Formelsammlung Mathematik: Unendliche Reihen: Reihen mit zentrierten Binomialkoeffizienten
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1 Bearbeiten
Verwende die Reihenentwicklung .
Wendet man den Differenzialoperator auf beiden Seiten zweimal an, so ist .
Wenn man die Gleichung mit 2 durchdividiert und setzt, so erhält man .
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Verwende die Reihenentwicklung .
Wendet man den Differenzialoperator auf beide Seiten an, erhält man .
Setzt man , so ist .
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Verwende die Reihenentwicklung
Setzt man , so ist .
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Aus der Reihenentwicklung folgt
und daraus .
Die gesuchte Reihe ist also , wobei ist.
Nach Vertauschung der Integrationsreihenfolge ist
.
Und dies ist nach partieller Integration
Substituiert man , so ist
Und somit ist .
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Verwende die Reihenentwicklung .
Wendet man den Differenzialoperator zweimal auf beide Seiten an, so ist
.
Setzt man , so ist .
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Verwende die Reihenentwicklung .
Wendet man den Differenzialoperator auf beide Seiten an, so ist
.
Setzt man , so ist .
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Verwende die Reihenentwicklung .
Setzt man , so ist .
8 Bearbeiten
Für ein und eine Zahlenfolge mit sei .
Aus ergibt sich die Teleskopsumme
.
Wählt man , und ,
so ist ,
gleichbedeutend mit .
Setzt man , so ist und somit .
Also ist
und somit .
Summiere nun nach von bis : .
Bei der Doppelsumme wird über alle Zahlenpaare mit summiert.
Daher lässt sich die Doppelsumme auch scheiben als .
Und das ist .
Da für die Summe gegen Null geht,
ist und somit .
Aus der Reihenentwicklung ergibt sich .
Nach partieller Integration ist
und das ist nach Substitution gleich ,
was wegen gleich ist.
Beim Integral substituiere nun
Nach partieller Integration ist
.
Dabei ist und .
Also ist
und somit . Daraus folgt unmittelbar .
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Werte das Zudilin-Integral
auf zweierlei Arten aus:
Zum einen wurde hier gezeigt, dass ist.
Zum andern ist
.