Formelsammlung Mathematik: Funktionen

Formelsammlung Mathematik

DefinitionBearbeiten

Definition. Funktion.

Eine Funktion   ist eine Zuordnung, die jedem Element x der Definitionsmenge D genau ein Element y der Zielmenge Z zuordnet.

Formale Definition. Eine Funktion ist ein Tupel  , wobei gilt:

1.   ist eine Relation  
2.   ist linkstotal  
3.   ist rechtseindeutig  
  Graph
  Definitionsbereich
  Zielmenge
    für  

BildmengeBearbeiten

Definition. Bild.

Für   und   ist

 

das Bild von   unter  . Hierbei ist

 

Es gilt:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  

UrbildBearbeiten

Definition. Urbild.

Für   ist

 

das Urbild von   unter  .

Es gilt:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.  
  11.  

InjektionenBearbeiten

 
Kommutiert dieses Diagramm, so ist  . Somit muss   injektiv sein.

Definition. Injektion.

Eine Funktion   heißt injektiv, wenn gilt:

 

oder via Kontraposition:

 


Definition. Linksinverse.

Sei   eine Funktion. Eine Funktion   mit

 

heißt Linksinverse von  .

  • Eine Funktion ist genau dann injektiv, wenn sie eine Linksinverse besitzt. (→Beweis)
  • Eine Injektion kann mehrere unterschiedliche Linksinverse haben.

SurjektionenBearbeiten

 
Kommutiert dieses Diagramm, so ist  . Somit muss   surjektiv sein.

Definition. Surjektion.

Eine Funktion   heißt surjektiv, wenn ihre Bildmenge mit ihrer Zielmenge übereinstimmt, d. h. wenn gilt:

 

Da   aber allgemeingültig ist, genügt es,   zu zeigen.


Definition. Rechtsinverse.

Sei   eine Funktion. Eine Funktion   mit

 

heißt Rechtsinverse von  .

  • Eine Funktion ist genau dann surjektiv, wenn sie eine Rechtsinverse besitzt. Die Teilaussage »Eine Surjektion besitzt mindestens eine Rechtsinverse.« erfordert aber das Auswahlaxiom.
  • Eine Surjektion kann mehrere unterschiedliche Rechtsinverse besitzen.

BijektionenBearbeiten

 
Kommutiert dieses Diagramm, so ist   und  . Somit muss   bijektiv und   sein.

Definition. Bijektion.

Eine Funktion heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.


Satz und Definition. Umkehrfunktion.

Genau dann ist   eine Bijektion, wenn eine Funktion   mit der Eigenschaft

  und  

existiert.

Die Funktion   ist eindeutig bestimmt und wird als Umkehrfunktion (inverse Funktion) von   bezeichnet.

KompositionBearbeiten

Definition. Komposition.

Für   und   ist

 

die Komposition (Verkettung), sprich   nach  .

Es gilt das Assoziativgesetz:

 

Es gilt:

  1. Sind   injektiv, so ist   injektiv.
  2. Sind   surjektiv, so ist   surjektiv.
  3. Sind   bijektiv, so ist   bijektiv.
  4. Ist   injektiv, so ist   injektiv.
  5. Ist   surjektiv, so ist   surjektiv.
  6. Ist   bijektiv, so ist   injektiv und   surjektiv.

IterationBearbeiten

Definition. Iteration.

Für eine Selbstabbildung   bezeichnet man mit   die n-te Iterierte von  .

Man definiert:

 
 


Ausnahmen in der Notation gibt es bei den Winkelfunktionen:

  anstelle von  ,
  anstelle von  ,
usw.

InklusionBearbeiten

Definition. Inklusion.

Für zwei Mengen   mit   wird

 

als Inklusionsabbildung, kurz Inklusion bezeichnet.

EinschränkungBearbeiten

Definition. Einschränkung.

Für   und   nennt man

 

die Einschränkung von   auf  .

Ist   die Inklusion, so gilt: