Formelsammlung Mathematik: Identitäten: Sophomores Dream

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$\int _{0}^{1}x^{-\lambda x}\,dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda ^{n-1}}{n^{n}}}\qquad \forall \lambda \in \mathbb {C}$

Insbesondere ist $\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{n}}}$ und $\int _{0}^{1}x^{x}\,dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{n}}}$.

Beweis

Wegen $x^{-\lambda x}=e^{-\lambda x\,\log x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-\lambda x\,\log x)^{n}}{n!}}$ ist $\int _{0}^{1}x^{-\lambda x}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}\int _{0}^{1}(-\log x)^{n}\,x^{n}\,dx$.

Das Integral ist nach Substitution $x\mapsto e^{-x}$ gleich $\int _{0}^{\infty }x^{n}\,e^{-(n+1)x}\,dx={\frac {n!}{(n+1)^{n+1}}}$.

Also ist $\int _{0}^{1}x^{-\lambda x}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{n}}{(n+1)^{n+1}}}$.