Formelsammlung Mathematik: Identitäten: Riemannsche Funktionalgleichung

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$\zeta (z)=2\,(2\pi )^{z-1}\,\zeta (1-z)\,\Gamma (1-z)\,\sin {\frac {\pi z}{2}}$

$\pi ^{-{\frac {z}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\,\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\,\zeta (1-z)$

1. Beweis

Für $0<|t|<2\pi \,$ gilt ${\frac {1}{e^{t}-1}}={\frac {1}{t}}-{\frac {1}{2}}+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {B_{k}}{k!}}\,t^{k-1}$. Daher konvergiert

$F(z):={\frac {1}{\Gamma (z)}}\,\left[\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{e^{t}-1}}-{\frac {1}{t}}\right)\,t^{z-1}\,dt+{\frac {1}{z-1}}+\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{z-1}}{e^{t}-1}}\,dt\right]$

für alle $z\neq 1\,$ mit ${\text{Re}}(z)>0\,$.

Und für ${\text{Re}}(z)>1\,$ ist $\int _{0}^{1}-{\frac {1}{t}}\,t^{z-1}\,dt={\frac {-1}{z-1}}$ und somit $F(z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\,\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z-1}}{e^{t}-1}}\,dt=\zeta (z)$.

$F\,$ ist daher die holomorphe Fortsetzung von $\zeta \,$ für alle $z\,$ mit ${\text{Re}}(z)>0\,$.

Definiert man $G(z)\,$ als ${\frac {1}{\Gamma (z)}}\left[\underbrace {\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{e^{t}-1}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{2}}\right)\,t^{z-1}\,dt} _{=:u(z)}-{\frac {1}{2z}}+\underbrace {\int _{1}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{t}-1}}-{\frac {1}{t}}\right)\,t^{z-1}\,dt} _{=:v(z)}\right]$,

so konvergiert $u\,$ für $-1<{\text{Re}}(z)\,$ und $v\,$ für ${\text{Re}}(z)<1\,$. Also konvergiert $G\,$ für alle $z\,$ mit $-1<{\text{Re}}(z)<1\,$.

Da $G\,$ für alle $z\,$ mit $0<{\text{Re}}(z)<1\,$ mit $F=\zeta \,$ übereinstimmt, ist $G\,$ für alle $z\,$ mit $-1<{\text{Re}}(z)<0\,$

die holomorphe Fortsetzung von $\zeta \,$. Für $-1<{\text{Re}}(z)<0\,$ lässt sich, wegen $-{\frac {1}{2z}}=\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{2}}t^{z-1}\,dt$,

$G(z)\,$ schreiben als ${\frac {1}{\Gamma (z)}}\,\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{t}-1}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{2}}\right)\,t^{z-1}\,dt$.

Dabei ist ${\frac {1}{e^{t}-1}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}\coth \left({\frac {t}{2}}\right)-{\frac {1}{t}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {t}{t^{2}+(2\pi n)^{2}}}-{\frac {1}{t}}=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t}{t^{2}+(2\pi n)^{2}}}$.

Nach Substitution $t\mapsto 2\pi nt$ ist $\zeta (z)=G(z)={\frac {2}{\Gamma (z)}}\,\int _{0}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2\pi nt}{(2\pi nt)^{2}+(2\pi n)^{2}}}\,(2\pi n\,t)^{z-1}\,2\pi n\,dt$

$={\frac {2}{\Gamma (z)}}\,\underbrace {\sum _{n=1}^{\infty }(2\pi n)^{z-1}} _{(2\pi )^{z-1}\,\zeta (1-z)}\cdot$$\underbrace {\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{t^{2}+1}}\,dt} _{{\frac {\pi }{2}}\,\sec {\frac {\pi z}{2}}}$, wobei ${\frac {\pi }{2}}\,\sec {\frac {\pi z}{2}}={\frac {\pi \sin {\frac {\pi z}{2}}}{\sin \pi z}}=\Gamma (z)\,\Gamma (1-z)\,\sin {\frac {\pi z}{2}}$ ist.

Also ist $\zeta (z)=2\,(2\pi )^{z-1}\,\zeta (1-z)\,\Gamma (1-z)\,\sin {\frac {\pi z}{2}}$.

 

2. Beweis

Die Funktion $\xi (s)=\pi ^{-s/2}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\,\zeta (s)$ besitzt an den Stellen $s=0\,$ und $s=1\,$ Pole

und an den Stellen $s=-2,-4,-6,...\,$ hebbare Definitionslücken.

$\lim _{s\to -2n}\xi (s)=2\pi ^{-n}\,{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\,\zeta '(-2n)$

Sie kann daher als holomorphe Funktion auf $\mathbb {C} \setminus \{0,1\}$ fortgesetzt werden.

Ist ${\text{Re}}(s)>1\,$ und summiert man $\int _{0}^{\infty }t^{s/2-1}\,e^{-n^{2}\pi t}\,dt={\frac {\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)}{(n^{2}\,\pi )^{s/2}}}$

nach $n\,$ von $1\,$ bis $\infty \,$, so erhält man

$\int _{0}^{\infty }t^{s/2-1}\underbrace {\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\pi t}} _{=:\psi (t)}\,dt=\pi ^{-s/2}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\,\zeta (s)=\xi (s)$.

Dies lässt sich folgendermaßen aufspalten:

$\xi (s)=\int _{0}^{1}t^{s/2-1}\,\psi (t)\,dt+\int _{1}^{\infty }t^{s/2-1}\,\psi (t)\,dt\qquad \qquad (\star )$

Die Jacobi-Thetafunktion $\theta (x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-n^{2}\pi x}$ kann mit Hilfe der Poissonschen Summationsformel

auch als $\sum _{n\in \mathbb {Z} }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}\pi x}\,e^{2\pi int}\,dt=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,e^{-n^{2}\pi {\frac {1}{x}}}={\frac {1}{\sqrt {x}}}\,\theta \left({\frac {1}{x}}\right)$ geschrieben werden.

Daraus folgt   $2\psi (x)+1={\frac {1}{\sqrt {x}}}\left(2\psi \left({\frac {1}{x}}\right)+1\right)$

und somit    $\psi (x)={\frac {1}{\sqrt {x}}}\,\psi \left({\frac {1}{x}}\right)+{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}-{\frac {1}{2}}$.

Ersetzt man in der Gleichung $(\star )$ beim ersten Integral $\psi (t)\,$ durch diese Darstellung,

so lässt sich dieses erste Integral schreiben als

$\int _{0}^{1}t^{s/2-1}\,\left[{\frac {1}{\sqrt {t}}}\,\psi \left({\frac {1}{t}}\right)+{\frac {1}{2{\sqrt {t}}}}-{\frac {1}{2}}\right]\,dt$,

und nach Substitution $t\mapsto {\frac {1}{t}}$ als

$\int _{1}^{\infty }t^{1-s/2}\,\left[{\sqrt {t}}\,\psi (t)+{\frac {\sqrt {t}}{2}}-{\frac {1}{2}}\right]\,{\frac {dt}{t^{2}}}={\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{s}}+\int _{1}^{\infty }t^{-1/2-s/2}\,\psi (t)\,dt$.

Also gilt $\xi (s)={\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{s}}+\int _{1}^{\infty }\left(t^{-1/2-s/2}+t^{s/2-1}\right)\,\psi (t)\,dt$ für ${\text{Re}}(s)>1\,$.

Letztes Integral konvergiert für alle $s\in \mathbb {C}$.

Daher muss der Ausdruck auf der rechten Seite $\forall s\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}$ die holomorphe Fortsetzung von $\xi (s)\,$ sein.

Anhand dieser Darstellung von $\xi \,$ erkennt man, dass $\xi (1-s)=\xi (s)\,$ sein muss.