Formelsammlung Mathematik: Kurvendiskussion

Formelsammlung Mathematik

SymmetrieBearbeiten

AchsensymmetrieBearbeiten

Definition. Achsensymmetrie.

Eine Funktion   ist achsensymmetrisch zur Achse  , wenn

 

oder äquivalent

 

für alle   gilt.

Speziell für   lautet das Kriterium:

 

für alle  .

Jede Polynomfunktion, deren Monome nur geraden Grad haben, ist achsensymmetrisch.

PunktsymmetrieBearbeiten

Definition. Punktsymmetrie.

Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Punkt  , wenn

 

oder äquivalent

 

für alle   gilt.

Speziell für den Punkt   lautet das Kriterium:

 

für alle  .

Jede Polynomfunktion, deren Monome nur ungeraden Grad haben, ist punktsymmetrisch.

PeriodizitätBearbeiten

Definition. Periodische Funktion.

Eine Funktion heißt periodisch mit Periodenlänge  , wenn

 

für alle   gilt.

NullstellenBearbeiten

Definition. Nullstelle.

Sei   eine Funktion. Eine Stelle a mit   heißt Nullstelle von  .

Eine differenzierbare Funktion ist auch stetig. Der Nullstellensatz stellt dann die Existenz von Nullstellen sicher.

Ist eine Funktion auf einem Intervall streng monoton, dann besitzt sie dort höchstens eine Nullstelle.

BeschränktheitBearbeiten

Definition. Beschränkte Funktion, Schranke.

Eine Funktion   heißt nach unten beschränkt, wenn es eine untere Schranke   gibt, so dass   für alle x ∈ D ist.

Die Funktion heißt nach oben beschränkt, wenn es eine obere Schranke   gibt, so dass   für alle x ∈ D ist.

Eine Funktion heißt beschränkt, wenn sich nach unten und nach oben beschränkt ist.

Definition. Infimum, Supremum.

Die größte untere Schranke einer nach unten beschränkten Funktion heißt Infimum der Funktion.

Die kleinste obere Schranke einer nach oben beschränkten Funktion heißt Supremum der Funktion.

Bei einer beschränkten Funktion lässt sich ein   finden, das   für alle x ∈ D erfüllt.

KriteriumBearbeiten

Laut Extremwertsatz ist jede stetige Funktion   auch beschränkt.

MonotonieBearbeiten

Definition. Monotonie, strenge Monotonie.

Eine Funktion   mit   heißt

  • monoton steigend, wenn für alle   mit   gilt:  ,
  • monoton fallend, wenn für alle   mit   gilt:  ,
  • streng monoton steigend, wenn für alle   mit   gilt:  ,
  • streng monoton fallend, wenn für alle   mit   gilt:  .

MonotoniekriteriumBearbeiten

Sei   ein offenes Intervall und sei   differenzierbar auf ganz  .

Die Funktion   ist

  • monoton steigend, wenn für alle   gilt:  ,
  • monoton fallend, wenn für alle   gilt:  ,
  • streng monoton steigend, wenn für alle   gilt:  ,
  • streng monoton fallend, wenn für alle   gilt:  .

Bemerkung: Bei einem offenen Intervall kann es sich auch um   oder   handeln.

ExtremwerteBearbeiten

Definition. Lokales Minimum.

Eine Funktion nimmt an einer Stelle a ein lokales Minimum an, wenn

 

gilt, wobei U(a) eine offene Umgebung von a ist.


Definition. Lokales Maximum.

Kriterium für ein lokales Maximum:

 


Definition. Strenges lokales Mininum.

Kriterium für ein strenges lokales Minimum:

 


Definition. Strenges lokales Maximum.

Kriterium für ein strenges lokales Maximum:

 

Notwendiges KriteriumBearbeiten

Sei   eine auf einer offenen Umgebung von   definierte und bei   differenzierbare Funktion.

Ist   ein lokaler Extremwert, so muss   sein.

Kontraposition:

Ist  , so kann   kein lokaler Extremwert sein.

Hinreichendes Kriterium ABearbeiten

Sei   eine auf einer offenen Umgebung von   differenzierbare Funktion.

Ist   und besitzt   bei   einen Vorzeichenwechsel, so muss   ein lokaler Extremwert sein.

Unter einem Vorzeichenwechsel versteht man

bei einem lokalen Maximum: für alle   ist   und für alle   ist  
bei einem lokalen Minimum: für alle   ist   und für alle   ist  

Hinreichendes Kriterium BBearbeiten

Sei   eine auf einer offenen Umgebung von a definierte und bei a zweimal differenzierbare Funktion.

Ist   und  , so ist   ein lokales Maximum.
Ist   und  , so ist   ein lokales Minimum.

WendepunkteBearbeiten

Definition. Rechts-Links-Wendestelle.

Sei   eine differenzierbare Funktion. Eine Stelle a heißt Rechts-Links-Wendestelle, wenn   bei a ein strenges lokales Minimum besitzt.

Definition. Links-Rechts-Wendestelle.

Sei   eine differenzierbare Funktion. Eine Stelle a heißt Links-Rechts-Wendestelle, wenn   bei a ein strenges lokales Maximum besitzt.

Der Punkt   heißt Wendepunkt, wenn a eine Wendestelle ist.

Notwendiges KriteriumBearbeiten

Sei   bei a zweimal differenzierbar.

Ist a eine Wendestelle, dann ist  .

Hinreichendes Kriterium ABearbeiten

Sei   bei a dreimal differenzierbar.

Ist   und  , dann ist a eine Wendestelle.

Hinreichendes Kriterium BBearbeiten

Sei   eine auf einer offenen Umgebung von a definierte Funktion, die an allen Stellen xa zweimal differenzierbar ist. Die Stelle a ist eine Wendestelle, wenn die zweite Ableitung beim Durchgang durch a ihr Vorzeichen wechselt. D. h., auf einer kleinen Umgebung von a gilt entweder

  für   und   für  

oder

  für   und   für