Formelsammlung Mathematik: Integralrechnung

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Stammfunktionen

Sei $I$ ein Intervall und $f\colon I\to \mathbb {R}$.

Definition. Stammfunktion.

Eine Stammfunktion von $f$ ist eine differenzierbare Funktion $F\colon I\to \mathbb {R}$ mit der Eigenschaft:

$F'=f.$

Jede Stammfunktion von $f$ wird auch unbestimmtes Integral von $f$ genannt und man schreibt:

$\int f(x)\,\mathrm {d} x=F(x).$

Ist $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$, so auch $F(x)+C$, wobei $C$ eine beliebige Konstante ist.

Integralfunktionen

Definition. Integralfunktion.

Ist $f$ auf $[a,b]$ Riemann-integrierbar und $c\in [a,b]$, so heißt

$F(x):=\int _{c}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t,\quad F\colon [a,b]\to \mathbb {R}$

Integralfunktion von $f$.

Hauptsatz

Satz. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Ist $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion, so ist für jedes $c\in [a,b]$ die Integralfunktion

$F(x):=\int _{c}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t,\quad F\colon [a,b]\to \mathbb {R}$

eine Stammfunktion von $f$.

Ist $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion und ist $F$ eine Stammfunktion von $f$, so gilt:

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=[F(x)]_{a}^{b}:=F(b)-F(a).$

Rechenregeln

Elementare Rechenregeln

Sind $f,g$ auf $[a,b]$ Riemann-integrierbar, so gilt:

$\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x,$

$\int _{a}^{b}(f(x)-g(x))\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x-\int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x,$

$\int _{a}^{b}cf(x)\,\mathrm {d} x=c\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x,$

$\int _{b}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x:=-\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x.$

Für jede Funktion, die bei $a$ definiert ist, definiert man:

$\int _{a}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x:=0.$

Partielle Integration

Sind $F,g$ zwei auf $[a,b]$ stetig differenzierbare Funktionen, so gilt:

$\int _{a}^{b}F'(x)\cdot g(x)\,\mathrm {d} x=[F(x)\cdot g(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}F(x)\cdot g'(x)\,\mathrm {d} x.$

Substitutionsregel

Ist $I$ ein Intervall, $f\colon I\to \mathbb {R}$ stetig und $g\colon [a,b]\to I$ stetig differenzierbar, so gilt:

$\int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\,\mathrm {d} x=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\,\mathrm {d} u.$

Bei einem Ausdruck der Form

$\int _{a}^{b}h(g(x),x)\,\mathrm {d} x$

kann wie folgt vorgegangen weden.

Man substituiert $u:=g(x)$ und bestimmt ${\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}=g'(x)$ bzw. $\mathrm {d} x={\frac {\mathrm {d} u}{g'(x)}}$. Nun gilt:

$\int _{a}^{b}h(g(x),x)\,\mathrm {d} x=\int _{g(a)}^{g(b)}{\frac {h(u,x)}{g'(x)}}\,\mathrm {d} u.$

Auf »gut Glück« ergibt sich

${\frac {h(u,x)}{g'(x)}}={\frac {f(u)\cdot g'(x)}{g'(x)}}=f(u).$

Lineare Substitution

Nach der Substitutionsregel gilt:

$\int _{a}^{b}f(mx+n)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{m}}\int _{ma+n}^{mb+n}f(u)\,\mathrm {d} u.$

Logarithmische Integration

Ist $f$ auf $[a,b]$ differenzierbar und hat $f$ auf $[a,b]$ keine Nullstellen, so gilt:

$\int _{a}^{b}{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,\mathrm {d} x=\ln |f(b)|-\ln |f(a)|$.

Eigenschaften von Integralen

Monotonie

Sind $f,g$ auf $[a,b]$ Riemann-integierbar und gilt $f(x)\leq g(x)$ für alle $x\in [a,b]$, so muss auch

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x$

sein. Ist $g(x)\geq 0$ für alle $x$, so gilt speziell

$\int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x\geq 0.$

Integration von Winkelfunktionen

Universalsubstitution

$t:=\tan {\frac {x}{2}}$

$\mathrm {d} x={\frac {2\,\mathrm {d} t}{1+t^{2}}}$

$\sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}}$

$\cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$

Die Universalsubstitution (Weierstraß-Substitution) kann bei Integralen der Form

$\int R(\sin x,\cos x)\,\mathrm {d} x$

angewendet werden, wobei $R$ eine rationale Funktion ist.

Spezialfälle

Integral der Form	Substitution
$\int R(\sin x)\cos(x)\,\mathrm {d} x$	$t:=\sin x$	$\mathrm {d} t=\cos(x)\,\mathrm {d} x$
$\int R(\cos x)\sin(x)\,\mathrm {d} x$	$t:=\cos x$	$\mathrm {d} t=\sin(x)\,\mathrm {d} x$

Mit $R$ ist eine rationale Funktion gemeint.