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∑ k = 0 ∞ B ( x + k , y + 1 ) = ∑ k = 0 ∞ ∫ 0 1 z x + k − 1 ( 1 − z ) y d z = ∫ 0 1 z x − 1 ( 1 − z ) y − 1 = B ( x , y ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }B(x+k,y+1)=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{1}z^{x+k-1}\,(1-z)^{y}\,dz=\int _{0}^{1}z^{x-1}\,(1-z)^{y-1}=B(x,y)}
Zunächst seien x , y {\displaystyle x,y\,} komplexe Zahlen mit positivem Realteil. Multipliziere die binomische Reihe ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( x − 1 k ) z k = ( 1 − z ) x − 1 {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,{x-1 \choose k}\,z^{k}=(1-z)^{x-1}\,} mit z y − 1 {\displaystyle z^{y-1}\,} durch und integriere nach z {\displaystyle z\,} von 0 {\displaystyle 0} bis 1 {\displaystyle 1} . Wegen der analytischen Fortsetzbarkeit stimmt die Reihe ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( x − 1 k ) 1 k + y {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,{x-1 \choose k}\,{\frac {1}{k+y}}} , die für alle x , y {\displaystyle x,y\,} mit Re ( x ) > 0 {\displaystyle {\text{Re}}(x)>0\,} und y ∉ Z ≤ 0 {\displaystyle y\notin \mathbb {Z} ^{\leq 0}} konvergiert, mit B ( x , y ) {\displaystyle B(x,y)\,} überein.
komplexe Zahlen mit positivem Realteil.
mit 
durch und integriere nach 
von 
bis 
.
,
mit 
und 
konvergiert, mit 
überein.
