Formelsammlung Mathematik: Unendliche Reihen: Vaccasche Reihen

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Erste Vaccasche Reihe

$\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\,\lfloor \log _{2}k\rfloor }{k}}=\gamma$

Beweis

Für $2^{n}\leq k<2^{n+1}$ ist $\lfloor \log _{2}k\rfloor =n$.

Daher ist $S_{m}:=\sum _{2\leq k<2^{m+1}}{\frac {(-1)^{k}\,\lfloor \log _{2}k\rfloor }{k}}=\sum _{n=1}^{m}n\sum _{2^{n}\leq k<2^{n+1}}{\frac {(-1)^{k}}{k}}$.

Setzt man $A'_{n}:=\sum _{2^{n}\leq k<2^{n+1}}{\frac {(-1)^{k}}{k}}$ und $A_{n}:=\sum _{2^{n}\leq k<2^{n+1}}{\frac {1}{k}}$, so ist

$A'_{n}+A_{n}=\sum _{2^{n}\leq k<2^{n+1}}{\frac {(-1)^{k}+1}{k}}=\sum _{2^{n}\leq 2k<2^{n+1}}{\frac {2}{2k}}=\sum _{2^{n-1}\leq k<2^{n}}{\frac {1}{k}}=A_{n-1}$.

Somit ist $S_{m}=\sum _{n=1}^{m}n(A_{n-1}-A_{n})=\sum _{n=1}^{m}A_{n-1}+\sum _{n=1}^{m}{\Big (}(n-1)A_{n-1}-nA_{n}{\Big )}$

$=\sum _{1\leq k<2^{m}}{\frac {1}{k}}-mA_{m}=H_{2^{m}}-{\frac {1}{2^{m}}}-m\left[\left(H_{2^{m+1}}-{\frac {1}{2^{m+1}}}\right)-\left(H_{2^{m}}-{\frac {1}{2^{m}}}\right)\right]$

$=H_{2^{m}}-m\left(H_{2^{m+1}}-H_{2^{m}}\right)+o(1)$. Und das ist wegen $H_{2^{m}}=\gamma +\log 2^{m}+o(1)$

gleich $\gamma +m\log 2-m{\Big (}(m+1)\log 2-m\log 2{\Big )}+o(1)=\gamma +o(1)$.

 

Zweite Vaccasche Reihe

$\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}-{\frac {1}{k}}\right)=\gamma +{\frac {\pi ^{2}}{6}}$

Beweis

Aus $\sum _{k=1}^{(m+1)^{2}-1}{\frac {1}{\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}=\sum _{n=1}^{m}\;\sum _{n^{2}\leq k<(n+1)^{2}}{\frac {1}{n^{2}}}=\sum _{n=1}^{m}{\frac {2n+1}{n^{2}}}=2H_{m}+\sum _{n=1}^{m}{\frac {1}{n^{2}}}=2\gamma +2\log m+\sum _{n=1}^{m}{\frac {1}{n^{2}}}+o(1)$

und $\sum _{k=1}^{(m+1)^{2}-1}{\frac {1}{k}}=H_{(m+1)^{2}-1}=\gamma +\log \left((m+1)^{2}-1\right)+o(1)=\gamma +2\log m+o(1)$

folgt $\sum _{k=1}^{(m+1)^{2}-1}\left({\frac {1}{\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}-{\frac {1}{k}}\right)=\gamma +\sum _{n=1}^{m}{\frac {1}{n^{2}}}+o(1)$.