  .

HauptsatzBearbeiten

Satz. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Ist   eine stetige Funktion, so ist für jedes   die Integralfunktion

 

eine Stammfunktion von  .

Ist   eine stetige Funktion und ist   eine Stammfunktion von  , so gilt:

 

RechenregelnBearbeiten

Elementare RechenregelnBearbeiten

Sind   auf   Riemann-integrierbar, so gilt:

 
 
 
 

Für jede Funktion, die bei   definiert ist, definiert man:

 

Partielle IntegrationBearbeiten

Sind   zwei auf   stetig differenzierbare Funktionen, so gilt:

 

SubstitutionsregelBearbeiten

Ist   ein Intervall,   stetig und   stetig differenzierbar, so gilt:

 

Bei einem Ausdruck der Form

 

kann wie folgt vorgegangen weden.

Man substituiert   und bestimmt   bzw.  . Nun gilt:

 

Auf »gut Glück« ergibt sich

 

Lineare SubstitutionBearbeiten

Nach der Substitutionsregel gilt:

 

Logarithmische IntegrationBearbeiten

Ist   auf   differenzierbar und hat   auf   keine Nullstellen, so gilt:

 .

Eigenschaften von IntegralenBearbeiten

MonotonieBearbeiten

Sind   auf   Riemann-integierbar und gilt   für alle  , so muss auch

 

sein. Ist   für alle  , so gilt speziell

 

Integration von WinkelfunktionenBearbeiten

UniversalsubstitutionBearbeiten

       

Die Universalsubstitution (Weierstraß-Substitution) kann bei Integralen der Form

 

angewendet werden, wobei   eine rationale Funktion ist.

SpezialfälleBearbeiten

Integral der Form Substitution
     
     

Mit   ist eine rationale Funktion gemeint.