Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,tan)

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Beweis

 
Setzt man  , so ist

 .

Nun ist  

und  .

Und aus  

und  

folgt  .

Also ist  .

 
Beweis

Wegen  

ist  .

Da nach Substitution  

  ist,

ist das gesuchte Integral   .

 
Beweis

Nach der Formel von Lobatschewski ist  .

Substituiert man  , so erhält man die behauptete Formel.

 
Beweis

Für   sei  .

Nach Substitution   ist  .

Addiert man die verschiedenen Darstellungen von  , so ist  .

Unabhängig von   gilt also  .

 
Beweis

Verwende die Formel

 .

Ist   und setzt man  , so ist auch  .

Also ist  .

Und das ist   nach dem Eulerschen Ergänzungssatz.