Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,sin,cos)
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1.1 Bearbeiten
1.2 Bearbeiten
1.3 Bearbeiten
Beweis (Liouvillesches Integral)
Aus der Formel für und folgt
,
dabei ist .
Also ist .
Nach der Legendreschen Verdopplungsformel lässt sich durch ersetzen.
.
Nach der Formel ist dies .
1.4 Bearbeiten
ohne Beweis
1.5 Bearbeiten
ohne Beweis
1.6 Bearbeiten
ohne Beweis
2.1 Bearbeiten
ohne Beweis
2.2 Bearbeiten
- wenn beide gerade sind, andernfalls ist das Integral 0.
ohne Beweis
2.3 Bearbeiten
1. Beweis (Bessel Integral)
Multipliziere die Jacobi-Anger Entwicklung
mit durch und integriere anschließend beide Seiten nach von bis :
Somit ist .
Der erste Integrand ist gerade und der zweite ungerade.
Also ist .
2. Beweis
Multipliziere die Jacobi-Reihe
mit durch und integriere anschließend beide Seiten nach von bis :
.
Multipliziere die Jacobi-Reihe
mit durch und integriere anschließend beide Seiten nach von bis :
.
Also ist .
2.4 Bearbeiten
3.1 Bearbeiten
ohne Beweis