Formelsammlung Mathematik: Identitäten: Kleesche Identität

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$\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\,{n \choose k}\,{n+k \choose m}=(-1)^{n}\,{n \choose m-n}\qquad \quad n\leq m\leq 2n$

Beweis

Einerseits ist

${\Big (}1-(1+x){\Big )}^{n}\,(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\,{n \choose k}\,(1+x)^{n+k}=\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\,{n \choose k}\,{n+k \choose m}\,x^{m}$

und andererseits ist

$(-x)^{n}\,(1+x)^{n}=(-1)^{n}\,\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}\,x^{m+n}=\sum _{m=n}^{2n}(-1)^{n}\,{n \choose m-n}\,x^{m}$.

Der Koeffizientenvergleich liefert die Behauptung.