Formelsammlung Mathematik: Stetigkeit

Formelsammlung Mathematik

DefinitionBearbeiten

Definition. Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle.

Sei   mit  , und sei  .

Die Funktion   heißt stetig in p, falls

 

gilt, oder wenn p ein isolierter Punkt ist.

Wird die Definition des Grenzwertes eingesetzt, ergibt sich die folgende äquivalente Bedingung.

Die Funktion   heißt stetig in p, wenn für alle Folgen   mit   gilt:

 

Das Einsetzen der Definition des Grenzwertes enthält eine kleine technische Schwierigkeit: Da isolierte Punkte zugelassen sind, ist   nicht mehr notwendig.

Definition. Stetige Funktion.

Eine Funktion   heißt stetig, wenn sie an jeder Stelle stetig ist.

Komposita stetiger FunktionenBearbeiten

Satz. Stetigkeit von punktweisen Verknüpfungen.

Seien   an der Stelle x0 stetig. Dann sind auch

 ,
 ,
 

stetig in x0.

Besitzt g keine Nullstellen, dann ist auch

 

stetig in x0.

Bemerkung: Wenn g Nullstellen besitzt, aber in der Nähe von x0 keine vorhanden sind, kann der Definitionsbereich eingeschränkt werden.

Satz. Stetigkeit von Kompositionen.

Sei   und  . Sei  .

Ist   in   stetig und   in  , dann ist auch   stetig in  .

Sätze über stetige FunktionenBearbeiten

ZwischenwertsatzBearbeiten

Zwischenwertsatz.

Sei   eine stetige Funktion.

Für  :

Zu jedem   gibt es ein   mit  .

Für  :

Zu jedem   gitbt es ein   mit  .


Der Satz lässt sich wesentlich kompakter formulieren, wenn die folgene Notation eingeführt wird, die symmetrisch unter Vertauschung der Intervallgrenzen ist:

 

Zwischenwertsatz.

Sei   eine stetige Funktion. Dann gilt:

 

In Worten: Eine stetige Funktion   nimmt jeden Wert zwischen   und   an.

Bemerkung: »es gibt ein« heißt »es gibt mindestens ein«, und »jeder Wert wird angenommen« heißt »jeder Wert wird mindestens einmal angenommen«.


Schließlich gibt es noch eine abstrakte Formulierung.

Zwischenwertsatz (abstrakt).

Ist   ein Intervall und   eine stetige Funktion, dann ist das Bild   auch ein Intervall.


NullstellensatzBearbeiten

Nullstellensatz.

Sei   eine stetige Funktion.

Haben die Funktionswerte   und   unterschiedliche Vorzeichen, dann gibt es in [ab] mindestens eine Nullstelle.


ExtremwertsatzBearbeiten

Extremwertsatz (Satz vom Minimum und Maximum).

Eine stetige Funktion   ist beschränkt und nimmt auf [ab] ein Minimum und ein Maximum an.

Abstrakte Variante:

Ist   eine kompakte Menge und   stetig, dann ist das Bild   auch kompakt.


IntegrierbarkeitBearbeiten

Satz über die Integrierbarkeit einer stetigen Funktion.

Ist eine auf dem Intervall [ab] definierte reelle Funktion stetig, dann ist sie auch Riemann-integrierbar.


Streng monotone FunktionenBearbeiten

Satz über stetige streng monotone Funktionen.

Sei   ein reelles Intervall. Sei   stetig und streng monoton.

Das Bild   ist ein Intervall. Das Intervall   ist genau dann an einer der Randstellen abgeschlossen, wenn   an der entsprechenden Randstelle abgeschlossen ist.

Die Funktion   ist injektiv, nach Einschränkung der Zielmenge auf   somit bijektiv. Die Umkehrfunktion ist stetig.

Ist   streng monoton wachsend, dann auch die Umkehrfunktion. Ist   streng monoton fallend, dann auch die Umkehrfunktion.

Bemerkung: Das Intervall   ist beliebig, es kann links und rechts jeweils offen, geschlossen oder unbeschränkt sein.