Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,sin,cos)
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1.1Bearbeiten
1.2Bearbeiten
1.3Bearbeiten
Beweis (Liouvillesches Integral)
Aus der Formel für und folgt
,
dabei ist .
Also ist .
Nach der Legendreschen Verdopplungsformel lässt sich durch ersetzen.
.
Nach der Formel ist dies .
1.4Bearbeiten
ohne Beweis
1.5Bearbeiten
ohne Beweis
1.6Bearbeiten
ohne Beweis
2.1Bearbeiten
ohne Beweis
2.2Bearbeiten
- wenn beide gerade sind, andernfalls ist das Integral 0.
ohne Beweis
2.3Bearbeiten
1. Beweis (Bessel Integral)
Multipliziere die Jacobi-Anger Entwicklung
mit durch und integriere anschließend beide Seiten nach von bis :
Somit ist .
Der erste Integrand ist gerade und der zweite ungerade.
Also ist .
2. Beweis
Multipliziere die Jacobi-Reihe
mit durch und integriere anschließend beide Seiten nach von bis :
.
Multipliziere die Jacobi-Reihe
mit durch und integriere anschließend beide Seiten nach von bis :
.
Also ist .
2.4Bearbeiten
3.1Bearbeiten
ohne Beweis