Formelsammlung Mathematik: Reihenentwicklungen
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ExponentialreiheBearbeiten
LogarithmusBearbeiten
WinkelfunktionenBearbeiten
SinusBearbeiten
KosinusBearbeiten
TangensBearbeiten
Ersetzt man in der Reihenentwicklung
Die Variable durch ,
so ist .
KotangensBearbeiten
Ersetzt man in der Reihenentwicklung für
durch
so ist .
SekansBearbeiten
KosekansBearbeiten
Ersetzt man in der Reihenentwicklung
die Variable durch , so ist .
HyperbelfunktionenBearbeiten
Sinus HyperbolicusBearbeiten
Kosinus HyperbolicusBearbeiten
Tangens HyperbolicusBearbeiten
Aus der Reihenentwicklung für
und der Identität folgt dass für
sein muss.
Kotangens HyperbolicusBearbeiten
Für ist .
Somit ist . Und das ist .
Ersetzt man durch so erhält man die Formel für .
Sekans HyperbolicusBearbeiten
Kosekans HyperboliucsBearbeiten
Aus der Reihenentwicklung für
und der Identität folgt dass
sein muss.
ArkusfunktionenBearbeiten
ArkussinusBearbeiten
Ausdruck mit ArkussinusBearbeiten
Aus folgt und daraus
.
Die analytische Funktion ist ungerade und besitzt daher eine Taylorreihenentwicklung der Form .
Durch die Ableitung ergibt sich die Differenzialgleichung .
Durch das Einsetzen der Reihenentwicklung von in die Differenzialgleichung soll nun eine Rekursionsformel für die Koeffizienten gefunden werden.
Es ist und somit .
Und aus ergibt sich durch Indexverschiebung .
Also ist . Und dies soll mit übereinstimmen.
Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich und die Rekursionsformel , gleichbedeutend mit .
Demzufolge lässt sich schreiben als Teleskopprodukt . Und das ist . Also ist .
Potenzen des ArkussinusBearbeiten
Integriert man die Formel auf beiden Seiten, so ist .
Aus der Formel
für und
folgt unmittelbar
Lässt man gehen, so ist
Dabei ist .
Also ist .
Ersetze durch um die gesuchte Reihenentwicklung zu erhalten.
Setzt man , so ist .
Mache den Ansatz , und differenziere beide Seiten zweimal:
Es muss also und sein.
Somit ist .
Also ist .
Setzt man , so ist .
Es ist ,
wobei ist und somit gilt.
Mache den Ansatz , mit , und differenziere beide Seiten zweimal:
.
Also ist .
Setzt man , so ist .
Es ist ,
wobei und somit ist.
Mache den Ansatz , mit , und differenziere beide Seiten zweimal:
.
Also ist .
ArkuskosinusBearbeiten
ArkustangensBearbeiten
AreafunktionenBearbeiten
Areasinus HyperbolicusBearbeiten
Potenzen des Areasinus HypoerbolicusBearbeiten
Areatangens HyperbolicusBearbeiten
Spezielle FunktionenBearbeiten
Zeta-FunktionBearbeiten
Man erhält die Gleichung ,
welche insbesondere ein Spezialfall der Eulerschen Summenformel ist.
Wende auf an, ,
setze , ,
und lasse gehen, .
Betrachte nun nur für und lasse erst gehen, ,
wende darauf an, ,
und lasse gehen, .
Vergleicht man mit , so erkennt man, dass
sein muss.
Die Reihenentwicklung von im Punkt lautet also .
Gamma-FunktionBearbeiten
Digamma-FunktionBearbeiten
Bessel-FunktionenBearbeiten
Lambert W-FunktionBearbeiten
Die holomorphe Funktion
bildet null auf null ab und ist wegen im Punkt lokal biholomorph.
Es gibt also Umgebungen und , so dass biholomorph ist.
Die Koeffizienten der Umkehrfunktion
erhält man mit der Lagrange'schen Inversonsformel .
Dabei ist , somit
und somit ist .
[Reihe mit Bessel-Funktion]Bearbeiten
Da für verschwindet, kann man auch alle ganzen Zahlen durchlaufen lassen.
Anschließend vertauscht man die Summationsreihenfolge.
Bei der Laurentreihenentwicklung
lassen sich die Koeffizienten mit der Formel berechnen.
Hierbei ist eine geschlossene Kurve, die den Ursprung einmal gegen den Urzeigersinn umläuft.
Die Funktion ist für auf ganz meromorph; sie besitzt also nicht die Unstetigkeitsachse .
Bei der Hankelschen Integraldarstellung der Besselfunktion,
,
kann man daher für die Kurve als bei geschlossen betrachten. Also ist .
Ausdrücke mit WinkelfunktionenBearbeiten
cos(αx)/sin(απ)Bearbeiten
sin(αx)/sin(απ)Bearbeiten
Es sei und das Quadrat mit den Eckpunkten .
Ist so gilt und wegen ist
für .
Daher fällt für exponentiell ab.
Somit gilt . Die Summe aller Residuen von muss daher verschwinden.
ist und .
Also ist .
Ein Vergleich der Real- und Imaginärteile auf beiden Seiten liefert die Behauptung.
cot(πz)Bearbeiten
csc(πz)Bearbeiten
tan(πz)Bearbeiten
sec(πz)Bearbeiten
sin(α arcsin(z))Bearbeiten
Ausdrücke mit WurzelnBearbeiten
9.1Bearbeiten
.
mit
9.2Bearbeiten
.
mit
9.3Bearbeiten
Ausdrücke mit HyperbelfunktionenBearbeiten
10.1Bearbeiten
Die Funktion hat bei einen Pol dritter Ordnung.
Die Laurentreihen-Entwicklung von um hat den Hauptteil .
Alle weiteren Polstellen von sind einfache Polstellen bei
Setze
, hierbei ist
Also ist
.
Die Funktion ist holomorph auf ganz .
Wegen für , ist eine beschränkte ganze Funktion, und damit konstant. (Satz von Liouville)
Die Konstante verschwindet, da ist. Also ist .
10.2Bearbeiten
Betrachte folgende Formel:
Ersetze durch :
Zähle beide Gleichungen zusammen:
Multipliziere die Gleichung mit durch:
RestBearbeiten
11.1Bearbeiten
Lagrange-InversionBearbeiten
- Zu mit Umgebungen sei eine biholomorphe Funktion.
- Für die Koeffizienten der Umkehrfunktion
- gibt es die Formel .
Setzt man , so ist und und es ist ,
wobei wegen der Biholomorphie ist. Nun ist
und das ist , wenn eine einfach geschlossene Kurve um ist.
Substituiert man , so ist
.
Da aus der Biholomorphie folgt, berechnet man hier das Residuum an einer Polstelle -ter Ordnung.
Also ist .