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In der Formel J ν ( z ) = 2 Γ ( 1 2 ) Γ ( ν + 1 2 ) ( z 2 ) ν ∫ 0 1 cos ( z x ) ( 1 − x 2 ) ν − 1 2 d x Re ( ν ) > − 1 2 {\displaystyle J_{\nu }(z)={\frac {2}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu }\int _{0}^{1}\cos(zx)\,(1-x^{2})^{\nu -{\frac {1}{2}}}\,dx\qquad {\text{Re}}(\nu )>-{\frac {1}{2}}} substituiere x ↦ cos x {\displaystyle x\mapsto \cos x} .
In der Formel J ν ( z ) = 2 Γ ( 1 2 ) Γ ( ν + 1 2 ) ( z 2 ) ν ∫ 0 1 cos ( z x ) ( 1 − x 2 ) ν − 1 2 d x Re ( ν ) > − 1 2 {\displaystyle J_{\nu }(z)={\frac {2}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu }\int _{0}^{1}\cos(zx)\,(1-x^{2})^{\nu -{\frac {1}{2}}}\,dx\qquad {\text{Re}}(\nu )>-{\frac {1}{2}}} substituiere x ↦ sin x {\displaystyle x\mapsto \sin x} .
Aus der Formel sin 2 α x = α ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( α − 1 2 + n ) ! ( α − 1 2 − n ) ! ( 2 sin x ) 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle \sin 2\alpha x=\alpha \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,{\frac {\left(\alpha -{\frac {1}{2}}+n\right)!}{\left(\alpha -{\frac {1}{2}}-n\right)!}}\,{\frac {(2\sin x)^{2n+1}}{(2n+1)!}}} für Re ( α ) > 0 {\displaystyle {\text{Re}}(\alpha )>0\,} und 0 ≤ x ≤ π 2 {\displaystyle 0\leq x\leq {\frac {\pi }{2}}} folgt I := ∫ 0 π 2 sin 2 α x sin x cos 2 α − 1 x d x = α ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( α − 1 2 + n ) ! ( α − 1 2 − n ) ! 2 2 n ( 2 n ) ! 2 2 n + 1 ∫ 0 π 2 sin 2 n x cos 2 α − 1 x d x {\displaystyle I:=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin 2\alpha x}{\sin x}}\,\cos ^{2\alpha -1}x\,dx=\alpha \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,{\frac {\left(\alpha -{\frac {1}{2}}+n\right)!}{\left(\alpha -{\frac {1}{2}}-n\right)!}}\,{\frac {2^{2n}}{(2n)!}}\,{\frac {2}{2n+1}}\,\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2n}x\,\cos ^{2\alpha -1}x\,dx} , dabei ist 2 ∫ 0 π 2 sin 2 n x cos 2 α − 1 x d x = B ( n + 1 2 , α ) = ( n − 1 2 ) ! ( α − 1 ) ! ( n − 1 2 + α ) ! {\displaystyle 2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2n}x\,\cos ^{2\alpha -1}x\,dx=B\left(n+{\frac {1}{2}},\alpha \right)={\frac {\left(n-{\frac {1}{2}}\right)!\,(\alpha -1)!}{\left(n-{\frac {1}{2}}+\alpha \right)!}}} . Also ist I = α ! ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 2 n ( n − 1 2 ) ! ( α − 1 2 − n ) ! ( 2 n ) ! 1 2 n + 1 {\displaystyle I=\alpha !\,\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,{\frac {2^{2n}\,\left(n-{\frac {1}{2}}\right)!}{\left(\alpha -{\frac {1}{2}}-n\right)!\,(2n)!}}\,{\frac {1}{2n+1}}} . Nach der Legendreschen Verdopplungsformel lässt sich 2 2 n ( n − 1 2 ) ! ( 2 n ) ! {\displaystyle {\frac {2^{2n}\,\left(n-{\frac {1}{2}}\right)!}{(2n)!}}} durch π n ! {\displaystyle {\frac {\sqrt {\pi }}{n!}}} ersetzen. I = π α ! ∑ n = 0 ∞ 1 ( α − 1 2 − n ) ! n ! 1 2 n + 1 = π 2 α ! ( α − 1 2 ) ! ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( α − 1 2 n ) 1 n + 1 2 {\displaystyle I={\sqrt {\pi }}\,\alpha !\,\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\left(\alpha -{\frac {1}{2}}-n\right)!\,n!}}\,{\frac {1}{2n+1}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\,{\frac {\alpha !}{\left(\alpha -{\frac {1}{2}}\right)!}}\,\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,{\alpha -{\frac {1}{2}} \choose n}\,{\frac {1}{n+{\frac {1}{2}}}}} . Nach der Formel ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( x − 1 n ) 1 n + y = B ( x , y ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,{x-1 \choose n}\,{\frac {1}{n+y}}=B(x,y)} ist dies π 2 α ! ( α − 1 2 ) ! B ( α + 1 2 , 1 2 ) = π 2 Γ ( 1 2 ) = π 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\,{\frac {\alpha !}{\left(\alpha -{\frac {1}{2}}\right)!}}\,B\left(\alpha +{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\,\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}} .
Multipliziere die Jacobi-Anger Entwicklung e i z sin x = ∑ n ∈ Z J n ( z ) e i n x {\displaystyle e^{iz\sin x}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }J_{n}(z)\,e^{inx}} mit e − i m x {\displaystyle e^{-imx}\,} durch und integriere anschließend beide Seiten nach x {\displaystyle x\,} von − π {\displaystyle -\pi \,} bis π {\displaystyle \pi \,} : ∫ − π π e i z sin x e − i m x d x = ∑ n ∈ Z J n ( z ) ∫ − π π e i ( n − m ) x d x = ∑ n ∈ Z J n ( z ) δ n m ⋅ 2 π = J m ( z ) ⋅ 2 π {\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }e^{iz\sin x}\,e^{-imx}\,dx=\sum _{n\in \mathbb {Z} }J_{n}(z)\int _{-\pi }^{\pi }e^{i(n-m)x}\,dx=\sum _{n\in \mathbb {Z} }J_{n}(z)\,\delta _{nm}\cdot 2\pi =J_{m}(z)\cdot 2\pi } Somit ist ∫ − π π cos ( z sin x − m x ) d x + i ∫ − π π sin ( z sin x − m x ) d x = J m ( z ) ⋅ 2 π {\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(z\sin x-mx)\,dx+i\int _{-\pi }^{\pi }\sin(z\sin x-mx)\,dx=J_{m}(z)\cdot 2\pi } . Der erste Integrand ist gerade und der zweite ungerade. Also ist 2 ∫ 0 π cos ( z sin x − m x ) d x = J m ( z ) ⋅ 2 π {\displaystyle 2\int _{0}^{\pi }\cos(z\sin x-mx)\,dx=J_{m}(z)\cdot 2\pi } .
Multipliziere die Jacobi-Reihe cos ( z sin x ) = J 0 ( z ) + 2 ∑ n = 1 ∞ J 2 n ( z ) cos 2 n x {\displaystyle \cos(z\sin x)=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos 2nx} mit cos m x {\displaystyle \cos mx\,} durch und integriere anschließend beide Seiten nach x {\displaystyle x\,} von 0 {\displaystyle 0\,} bis π {\displaystyle \pi \,} : ∫ 0 π cos ( z sin x ) cos m x d x = J 0 ( z ) ∫ 0 π cos m x d x + 2 ∑ n = 1 ∞ J 2 n ( z ) ∫ 0 π cos 2 n x cos m x d x {\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos(z\sin x)\,\cos mx\,dx=J_{0}(z)\int _{0}^{\pi }\cos mx\,dx+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\int _{0}^{\pi }\cos 2nx\,\cos mx\,dx} = J 0 ( z ) δ m , 0 ⋅ π + ∑ n = 1 ∞ J 2 n ( z ) δ m , 2 n ⋅ π = { J m ( z ) ⋅ π m gerade 0 m ungerade {\displaystyle =J_{0}(z)\,\delta _{m,0}\cdot \pi +\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\,\delta _{m,2n}\cdot \pi =\left\{{\begin{matrix}J_{m}(z)\cdot \pi &m\;{\text{gerade}}\\0&m\;{\text{ungerade}}\end{matrix}}\right.} . Multipliziere die Jacobi-Reihe sin ( z sin x ) = 2 ∑ n = 0 ∞ J 2 n + 1 ( z ) sin ( 2 n + 1 ) x {\displaystyle \sin(z\sin x)=2\sum _{n=0}^{\infty }J_{2n+1}(z)\sin(2n+1)x} mit sin m x {\displaystyle \sin mx\,} durch und integriere anschließend beide Seiten nach x {\displaystyle x\,} von 0 {\displaystyle 0\,} bis π {\displaystyle \pi \,} : ∫ 0 π sin ( z sin x ) sin m x d x = 2 ∑ n = 0 ∞ J 2 n + 1 ( z ) ∫ 0 π sin ( 2 n + 1 ) x sin m x d x {\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin(z\sin x)\,\sin mx\,dx=2\sum _{n=0}^{\infty }J_{2n+1}(z)\int _{0}^{\pi }\sin(2n+1)x\,\sin mx\,dx} = ∑ n = 0 ∞ J 2 n + 1 ( z ) δ m , 2 n + 1 ⋅ π = { 0 m gerade J m ( z ) ⋅ π m ungerade {\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }J_{2n+1}(z)\,\delta _{m,2n+1}\cdot \pi =\left\{{\begin{matrix}0&m\;{\text{gerade}}\\J_{m}(z)\cdot \pi &m\;{\text{ungerade}}\end{matrix}}\right.} . Also ist J m ( z ) ⋅ π = ∫ 0 π cos ( z sin x ) cos m x d x + ∫ 0 π sin ( z sin x ) sin m x d x = ∫ 0 π cos ( z sin x − m x ) d x {\displaystyle J_{m}(z)\cdot \pi =\int _{0}^{\pi }\cos(z\sin x)\,\cos mx\,dx+\int _{0}^{\pi }\sin(z\sin x)\,\sin mx\,dx=\int _{0}^{\pi }\cos(z\sin x-mx)\,dx} .
In der Formel B ( α , β ) = ∫ 0 1 x α − 1 ( 1 − x ) β − 1 d x {\displaystyle B(\alpha ,\beta )=\int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\,dx} substituiere x {\displaystyle x\,} durch sin 2 x {\displaystyle \sin ^{2}x\,} : B ( α , β ) = ∫ 0 1 ( sin 2 x ) α − 1 ( cos 2 x ) β − 1 ⋅ 2 sin x cos x d x = 2 ∫ 0 π 2 sin 2 α − 1 x cos 2 β − 1 x d x {\displaystyle B(\alpha ,\beta )=\int _{0}^{1}(\sin ^{2}x)^{\alpha -1}\,(\cos ^{2}x)^{\beta -1}\cdot 2\,\sin x\,\cos x\,dx=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2\alpha -1}x\,\cos ^{2\beta -1}x\,dx}
durch und integriere anschließend beide Seiten nach 
von 
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durch und integriere anschließend beide Seiten nach von bis :
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