Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin)

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Beweis

Verwende die Fourierreihe  .

 

 
Beweis

Es sei   und   eine natürliche Zahl.

Die Funktion   ist auf ganz   holomorph,

wenn man sie an ihrer hebbaren Definitionslücke   stetig fortsetzt.


  ist nach der Substitution  

gleich  .

Und das ist nach der Partialbruchzerlegung  

gleich  .

Also ist  


  ist nach der Substitution   gleich

 . Und das ist nach der Substitution   gleich

 , wobei   ist.

Also ist  


  lässt sich aufspalten in  ,

wobei   ist. Setzt man  , so ist  .

Daher gilt  



Betrachte nun den Fall   und  

Aus  

folgt  .

Aus  

 

folgt  .

Und aus   folgt  .

Also ist  .

Und somit ist  .

 
ohne Beweis


 
Beweis

Betrachte nun den Fall   und  

Aus  

folgt  .

Aus  

 

folgt  .

Aus dem Fall   ist bereits bekannt, dass   ist.

Also ist  .

Und aus   folgt  .

Also ist  .

Und somit ist  .