Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,sin)
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0.1 Bearbeiten
ist nach Substitution gleich .
0.2 Bearbeiten
ist eine Stammfunktion von .
ist damit nach partieller Integration
Verwende nun die Fourierreihenentwicklung ,
dann ist
und
.
Also ist .
0.3 Bearbeiten
0.4 Bearbeiten
Nach der Fourierreihenentwicklung ist
.
Also ist .
0.5 Bearbeiten
0.6 Bearbeiten
1.1 Bearbeiten
1.2 Bearbeiten
1.3 Bearbeiten
1.4 Bearbeiten
Betrachte die Formel für .
Lässt man gehen, so erhält man .
Also ist .
Nach der Formel von Lobatschewski ist .
Substituiert man , so erhält man die behauptete Formel.
1.5 Bearbeiten
1.6 Bearbeiten
Siehe Berechnung von
1.7 Bearbeiten
ist nach der Formel , gleich
.
1.8 Bearbeiten
1.9 Bearbeiten
1.10 Bearbeiten
Aus der Fourierreihe ergibt sich
.
1.11 Bearbeiten
1.12 Bearbeiten
Die Funktion ist -periodisch. Daher gilt nach der Formel von Lobatschewski
.
Und das ist unter Verwendung der Legendreschen Verdopplungsformel gleich .
1.13 Bearbeiten
- oder für gilt .
Die Fouriertransformierte von ist die Rechtecksfunktion.
In der Faltungsformel setze :
.
Für ein stimmt dies mit überein.
Also ist oder .
2.1 Bearbeiten
Aus der Formel folgt
.
2.2 Bearbeiten
2.3 Bearbeiten
2.4 Bearbeiten
Differenziert man die Formel
-mal nach und setzt anschließend , so ist
.
Also ist .
2.5 Bearbeiten
2.6 Bearbeiten
2.7 Bearbeiten
Aus der Fourierreihe ergibt sich
.
Also ist ,
wobei das Frullanische Integral nicht von abhängt.
Und die Reihe konvergiert gegen .
2.8 Bearbeiten
- ist hierbei die Kurve, die gradlinig von über nach läuft.
ist auf ganz holomorph.
.
Das erste Integral ist
und das zweite Integral ist wegen
gleich .
Also ist ,
was nach der Schläfli Formel gerade eine Darstellung der Besselfunktion ist.
3.1 Bearbeiten
n.1 Bearbeiten
- und