Formelsammlung Mathematik: Unendliche Reihen: Poissonsche Summationsformel

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$\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(n)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(n)$, wobei ${\hat {f}}(n)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-2\pi inx}\,dx$ sein soll.

Beweis

Es sei $F(x):=\sum _{k\in \mathbb {Z} }f(x+k)\qquad (1)$

Wegen der Periodizität $F(x+1)=F(x)\,$ lässt sich $F\,$ in eine komplexe Fourierreihe entwickeln: $F(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}\,e^{2\pi inx}\qquad (2)$

Nun ist $\int _{0}^{1}F(x)\,e^{-2\pi imx}\,dx=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}\underbrace {\int _{0}^{1}e^{2\pi inx}\,e^{-2\pi imx}\,dx} _{=\delta _{nm}}=c_{m}$.

Also ist $c_{m}=\sum _{k\in \mathbb {Z} }\int _{0}^{1}f(x+k)\,e^{-2\pi imx}\,dx=\sum _{k\in \mathbb {Z} }\int _{k}^{k+1}f(x)\,e^{-2\pi im(x-k)}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-2\pi imx}\,dx={\hat {f}}(m)$.

Nach $(1)\,$ ist $F(0)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }f(k)$ und nach $(2)\,$ ist $F(0)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}$, was gerade $\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(n)$ ist.

 

Modifikation

$\sum _{n=1}^{\infty }f(n)=-{\frac {1}{2}}\,f(0)+\int _{0}^{\infty }f(t)\,dt+2\sum _{n=1}^{\infty }{\widehat {f_{C}}}(n)$, mit ${\widehat {f_{C}}}(n)=\int _{0}^{\infty }f(t)\,\cos(2\pi nt)\,dt$

Beweis

Ist $f\,$ gerade, so ist ${\hat {f}}(n)=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,e^{-2\pi int}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,\cos(2\pi nt)\,dt=2\cdot {\widehat {f_{C}}}(n)$.

Nun ist $\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(n)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(n)\,\Rightarrow \,f(0)+2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)={\hat {f}}(0)+2\sum _{n=1}^{\infty }{\hat {f}}(n)=\int _{0}^{\infty }f(t)\,dt+4\sum _{n=1}^{\infty }{\widehat {f_{C}}}(n)$

$\Rightarrow \,\sum _{n=1}^{\infty }f(n)=-{\frac {1}{2}}\,f(0)+\int _{0}^{\infty }f(t)\,dt+2\sum _{n=1}^{\infty }{\widehat {f_{C}}}(n)$.