Formelsammlung Mathematik: Identitäten: Prosthaphäretische Formeln

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Formeln nach Werner

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikibooks.org/v1/“:): {\displaystyle 1.\quad \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\cdot\sin\alpha\cdot\cos\beta}

$2.\quad \sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )=2\cdot \cos \alpha \cdot \sin \beta$

$3.\quad \cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )=2\cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta$

$4.\quad \cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta )=-2\cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta$

Beweis

Die Formeln folgen aus den Additionstheoremen

$\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \sin \beta$

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikibooks.org/v1/“:): {\displaystyle \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cdot\cos\beta-\cos\alpha\cdot\sin\beta}

$\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta$

$\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta +\sin \alpha \cdot \sin \beta$

 

Formeln nach Simpson

$1.\quad \sin \alpha +\sin \beta =2\cdot \sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cdot \cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikibooks.org/v1/“:): {\displaystyle 2.\quad \sin\alpha-\sin\beta=2\cdot\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}}

$3.\quad \cos \alpha +\cos \beta =2\cdot \cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cdot \cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

$4.\quad \cos \alpha -\cos \beta =-2\cdot \sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cdot \sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

Beweis

Die Formeln nach Simpson folgen aus den Formeln nach Werner durch die Substitution

${\begin{bmatrix}x=\alpha +\beta \\y=\alpha -\beta \end{bmatrix}}$ bzw. ${\begin{bmatrix}\alpha =(x+y)/2\\\beta =(x-y)/2\end{bmatrix}}$.