Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,arctan)
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0.1 Bearbeiten
Beweis
Benutze die Reihenentwicklung .
0.2 Bearbeiten
Beweis
0.3 Bearbeiten
ohne Beweis
0.4 Bearbeiten
ohne Beweis
0.5 Bearbeiten
ohne Beweis
0.6 Bearbeiten
ohne Beweis
1.1 Bearbeiten
Beweis
Integriere die Formel nach von bis .
1.2 Bearbeiten
ohne Beweis
1.3 Bearbeiten
Beweis
In der Formel für
setze und .
Nach Substitution ist .
Integriere nun nach von bis .
1.4 Bearbeiten
Beweis
Nach Substitution lässt sich das Integral auch schreiben als .
Addiert man beide Darstellungen, so ist . Der Zähler ist konstant .
Somit ist .
1.5 Bearbeiten
Beweis (Ahmedsches Integral)
Es ist .
Setze und und integriere nach und jeweils von bis .
Vertauscht man die Rollen von und , so erkennt man, dass beide Integrale auf der linken Seite gleich sind und dass beide Integrale auf der rechten Seite gleich sind.
Also ist
.
Schreibe nun als .
2.1 Bearbeiten
ohne Beweis
2.2 Bearbeiten
ohne Beweis
2.3 Bearbeiten
ohne Beweis
2.4 Bearbeiten
ohne Beweis