Formelsammlung Mathematik: Unendliche Reihen: Binomische Reihe

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$(1+z)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\alpha \choose k}z^{k}\qquad |z|<1\;,\;\alpha \in \mathbb {C}$

Beweis

Es ist $(1+z)^{\alpha }=e^{\alpha \log(1+z)}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{k}}{k!}}\,{\Big [}\log(1+z){\Big ]}^{k}$.

Wegen $\log(1+z)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-{\frac {z^{4}}{4}}+...$

hat die Reihenentwicklung von ${\Big [}\log(1+z){\Big ]}^{k}$ die Form $\sum _{n=k}^{\infty }c_{nk}z^{n}$ mit $c_{kk}=1\,$.

Somit ist $(1+z)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{k}}{k!}}\,\sum _{n=k}^{\infty }c_{nk}\,z^{n}$, was nach Umordnung gleich $\sum _{n=0}^{\infty }\,\sum _{k=0}^{n}c_{nk}{\frac {\alpha ^{k}}{k!}}\;z^{n}$ ist.

Das Polynom $Q_{n}(\alpha )=\sum _{k=0}^{n}c_{nk}{\frac {\alpha ^{k}}{k!}}$ besitzt wegen $c_{nn}=1\,$ den führenden Koeffizient ${\frac {1}{n!}}$.

Da die Reihenentwicklung $(1+z)^{m}=\sum _{n=0}^{\infty }Q_{n}(m)\,z^{n}$

für alle natürlichen Zahlen $m\,$ abbricht, ist $Q_{n}(m)=0\,$ für alle $n>m\,$.

Daher besitzt das Polynom $Q_{n}(\alpha )\,$ die Linearfaktorzerlegung ${\frac {1}{n!}}\,\alpha \,(\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)={\alpha \choose n}$.