Formelsammlung Mathematik: Differenzialgleichungen

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Lineare Differentialgleichungen

Gleichungen 1. Ordnung

Lineare Dgl. 1. Ordnung

$y'+P(x)\,y=Q(x)\,$

Lösung

Bestimme erst eine Lösung $y_{h}\,$ der homogenen Dgl. $y'+P(x)y=0$.

$y'=-P(x)y\,\Rightarrow \,{\frac {y'}{y}}=-P(x)\,\Rightarrow \,\log y=-\int P(x)\,dx\,\Rightarrow \,y=e^{-\int P(x)\,dx}$

Setzt man $\mu =e^{\int P(x)\,dx}$, so ist mit $y_{h}={\frac {1}{\mu }}$ eine homogene Lösung gefunden.

Um die inhomogene Gleichung $y'+P(x)\,y=Q(x)$ zu lösen, mache den Ansatz Variation der Konstanten $y=c\cdot y_{h}$:

$Q(x)=y'+P(x)\,y=c'\cdot y_{h}+\underbrace {c\cdot y_{h}'+P(x)\cdot c\cdot y_{h}} _{=0}$

$\Rightarrow \,c'={\frac {1}{y_{h}}}\cdot Q(x)=\mu \cdot Q(x)\,\Rightarrow \,c=\int \mu \cdot Q(x)\,dx$

Die Lösungsformel lautet also:

$y={\frac {1}{\mu }}\,\int \mu \cdot Q(x)\,dx=e^{-\int P(x)\,dx}\,\int e^{\int P(x)\,dx}\,Q(x)\,dx$

 

Gleichungen 2. Ordnung

Besselsche Dgl.

$x^{2}\,y''+x\,y'+(x^{2}-n^{2})\,y=0$

ohne Lösung

 

Legendresche Dgl.

$(1-x^{2})\,y''-2xy'+n(n+1)\,y=0$

ohne Lösung

 

Hypergeometrische Dgl.

$x\,(1-x)\,y''+\left(\gamma -(\alpha +\beta +1)x\right)\,y'-\alpha \beta \,y=0$

ohne Lösung

 

Laguerresche Dgl.

$x\,y''+(\alpha +1-x)\,y'+n\,y=0$

ohne Lösung

 

Hermitesche Dgl.

$y''-x\,y'+n\,y=0$

ohne Lösung

 

Tschebyscheffsche Dgl.

$(1-x^{2})\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0$

ohne Lösung

 

Airysche Dgl.

$y''-\lambda \,x\,y=0$

ohne Lösung

 

Gleichungen n. Ordnung

Homogene lineare Dgl. mit konstanten Koeffizienten

$\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,y^{(k)}=0\quad ,\quad a_{k}\in \mathbb {C}$

Lösung

Die Funktion $y=e^{\lambda x}$ löst die Dgl., wenn zum Eigenwert $\lambda$ das charakteristische Polynom $P(\lambda )=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,\lambda ^{k}$ verschwindet.

Hat die Nullstelle $\lambda \,$ die algebraische Vielfachheit $\nu$, so ist $y=x^{m}\,e^{\lambda x}$ für $m=0,...,\nu -1$ auch Lösung.

Nach der Leibniz-Regel ist $D^{k}\left(x^{m}\,e^{\lambda x}\right)=\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}\,\,D^{j}\,x^{m}\,\,D^{k-j}\,e^{\lambda x}$, wobei $D^{j}\,x^{m}$ für $j>m$ verschwindet.

Also ist $D^{k}\left(x^{m}\,e^{\lambda x}\right)=\sum _{k=0}^{{\text{min}}(k,m)}{\frac {k!}{(k-j)!\,j!}}\,{\frac {m!}{(m-j)!}}\,x^{m-j}\,\lambda ^{k-j}\,e^{\lambda x}$

und somit ist $\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,D^{k}\left(x^{m}e^{\lambda x}\right)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,\sum _{j=0}^{{\text{min}}(k,m)}{m \choose j}\,{\frac {k!}{(k-j)!}}\,\lambda ^{k-j}\,x^{m-j}\,e^{\lambda x}$

$=\sum _{j=0}^{m}\sum _{k=j}^{n}a_{k}\,{m \choose j}\,{\frac {k!}{(k-j)!}}\,\lambda ^{k-j}\,x^{m-j}\,e^{\lambda x}=\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}\,\left[\sum _{k=j}^{n}a_{k}\,{\frac {k!}{(k-j)!}}\,\lambda ^{k-j}\right]\,x^{m-j}\,e^{\lambda x}$

$=\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}\,P^{(j)}(\lambda )\,x^{m-j}\,e^{\lambda x}=0$.

Hat also das charakteristische Polynom $P\,$ die Wurzeln $\lambda _{1},...,\lambda _{r}$ mit den Vielfachheiten $\nu _{1},...,\nu _{r}$,

so hat die allgemeine Lösung der Dgl. die Form $y=\sum _{k=1}^{r}\sum _{\ell =0}^{\nu _{k}-1}c_{k,\ell }\,x^{\ell }\,e^{\lambda _{k}x}$.

 

Eulersche Dgl.

$\sum _{k=0}^{n}a_{k}\,(c\,x+d)^{k}\,y^{(k)}=F(x)$

ohne Lösung

 

Nichtlineare Differentialgleichungen

Gleichungen 1. Ordnung

Exakte Dgl.

$M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0$

ohne Lösung

 

Bernoullische Dgl.

$y'+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n}\qquad (n\neq 1)$

Lösung

Dividiere die Gleichung mit $y^{n}\,$ durch:

${\frac {y'}{y^{n}}}+P(x)\,{\frac {1}{y^{n-1}}}=Q(x)$

Substituiere $z={\frac {1}{y^{n-1}}}\,\,\left(z'=(-n+1)\,{\frac {y'}{y^{n}}}\right)$:

${\frac {1}{-n+1}}\,z'+P(x)\,z=Q(x)$

Multipliziere mit $-n+1$ durch und ersetze ${\widetilde {P}}(x):=(-n+1)\cdot P(x)$ sowie ${\widetilde {Q}}(x):=(-n+1)\cdot Q(x)$:

$z'+{\widetilde {P}}(x)\,z={\widetilde {Q}}(x)$

Das Lösen der Bernoullischen Dgl. ist damit auf das Lösen der linearen Dgl. 1. Ordnung zurückgeführt.

 

Riccatische Dgl.

$y'=P(x)\,y^{2}+Q(x)\,y+R(x)$

Lösung

Ist bereits eine partikuläre Lösung $y_{p}\,$ bekannt, so folgt aus

$\left[{\begin{matrix}y'=P(x)\,y^{2}+Q(x)\,y+R(x)\\y'_{p}=P(x)\,y_{p}^{2}+Q(x)\,y_{p}+R(x)\end{matrix}}\right]$ die Gleichung $y'-y'_{p}=P(x)\,(y^{2}-y_{p}^{2})+Q(x)\,(y-y_{p})$.

Setzt man $u=y-y_{p}$, so ist $y^{2}-y_{p}^{2}=(y+y_{p})(y-y_{p})=(u+2y_{p})\,u$

und damit $u'=P(x)\,(u+2y_{p})\,u+Q(x)\,u$.

$\Rightarrow \,u'=P(x)\,u^{2}+{\Big (}2y_{p}\,P(x)+Q(x){\Big )}\,u\,\Rightarrow \,u'+{\Big (}-2y_{p}P(x)-Q(x){\Big )}\,u=P(x)\,u^{2}$

Das Lösen der Riccatischen Dgl. ist damit auf das Lösen der Bernoullischen Dgl. zurückgeführt.

 

Lagrangesche Dgl.

$a(y')\,x+b(y')\,y+c(y')=0$

ohne Lösung

 

Clairautsche Dgl.

$y=x\,y'+f(y')=0$

ohne Lösung

 

D'Alembertsche Dgl.

$y=x\,f(y')+g(y')$

ohne Lösung